实数大小比较的常用方法教材

1、实数大小比较的常用方法【初二数学】添加时间：2012年11月23日 浏览：53次顿悟教育数学培优训练营来自：顿悟教育网实数的大小比较是中考及数学竞赛中的常见题型，不少同学感到困难。“实数”是初中数学的重要内容之一，也是学好其他知识的基础。 为帮助同学们掌握好这部分知识， 本讲介绍几 种比较实数大小的常用方法。一【差值比较法】差值比较法的基本思路是设a，b为任意两个实数，先求出 a与b的差,再根据当a b 0时，得到a b。当a b 0时，得到a0 ,1 .2 1目。【商值比较法】 商值比较法的基本思路是设 a, b为任意两个正实数， 先求出a与b得商。当斤v 1时，av b;当W 1时，ab;

2、当h =1时，a=b。来比较a与b的大小。竹-1 1例2:比较 5 与5的大小。竹-1 11解：5 十 彳-1方时，a v b。来比较a与b的大小。例3：比较2001与.沁 加04的大小。 解 -,2期-7W4 + Y血3 , /IMS 2004 =)5 + -.WJ又顾 + ,硕 v 蘇 + -.WJ.丽,硕五丽四【平方法 】 平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a0, b0时，可由 J /得到ab来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。例5：比较t 6与-.3l . j的大小又 8+2v 8+2五【估算法】 估算法的基本是思路是设 a, b为任意两个正实数，先估算出a

3、, b两数或两数中某部分的取 值范围，再进行比较。厢丿 1例4:比较 名 与8的大小価丿1解:/ 3vv 4 3v 1 .8v 8六【移动因式法】（穿墙术）移动因式法的基本是思路是，当a 0, b 0,若要比较形如的大小，可先把根号外的因数a与c平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。例6:比较21与3 的大小解：T2,3O又 28 27,：.2 /I 3 J。七【取特值验证法】比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。例7：当0 1时，F,丄，工的大小顺序是1 1 1解：（特殊值法）取 丄=2工二片，丄=2。v 2 v 2,. C v 丄 v 丄。，贝U a、b、c、d按由小到大的顺

4、例（常德市）设 a= 2, b = （ 3） c = 1少，d = 序排列正确的是（A.c v av dv b B.b v dv av c C.a v cv dv b D.b v cv av d分析 可以分别求出a、b、c、d的具体值，从而可以比较大小而四 v 1 v2v 9,，S卩F解 因为 a= 2= 1, b= ( 3)2= 9, c = 9 = 一 計八,d= 2,所以cv av d v b.故应选A.除以上七种方法外，还有利用数轴上的点，右边的数总比左边的数大；以及绝对值比较法等 比较实数大小的方法。 对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题。 能快速地取得令人 满意的结果。比较实

5、数大小的八种方法张德军生活中，我们经常会遇到下面的问题：比较一个企业不同季度的产值，国家去年与前年的国民生产总值等实际问题的大小，转化成数学问题，就是比较两个或多个实数的大小，比较实数大小的方法比较多，也比较灵活，现采撷几种常用的方法供大家参考。一、法则法比较实数大小的法则是：正数都大于零，零大于一切负数，两个负数相比较，绝对值 大的反而小。例1比较-專与-空5的大小。析解：由于I 一朗=乩1 -、二吋5，且二. 5 ，所以一一、5。说明：利用法则比较实数的大小是最基本的方法，对于两个负数的大小比较，可将它 转化成正数进行比较。二、平方法2 2用平方法比较实数大小的依据是：对任意正实数a、b有

6、：aa .b。例2比较3 7与7 .3的大小。析解：由于（3-. 7）2 =63,（7、. 3）2 =147，而 63 147，所以 3、7：73。说明：本题也可以把外面的因数移到根号内，通过比较被开方数大小来比较原数的大小，目的是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。三、数形结合方法用数形结合法比较实数大小的理论依据是：在同一数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。例3若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示，试比较a、一 a、b、一 b、c、c的大小。L二 _ _ JL .I _IL *b0 qc图1析解：如图2，利用相反数及对称性，先在数轴上把数a、一

