圆锥曲线中的最值和范围问题方法

1、专题 14 圆锥曲线中的最值和范围问题 高考在考什么考题回放】22xy1已知双曲线 2 2 1(a0,b0)的右焦点为 F ，若过点 F 且倾斜角为 60的直 ab线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C )A.( 1,2)B. (1,2)C.2, ) D.(2,+ )222 P 是双曲线1 的右支上一点， M、N 分别是圆9 16y21 上的点，则 |PM| |PN |的最大值为(A. 63抛物线4A3(x 5)2 y2 4 和(x5)24已知双曲线B )B.7 C.8y=-x 2 上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是78B C5522x2 y2 1,(

2、a 0,b 0) 的左、右焦点分别为 a2 b2D.9 ( A )D 3F1、F2，点 P 在双曲线的右支上，且 |PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率 e 的最大值为：5(B) 53y2=4x, 过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于32 .4(A)3 5已知抛物线 y12+y22 的最小值是(C) 2B)7(D)3A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则26设椭圆方程为 x2坐标原点， 点 P 满足2 y 1，过点 M( 0，1)的直线4OP 1( OA OB)，点 N的坐标为 (1,1)，当l绕点 M 旋转时，2 2 2l 交椭圆于点 A、B， O 是求( 1)动点 P的轨迹方程

3、； ( 2) | NP |的最小值与最大值 .【 专家解答 】(1)法 1：直线 l 过点 M(0，1)设其斜率为记 A(x1,y1),B(x2,y2)，由题设可得点 A、B 的坐标 (x1,y1)、y2xk，则 l 的方程为 y=kx+ 1. (x2,y2)是方程组所以kx 12 y2 1 4的解 . 将代入并化简得 (4+k2)x2+2kx-3=0，x1y1OPx2y22k4 k28.4 k2 .1(OA OB)2x1x2 ,y1 y2 ) ( k , 4 )., ) ( 2 , 2 ).2 2 4 k 2 4 k 2设点 P 的坐标为 (x,y), 则 x k ,x 4 k 2 ,4 k

4、 消去参数 k 得 4x2+y2-y=04 y 2 .4 k 2P 的坐标为 (x,y)，因 A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上，所以22 y2x222 1. 4当 k 不存在时， A、B 中点为坐标原点( 0， 0)，也满足方程， 所以点 P 的轨迹方程为 4x2+y2-y=0 解法二：设点22 y1 x114 得 x12x22 1(y12 y22 ) 0，41所以 (x1 x2)(x1 x2)(y1 y2)(y1 y2) 0.4当 x1 x2时，有 x1 x2 1 (y1 y2) y1 y2 0.x1 x24并且x1 x2 x2y1 y22将代入并整理得224x2+y2-y=0y1

5、x 当 x1=x2 时，y1 y2 . x1 x2 点 A、B的坐标为( 0， 2)、(0， 2)，这时点 P 的坐标为12x2 (y )0， 0)也满足，所以点 P 的轨迹方程为 x 2 1.1116 42 111(2)由点 P 的轨迹方程知 x2,即x.所以16441 2 12 1 2 )2 (y)2 (x)22222|NP|2 (x14 4x3(x 16)2 172故当1x，41|NP | 取得最小值，最小值为2161当 x 6 时， | NP| 取得最大值，最大值为 高考要考什么【考点透视】与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青

6、睐的一个热点。【热点透析】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （ 1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （ 2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的 参数适合的不等式（组） ，通过解不等式组得出参数的变化范围；（ 3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变 量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。（ 4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行 巧妙的构思；（ 5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们 的一个共同特点是均含有三角式。因此

7、，它们的应用价值在于： 通过参数 简明地表示曲线上点的坐标； 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （ 6）构造一个二次方程，利用判别式0。 突破重难点2范例 1】已知动点 P 与双曲线y 1的两个焦点 F1、F2 的距离之和为定值，31 且 cos F1PF2 的最小值为的轨迹上且 DM DN ，求实数 的取值范9 ()求动点 P 的轨迹方程；()若已知 D(0,3) ，M、N 在动点围讲解 ( )由题意 c2=5设|PF 1|+|PF 2|= 2a( a5 )，由余弦定理 , 得2 2 2 2| PF1 |2 |PF2 |2 |F1F2 |22a2 10cos

8、F1PF21 2 1 211 22|PF1| |PF2|PF1| |PF2|2当且仅当 |PF1|=|PF 2|时， |PF1| |PF2| 取最大值，2a2 102a 2 10此时 cos F 1PF2取最小值 2a 210 1，令 2a 210 1 a 2a 2又|PF1 |PF2| (|PF1| |PF2 |)2 a2，1 ，解得 a2=9 ， c5 ， b2=4 ，故所求 P 的轨迹方程为9 22 x 2 y 2 1. 94()设 N(s,t)，M(x,y)，则由 DMDN ，可得 (x，y-3) = (s，t-3)，故 x= s， y=3+ (t-3).M、N 在动点 P的轨迹上，s

9、2 t2 1且 ( s)2 ( t 3 3 )2 1，9 4 92 2 2( t 3 3 ) t 2 13 5 消去 s可得1 2 ，解得 t ，61又|t| 2， | 2 ，解得5，651故实数 的取值范围是 1,5 5【点晴】 为了求参数的取值范围，只要列出关于参数的不等式，而建立不等式的方 法有多种方法，诸如：判别式法、均值不等式法、有界性法等等【文】已知点 M（-2，0），N（2,0），动点 P满足条件 |PM | |PN | 2 2.记动点 P的 轨迹为 W.（）求（）若解：（）13 5W 的方程；A，B 是 W 上的不同两点， 依题意，点 P 的轨迹是以22所求方程为： x y 1

