实验十一z变换及离散时间系统z域分析分析解析

1、学生姓名：周倩文 学号： 6301712010 班级：通信121班75实验类型：验证综合设计创新 实验日期：5月30号实验成绩:z变换及离散时间系统的 Z域分析、目的（1）掌握利用MATLAB绘制系统零极点图的方法（2）掌握离散时间系统的零极点分析方法（3）掌握用MATALB实现离散系统频率特性分析的方法（4）掌握逆Z变换概念及MATLAB实现方法、离散系统零极点线性时不变离散系统可用线性常系数差分方程描述，即NM(8-1) qy（n -i）=為 bjX（n - j）i =0j =0其中y（k）为系统的输出序列，x（k）为输入序列将式（8-1）两边进行Z变换的H(z) =丫X(z)M、 bjZ

2、 丄 N7 ajZi=0B(z)A(z)(8-2)将式（8-2）因式分解后有:M(8-3)丨【（z-qj） H（z）二丨丨（z- Pi）i咼其中C为常数,qj(j =1,2,川,M)为H(z)的M个零点,p(i =1,2,IH,N)为H (z)的N个极点系统函数H的零极点分布完全决定了系统的特性， 若某系统函数的零极点已知, 则系统函数便可确定下来。因此，系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有非常重要意义。通过对系 统函数零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性：系统单位样值响应h（n）的时域特性；离散系统的稳定性；离散系统的频率特性；三、离散系统零极点图及零极点分析1 零极点图

3、的绘制设离散系统的系统函数为H(z)二B(z)则系统的零极点可用MATLAB的多项式求根函数roots()来实现，调用格式为:p=roots(A)其中A为待根求多项式的系数构成的行矩阵，返回向量p则是包含多项式所有根的列向 量。多项式根的MATLAB命令举例如下:A=1 3/4 1/8;P=roots(A) 运行结果为：P =-0.5000-0.2500需注意的是，在求系统函数零极点时，系统函数可能有两种形式：一种是分子、分 母多项式均按z的降幕次序排列；另一种是分子、分母多项式均按z的升幕次序排列这两种方式在构造多项式系数向量时稍有不同。(1) H(z)按z的降幕次序排列：系数向量一定要由多

4、项式最高次幕开始，一直到常数 项，缺项要用0补齐；如H二z4 +3z3 +2z2 +2z+1 其分子、分母多项式系数向量分别为 A=1 0 2 0、B=1 3 2 2 1。(2) H(z)按zd的升幕次序排列：分子和分母多项式系数向量的维数一定要相同，不足的要用0补齐，否则z = 0的零点或极点就可能被漏掉。如H(z)二1 2zJ其分子、分母多项式系数向量分别为A=1 2 0、B=1 1/2 1/4。用roots()求得H的零极点后，就可以用plot()函数绘制出系统的零极点图。下面 是求系统零极点，并绘制其零极点图的 MATLAB实用函数ljdt()，同时还绘制出了单位 圆。 functio

5、n 1 jdt (A, B)Ihe function to draw the pole-zero diagram for discrete systeii p=roots(A)汽求系统极点 q=roots(E):町求系绒雷直p=pJ为将极点列向里特養揃行向里q-q1 f将零点列向里轉蚩为行向里x=ma?: (abs(Ip q 1) A确定纵坐标范圉x=x+O.1:尸蓝汽确定陽坐标的范围elfhold onaxis (k -y y)w=0：pi/300：2*pi;t-exp(i*w):plot (t)%画单位圆axis (! square5 )plot (_-： x )%画基点plot (rea

6、l (q), imag (q) o* 用画零点pcle-sero diagraoi for discreat system,)%标洼标题hold offend例1绘制如下系统函数的零极点32(1) H(z)二(2) H(z)3z -5z 10zz3 -3z2 7z -51 -0.5z.311 z z48解：MATLAB命令如下(1) A=l -3 7 咗- B=3 - 10 0; Ijdt (A,B)绘制的零极点图如图8-1 (a)所示(2) A=C1 3/4 1/81 ; B=C1 -0. 5 Q; ljdtULB)绘制的零极点图如图8-1 (b)所示pole-zero diagram fo

7、r discr&at system(a)2.离散系统零极点分析(1) 离散系统零极点分布与系统稳定性 信号与系统课程已讲到离散系统稳定的条件为：时域条件：离散系统稳定的充要条件为J h(n)-:，即系统单位样值响应绝n 二：:对可和；Z域条件：离散系统稳定的充要条件为系统函数 H(z)的所有极点均位于Z平面 的单位圆内。对于三阶以下的低阶系统，可以利用求根公式求出系统函数的极点，从而判断系统的稳定性，但对于高阶系统，手工求解则显得十分困难，这时可以利用MATLAB来实现。实现方法是调用前述的函数ljdt()绘出系统的零极点图，然后根据极点的位置判断系 统的稳定性。例2:系统函数如例1所示，判断

8、两个系统的稳定性。解：由例1绘出的零极点图可以看出两个系统的稳定性分别为：第(1)个系统不稳定； 第(2)个系统稳定。(2) 零极点分布与系统单位样值时域特性的关系从信号与系统课程中已经得知，离散系统的系统函数H(z)与单位样值响应h(n) 是一对Z变换对；因而，H (z)必然包含了 h(n)的固有特性。离散系统的系统函数可以写成M丨【(z-qj)H(z)二 Cj1( 8-4)n (z-pji 3若系统的N个极点均为单极点，可将H(z)进行部分分式展开为：N kz H(z)1( 8-5)y z - 口由Z逆变换得：Nh(n )八 ki pi nU n( )(8-6)i=i从式(8-5)和(8-