7、a、b、一 b、c、一 c表示的点画出来，容易得到结论：- c : b ： -a : a ： -b : c.IIIIIt1-cba0a-bc四、估算法a、b，先估算出a、b两数用估算法比较实数的大小的基本思路是：对任意两个正实数 的取值范围，再进行比较。12 -5、3、3例4比较 5 与3的大小。12 _5 332.4 _ 32.4 -1.80.6,0.6析解：由于2( 3 - . 2 一 4 -J10001 -、10000),100001 ：2( 一10001 - .2)2(100 -1.5)197,1000011 11 +亠+亠十+ ,198.所以 2. 3-10000两个实数大小的比较，

8、 方法多种多样，在实际操作时，根据要比较的数的特点来选择适当 的方法进行比较，才能方便快捷地取得准确的结果。编辑本段1.数轴比较法数轴的基本性质：实数与数轴上的点对应。利用这条性质，将实数的大小关系转化为点的位置关系。设数轴的正方向指向右方，则数轴上右边的点所表示的数比左边的点所表示的数要大。如图，点 A表示数a，点B表示数b。因为点 A在点B的右边，所以数 a大于数 b，即 ab.数轴编辑本段2.作差比较法若 a-b0，则 ab ；右 a-b=0，贝V a=b ；若 a-b0 ,则 a0 ,有若 a/b1，则 ab;若 a/b=1，则 a=b;若 a/b1，贝U ab。 当 b0 , a1,

9、贝U ab ;若 a/bb编辑本段4.倒数比较法若ab0，则1/a1/b;若ab1/b;若a0b，则1/a0, b0时，如果ab,那么-一。也就是说，两个正数,较大的正数的算术平方根也较大，其立方根也较大。反之也成立。例1、比较大小：（1）匚“ ；（2）； 0解析：若要比较形如丄上的两数的大小，可先把根号外的因数 a与c移入 根号内，再根据被开方数的大小进行比较。（1）因为破三找注三阿伐馆二J5* x M 屎，且45 75，所以届，因此，二0（2）因为2皓护曲N迈前二啪宀诉，且24 0,则-。在比较一个有理数和一个无理数的大小时，常选用此式。例2、比较. 的大小。解析:、乘方法（平方法或立方法

10、）如果a0, b0,若：，那么ab；若厂=|；，那么ab。例 3、比较大小：（1）2）_ 匚+ J解析：（1）因为，而1218,所以-=门。（2）因为（A十涉尸=2哄2网,（乔+征）2 = 20 + 2丽！ 而20 + 24 b；当一时，得到ab；当：-丨时，得到a=b。例5、比较的大小。解析：因为（-忑屈=扫-忑沁，所以 -翻泣-題六、作商法作商法的基本思路是，设a、b为任意两个正实数，先求出a与b的商卜，。当卜51=1时，ab；当丨 时，a=b。迢二1与例6比较的大小。V3-1 . 1_ 存V3-1 J解析：因为：，所以：仁七、放缩法（中间值法）如果ac， cb，那么ab。若通过放缩能够确

11、定两个实数中的一个比某个数小， 而另一个恰好比该数大时，可选用此法。例7、比较川、匚-的大小。解析：因为倔 弋砾口9，所以皿+ 2乜。所以 Jl U + 2 U 6 V J（i5 2 即 JlO 十 2 V -7（j5 2八、不等式性质法例8、比较大小：宀| 1 o解析：因为 ，所以_-，因此_ 丁 。九、特殊值法在解决含有字母的选择题或填空题时， 常常可以采用特殊值法，这样能够比较快 捷地得到答案。旳=|蠶LN =|件P =凶=阿例9、已知xy0,设2，则M N、P、Q的大小关系是（）。A MvQvPvNBMPQNCQNPM、NQvPMP = 2 q = 2解析：根据条件，不妨设，则m=4