10、22O 是坐标原点，求 OA OB 的最小值 . M，N 为焦点的双曲线的右支，（）当直线 AB 的斜率不存在时，设直线 AB 此时 A（x0， x02 ）， B（ x0， x02 ）， 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 22代入双曲线方程 x y 1 中，得： （1k2）x22kbxb22022依题意可知方程 1 有两个不相等的正数根，设 A（x1,y1）,B（x2,y2），则的方程为 xx0，OAOB 2ykxb，4k2b2 4(1 k2 ) ( b2 2) 02kb201 k2b2 2 x1x22 01 2 k2 1x1 x2解得 |k| 1，又 OA OB x1x2y

11、1y2 x1x2( kx1 b)（ 1 k2） x1x2 kb（x1x2）kx2 b)2 2k22 4 b2 22 2 2k21k21综上可知 OA OB 的最小值为 2范例 2】给定点 A（-2,2） ，已知 B 是椭圆22x y 1 上的动点， F 是右焦点，当25 16AB 5 BF 取得最小值时，试求 B 点的坐标。33解析：因为椭圆的 e 35 ，所以 AB5 BF3 到左准线的距离。故本题可化为，在椭圆上求一点 和最小，过点 B 作 l 的垂线，垂点为 N，过 A 作此准线的垂线，垂点为11AB BF ，而 BF 为动点 BeeB，使得它到 A 点和左准线的距离之M，由椭圆定义|B

12、F | e |BN| |BF| 5|BF| BN | e 3AB 5BF |AB| |BN|AN| AM 为定值3其中，53 当且仅当 B点AM 与椭圆的定点时等点成立，此时 B为( ,2)253 【点晴】在处理许多与焦点有关的距离和差最值问题时，常常用圆锥曲线的定义化 折为直，是一种简便而有效的好方法。【文】 点 A(3，2)为定点， 点 F 是抛物线 y2=4x 的焦点，点 P在抛物线 y2=4x 上移动，若 |PA|+|PF| 取得最小值，求点 P 的坐标。解：抛物线 y2=4x 的准线方程为 x=-1，设 P 到准线的距离为 d，则 |PA|+|PF| =|PA|+d。要使 |PA|+

13、|PF| 取得最小值，由图 3 可知过 A 点 的直线与准线垂直时， 代入 y2=4x，得5 5 3所以，当 AB BF 取得最小值时， B 点坐标为 ( ,2)2|PA|+|PF| 取得最小值， 把 y=2 P(1， 2)。已知 P 点在圆 x2+(y-2)2=1 上移动， Q【范例 3】2 点在椭圆 x9 解：故先让 Q 点在椭圆上固定，显然当 PQ 通过圆心2y2 1上移动 ,试求 |PQ|的最大值。O1时 |PQ|最大，因此要求 |PQ| 的最大值，只要求 |O1Q|的最大值 .设 Q(x，y)，则|O1Q|2= x2+(y-4)2 因 Q 在椭圆上 ,则 x2=9(1- y2 )22

14、7将代入得 |O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)28 y 1133因为 Q 在椭圆上移动，所以 -1 y 1，故当 y 1 时， O1Q maxmax此时 PQ【点晴 】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的 有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。2x2【文】 设 P 是椭圆 2 y2 1 a 1 短轴的一个端点， Q 为椭圆上的一个动点， a求|PQ|的最大值。解: 依题意可设 P（0,1）, Q（x,y）,则 |PQ|= x2+（y1）2 ,又因为 Q 在椭圆上 , 所以 x2=a2（1

15、y2） , |PQ |2= a2（1y2）+y22y+1=（1a2）y22y+1+a22 1 2 1 2 =（1a2）（y2 ）22+1+a2 .1 a1a因为|y| 1a,1, 若a2, 则|1 2|1当, y= 1 2时, |PQ|取最大值 若 1a0 即 m2 k29 3 或 k0，所以10 m 10 。10已知 A（2，0），B（2，0），动点 P与 A、B 两点连线的斜率分别为 kPA和 kPB， 且满足 kPA kPB=t （t0且 t 1）.（）求动点 P 的轨迹 C 的方程；（）当 t0时，曲线 C的两焦点为 F1，F2，若曲线 C上存在点 Q使得 F1QF2=120O， 求

16、t 的取值范围解：() 设点 P坐标为 (x,y),依题意得 y y =t y2=t(x24)x 2 x 22 2 2 2xyxy+=1，轨迹 C 的方程为 +=1( x 2) .44t44t() 当1t0 时，曲线 C为焦点在 x 轴上的椭圆， 设 |PF1|=r1， |PF2|=r2, 则 r1+ r 2=2a=4. 在 F1PF2中，|F1F2|=2c=4 1 t , F1PF2=120O，由余弦定理得2 2 2 2 2 2 2 r1 r2 2 24c =r1 +r 2 2r1r2cos120 = r1+r 2+ r1r2= (r1+r2) r1r2r(1+r2) ( ) =3a ,1 16( 1+t) 12, t .41 所以当 t0 时，曲线上存在点 Q 使F1QF2=120O4 当 t 1 时，曲线 C 为焦点在 y 轴上的椭圆， 设 |PF1|=r1， |PF2|=r2,