利用导数求参数的取值范围方法归纳

1、1 112利用导数求参数的取值范围一已知函数单调性，求参数的取值范围 类型 1参数放在函数表达式上例 设函数f ( x) =2 x3 -3( a +1) x 2+6 ax +8其中 a r(1) 若f ( x)在x =3处得极值, 求常数a的值.(2) 若f ( x)在(-,0)上为增函数, 求a的取值范围二已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围 类型参数放在不等式上例 3.已知f ( x) =x3 +ax 2+bx +c在x =-23与x =1时都取得极值（1）求、的值及函数f ( x )的单调区间（2）若对x -1,2, 不等式 f ( x) m则实数m的取值范围是 _ 类型 2参数

2、放在区间上例已知三次函数f ( x) =ax 3 -5 x 2 +cx +d图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且f ( x )在 x=3 处有极值.（1）求f ( x )的解析式.（2）当x (0, m )时,f ( x)0 恒成立,求实数 m 的取值范围.分析:(1)f ( x ) =x3 -5 x 2+3 x +9(2). f( x) =3 x2-10 x +3 =(3 x -1)( x -3)由f ( x) =0得x = , x =3当x (0, )时f ( x) 0, f ( x)单调递增， 所以f ( x) f (0) =93 31当x ( ,3)时f ( x ) f (

3、3) =03所以当m 3时f ( x) 0在(0, m)内不恒成立， 当且仅当m (0,3时f ( x) 0在(0, m)内恒成立 所以m的取值范围为( 0,3基础训练：4.若不等式 x 4 -4 x 3 2 -a 对任意实数 x都成立 ， 则实数 a的取值范围是 _ .0三知函数图象的交点情况，求参数的取值范围例 5.已知函数f ( x) =ax3 +bx 2-3 x在x =-1, x =1处取得极值(1) 求函数(2) 若过点f ( x)的解析式. a(1, m )(m -2)可作曲线 y=f ( x)的三条切线,求实数 m 的取值范围.略解(1)求得f ( x) =x 3 -3 x(2)

4、设切点为m ( x , x 030-3 x ), 因为 f ( x) =3 x 02-3所以切线方程为y -m =(3 x 2 -3)( x -1), 又切线过点 m0所以x30-3 x -m =(3 x 020-3)( x -1) 0即2 x30-3 x20+m +3 =0 *因为过点 a可作曲线的三条切线, 所以关于x 的方程 *有三个不同的实数根0设g ( x ) =2 x030-3 x20+m +3则g( x ) =6 x 020-6 x0由g ( x ) =0得x =0或x =10 0 0所以g ( x )在(-,0), (1, +)上单调递增, 在( 0,1)上单调递减, 故函数g

5、 ( x )的极值点为x =0, x =1 0 0 0 0g(0) 0所以关于 x 的方程 *有三个不同实根的充要 条件是 解得 -3 m -2g (1) 0所求的实数m的取值范围是(-3,-2)总结:从函数的极值符号及单调性来保证函数图象与 x 轴交点个数.基础训练：5.设a为实数,函数f ( x) =x3-x2-x +a(1) 求f ( x )的极值(2) 当a在什么范围内取值时,曲线y = f ( x)与x轴仅有一个交点变式 2：若函数f ( x) =ax3 -x 2+x -5 在 ( -,+)上单调递增，求 a的取值范围。变式 3：已知函数f ( x) =2 ax -1x 2, x (

6、0,1，若f ( x )在区间(0,1上是增函数，求a的取值范围。变式 4：已知函数f ( x ) =x3 +ax 2 +x +1，a r（）讨论函数f ( x )的单调区间；（）设函数f ( x)在区间2 1- ，-3 3内是减函数，求a的取值范围变式 1：已知f ( x) =x3-12x2-2 x +5, x -1,2, f ( x ) m恒成立，求实数 m 的取值范围高考真题演练(2017 年理 21)已知函数f ( x) =ae2 x+( a -2)ex-x（1）讨论f ( x)的单调性；（2）若f ( x)有两个零点，求 a 的取值范围。(2017 年文 21)已知函数f ( x )

7、 =ex ( e x -a ) -a 2x（1）讨论f ( x)的单调性；（2）若f ( x ) 0 ，求 a 的取值范围。（2017 年文科 14）曲线y =x2+1x在点(1,2)处的切线方程为 。（2016 年文、理 21） 已知函数f ( x ) =( x -2)ex +a ( x -1) 2（1）讨论f ( x )的单调性；（2）若错误!未找到引用源。f ( x )有两个零点，求 a 的取值范围.（2014 年文科 21） 设函数f (x)=alnx +1 -a1x 2 -bx (a1)，曲线y = f (x)在点(1，f(1)处的切线斜率为0（1）求 b;（2）若存在x 1, 使得 f (x 0 0)1.（2013 年理科 21）已知函数 f(