12、N=1, 亍 。不难得到：NQP。因此，应选 Do十、数轴比较法数轴上的点与实数成对应的关系，数轴上的靠右边的点表示的数大于靠左边的点表示的数。例10、已知a、b是实数，且1 - J -。试比较a，b， a， b的大小关系。解析：因为r汗；m!，故可将a、b两数在数轴上表示出来，如图1。又 因为a与与 互为相反数，根据相反数的几何意义，a与-，= 在数轴 上可表示为图2。所以 m 的大小关系是 7门十一、法则比较法正数大于0, 0大于负数，正数大于负数。两个正数，绝对值大的数较大；两个 负数，绝对值大的数反而较小。例11、已知a b是实数，且aOb, c工0,试比较:匚的大小。解析：因为a0，

13、则ab0,所以十，为正数。所以 十二、根式定义法该法适用于二次根式和三次根式的大小比较。例12、比较广-丿的大小。解析：根据平方根的定义可知 jdU。所以, 1 , 故牡心呵L。而a 0?所以J 牯-3O十三、倒数法倒数法的基本思路是，设a、b为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数-，再根据当时，abc B、acb C、cba D、bca解析：当几个式子中的被开方数的差相等且式子中的运算符号相同时，可选用倒数法。首先,1_ I _2+V3b 2 - 71 (2- 75)(2+75)1=1_ 岳 + 2c V5 - 2 (75 - 2)( + 2)因为二，所以1 11，则bc。又因为：，所以厂

14、，则ab。由此可 得：abc。故选A。十四、分子有理化法例14、比较I K的大小。嗣 仁.丽-4(Q7-4)(717 +4)解析： A jrv 斗-Tiy (4 - -715)(4 4-14-45 = - =时= 77因为 + 4 a/TS +马，故-JlT + 4 4 + ，所以- 4 V 4 JT。总之，具体使用什么方法来进行比较，应当根据题目所给的实数的类型或形式灵 活选用。实数大小的比较方法安徽省长丰县钱集中学 杨明星在实数范围内比较两个数的大小， 看起来比较简单。但也有一些 题目会让大家比较棘手。我在多年的教育教学中发现，比较两个实数 的大小可用一些特殊的方法做起来比较容易。 下面介

15、绍几种比较两个 实数大小的方法，供大家参考。一、求差法例1 :比较与 的大小。分析：由于本题的分母相同，所以只要比较1与 -2的大小。解 T 1- (-2 )=1- +2=3- 0。( 3=，) 1 -2，/. 。说明：若 a、b 为实数，a-b 0 则 a b; a-b=O 则 a=b; a-bv 0则a 1时，ab. = 1时，a=b. V 1 时, aV b. ）以后我们做题遇到两数相除时可以和 1 比较出 大小,或约分后可以和 1 比较出大小时,可用这样的方法。三、倒数法的大小例 3：比较分析：对于二次根式，我们可以很容易看出 + 。因此只要把二次根式的差转化为和就可以了解又说明：两个

16、同分子分数比较大小，分母大的分数的值反而小。我们以后在解题时遇到求两个二次根式差的此类问题时可用倒数的方 法。四、平方法例 4：比较与 的大小。分析：本题我们通过观察可以发现题目中的被开方数存在这样的 规律： 2+6=8，3+5=8.所以想到用平方来解决问题。解 V=2+6=8+=3+ +5=8+说明：以后当我们遇到能通过平方使问题化繁为简时， 我们就采 用上述方法。五、“相同”法例 5：比较与 的大小。分析：本题的两个数都是幂的形式， 只要把它们化为同底数的幂 或同指数的幂就可以比较出大小了。解T =,= = 。二 V ,/.V 。说明：做题时若遇到比较两个幂的形式的数的大小时， 就把它们

17、化为同底数的幂或同指数的幂形式。六、中间值法例 6、比较与 的大小。分析：本题出现一个平方根，一个立方根，初看并不容易解决。 进一步观察可以发现它们都和 3 存在一定的联系。因为 3= 和 3= 。解T V , 与又t =3=Vo说明：当我们遇到两个数无法直接比较时， 寻找一个与他们都有 联系的数，利用传递性来解决问题。七、规律法例 7：比较与 的大小。分析：当nv 3时 v整数)。解 T 2009 3;当n3时 (n为正/.八、拆项法例 8：若 A= ，B=比较 A、B 的大小。分析：本题如果显然不是很好的方法，也不易比较。但是我们通 过观察可以发现这 4 个分数都与 1 比较接近，因此可以