9、6)可以看出离散系统单位样值响应 h(n)的时域特性完全由系统 函数H的极点位置决定。从信号与系统的学习中已经得出如下规律：H (z)位于Z平面单位圆内的极点决定了 h(n)随时间衰减的信号分量；H (z)位于Z平面单位圆上的一阶极点决定了 h(n)的稳定信号分量；H (z)位于Z平面单位圆外的极点或单位圆上高于一阶的极点决定了h(n)的随时间增长的信号分量；下面以例子证明上述规律的正确性：例3:已知如下系统的系统函数 H，试用MATLAB分析系统单位样值响应h(n)的时 域特性。(1) H(z)=，单位圆上的一阶实极点；z-11(2) H(z)二1，单位圆上的一阶共轭极点；2兀z -2zco

10、s() 18(3) H(z) z 2，单位圆上的二阶实极点；(z-1)1(4) H(z)= ，单位圆内的一阶实极点；z-0.81(5) H(z) 丄2，单位圆内的二阶实极点；(z-0.5)2(6) H(z)二 ，单位圆外的一阶实极点；z -1.2解:利用MATLAB提供的函数impz()绘制离散系统单位样值响应波形，impz()基本调用 方式为(其他方式，请读者参看 MATLAB帮助):impz(b,a,N)，其中，b为系统函数分 子多项式的系数向量，a为系统函数分母多项式的系数向量，N为产生序列的长度；需要注意的是，b和a的维数应相同，不足用0补齐，例如H (z)二1(z-1)21Z2 -2

11、z 1b=0 0 1，a=1 1。下面是求解个系统单位样值响应的MATLAB命令:(1) a=1 -1;b=0 1;impz(b,a,10)运行结果如图8-2 (a)所示。(2) a=1 2*cos(pi/8) 1;b=0 0 1;impz(b,a,50)运行结果如图8-2 (b)所示。(3) a=1 -2 1;b=0 1 0;impz(b,a,10)运行结果如图8-2 (c)所示。(4) a=1 -0.8;b=0 1;impz(b,a,10)运行结果如图8-2 (d)所示。(5) a=1 -1 0.25; b=0 0 1; impz(b,a,10)运行结果如图8-2 (e)所示(6) a=1

12、 -1.2; b=0 1; impz(b,a,10)运行结果如图8-2 (f)所示Impulse Responsen (samples 稳定n它不稳定不稳定稳定斗JImpulse Responsek*1r1F10 8-0 6 A-1 O; IL w =freqz (B, A, 400,7 vho 1 en; Hf=abs (H): Wangle : elf f Lgure(1) plot(w, Hf)title?离散累统fl!频特性曲线J ficure(2) plet g He) t辻leCXti系统相频特性曲线)运行结果如图所示。有:M Beji-M)H(ej 譽j( j m)I丨Ae则系统

13、的幅频特性和相频特性分别为: n BjH(e)|=(8-7)n Ai 二MN：()八j i(8-8)j47根据式(8-7)和(8-8),利用MATLAB来求解频率响应的过程如下： 根据系统函数H定义分子、分母多项式系数向量 B和A ； 调用前述的ljdt()函数求出H(z)的零极点，并绘出零极点图； 定义Z平面单位圆上的k个频率分点；求出H (z)所有的零点和极点到这些等分点的距离；求出H所有的零点和极点到这些等分点矢量的相角；根据式(8-7)和(8-8)求出系统的H (e)和 (灼)；绘制指定范围内系统的幅频曲线和相频曲线；下面是实现上述过程的实用函数 dplxy()。有四个参数：k为用户定

14、义的频率等分点 数目；B和A分别为系统函数分子、分母多项式系数向量；r为程序绘制的频率特性曲 线的频率范围(0 r二)。 function dplxy(k, r, A,B)%Ihe function to draw th亡 frequency 左亡sponse of discrete systeap=roots(A);q=roots(B):figure(1)w=0:r*pi/k:r*pi; y=exp(i*w):N= length(p): M=Iength(qi: j-p-ones (N, l)*y; yq=ones(M, 1)*y;P=yp_P*ones (1, k+1);vq=yq-q*o

15、nes (11 k+l):Ai=abs(vp);Bj=abs(vq):Ci=anale (vp);Dj=angle(vq);fai=sun(Dj.1)-sub (Ci.1):H=prodtBj, DVprocKAi, 1)； figure(2) plat(t, H):离歆系统幅频特性曲线Jklabel t7 角频率)ylabel (?幅度)figure(3) plat(w, fai)title(-离散系统的相频特性曲线J xlabelfft 频率 J ylabel C 相位)例5:已知某离散系统的系统函数为：s求极点 t求零点比画零极点图气定文单位團上的k个频率等分点$求极点个数 弔求零点个数

16、督定义行数芮极点个藪的单位圆向重 畦义行数芮零点个数的单位圆向重 弓定丈极点到单位圆上答点的向里 僱义鑫点到单傥團上各点的向重 %求出极点到单位H1上各点的向里的複 弔求出零点到单位圆上各点的向里的檯 弔求出极点到单位圆上各点的向重的相角 弔求出霎点到单位區1上各点的向里的相角 弓求系统相频响应+求系统幅频响应%绘制幅频特性曲线H(z)绘出该系统的零极点图及频响特性。解：MATLAB命令如下：5/ 4(1 -z)1 T/4zA=1 -1/4;B=5/4 -5/4; dplxy(500,2,A,B)运行结果如图8-4所示。角频率图8-4离散系统的零极点图、幅频和相频曲线五. 实验总结与思考实验主要是研究离散系统的 Z变换，通过这次试验，基本学会用 MATLAB的多项 式求根函数roots()来实现绘制系统零极点图的方法、这里需要注意的是，在求系统函数 零极点时，系统函数可能有两种形式。还学