18、把每个分数拆 成两个数的差。解 t A= -=11OB= -=1- 1v 2009X 2010 2008X 2009。/.v Av Bo从以上几例可以看出，实数的大小比较应根据题目的类型特点灵 活运用。希望大家能够从以上例题的学习中有所收获。 更希望大家在 解题时能注意知识的积累。实数比较大小的基本方法与技巧发布者： 高元就 发布时间：2011-7-18 11:30:06在现实生活与生产实际中，我们经常会遇到比较两个或几个数的大小。怎样比较实数与实数之间的大小呢？比较两个实数的大小通常有以下几种方法：一、求差法求差法设a，b为任意两个实数，先求出 a与b的差，再根据“当a-b0时，a0时，ab

19、.来比较a与b的大小.例1.比较大小：与；(2)1-与1-解： v =0,/ 1- 1-二、求商法求商法一一设a，b为任意正两个实数，先求出a与b的商，再根据“当1时，a1时，ab.来比较a与b的大小.例2 比较大小：(1)与；解：(1) v - =-11，二 .三、倒数法倒数法一一设a，b为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数，再根据“当 b；当 时，ab.来比较a与b的大小.例3 .比较与的大小.解：v =,=,又v ,四、估算法估算法设 a，b 为任意两个正实数，先估算出 a, b 两数或两数中某部份的取值范围， 再进行比较 . 例 4比较大小： (1) 与 ； (2) +3 与 4解

20、：(1) V 3 4,/. -31,/. V.(2)/-4 v-5,/ -1 +3-2 ; 又 V -6 -7,/ -24 4.五、平方法平方法一一比较含有无理数的式子的大小时，先将要比较的两个数分别平方，再根据“在a0, b0时，可由a2b2得到ab”比较大小.也就是说，两个正数比较大小时，如果一个数的平方比另一个数的平 方大，则这个数大于另一个数。例 5. 比较与的大小 .解：v()2=45，() 2=75 ,又V4575, / 0, b0时，若要比较形如与的两数的大小，可先把根号外的正因数a与c平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。例 6. 比较与的大小 .解：V =，=, 又

21、 V 4575,.七、近似值法在比较含有无理数的两个数的大小时， 也可以先用计算器求出它们的近似值， 不过取它们的近似值时， 要保持精确度相同，再通过比较有理数的大小，即比较它们的近似值的大小，从而确定它们的大小。例7.比较大小：(1)员与；(2)员与；(3)与-4.解：(1) V 贝3.142，v 3.162，二贝 .(2) V 贝3.1416，v 3.1629，二贝 -0.6834,/ -4.两个实数的大小比较，形式有多种多样，只要我们在实际操作时，有选择性地灵活运用上述方法，一定能 方便快捷地取得令人满意的结果。实数比较大小的基本方法与技巧口诀法比较有理数大小 有理数大小的比较是我们中学

22、阶段必须掌握的知识点， 方法比较多， 七年级阶段主要有以下 几种：数轴显示法、 数性比较法、 逐差法、同负绝对值法、 倒数法、 逐商法、凑整余数法、 同母(子) 法、赋值法、中间值法等。可简记为： 比较数大小， 数轴显真招； 正数比 0 大，负数比 0 小； 也可互相减， 与 0 来比高； 同负绝对值，值大数反小；同号放倒他，扶正反过来好；姓同来相除，与 1 来比较；分数接 近整，凑余比较它；分母或子像，比较另一样；代几特殊值，初步能确定；还是判不了，就 把中人找。现针对上述几种方法各举一例，供同学们参考。1、数轴显示法(比较数大小，数轴显真招)例 1：如图，把 0，a,b,-a,-b 按顺序由小到大排列 分析：互为相反数(非 0)的两点在原点异侧到原点的距离相等。在数轴上画出表示-a,-b 的点，在数轴上从左到右，数由小到大。答: -b a 0 -a b2、数性比较法(正数比 0 大，负数比 0 小)例2：52比较-（+ 9 ）和卜3|的大小93解：-/5- 5