三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质

1、三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识点总结1. O 是也ABC 的重心二 A + B + C = 0 ；s若O是警的重心，则_呷PG =1- （ PA）+1=3S ABC 故 A B C = 0 ；G为:ABC的重心.2. O 是 AABC 的垂心二 A B=B C =C A若O是心ABC (非直角三角形)的垂心，则soc : Soc : sob = tan A : tan B : tan C故 tan AOA tan BOB tanCOC =02 2 23. O 是 ABC 的外心二 |A |=|B |=|C | (或 a =B =OC )若 O 是 ABC 的外心则 S BOC： S

2、AC： S aob =sin BOC:sin AOC:sin AOB = sin2A:sin2B: sin2C故 sin2AOA sin2BOB sin2COC =0 ABAC-BABC CACBOA ( -)=OB .( ) = OC .( ) = 04. O 是内心 ABC 的充要条件是|AB | AC|BA | |BC |CA | ICB |引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记 AB,BC,CA的单位向量为ei，e2，e3，则刚才O是ABC内心的充要条件可以写成OA (ei e3)= B (ei 6)= C (e e3p 0 , o是ABC内心的充要条件也可以是aOA bOB c 0。

3、若 O是 ABC的内心,则S BOC : S . AOC : S . AOB = a : b :C故 aOA bOB cC =0或 sinAOA sinBOB sinCOC = 0 ；| AB|PC | BC | PA |CA|PB =0二 P 是 ABC 的内心;向量（召 g）（. =o）所在直线过 ABC的内心（是BAC的角平 |AB| |AC|分线所在直线）； 范例（一）将平面向量与三角形内心结合考查例1 . O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP =OA0,=则P点的轨迹一定通过 ABC的（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心AB与AC方向上的单位向量分

4、别为 和e2 , 又解析：因为AB是向量AB的单位向量设 网OP -0A二AP，则原式可化为 AP = G - e2），由菱形的基本性质知 AP平分.BAC，那么在 ABC 中，AP平分.BAC，则知选B.（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2.H是厶ABC所在平面内任一点，HAHC =HC HA二 点H是厶ABC的垂心. j d * - * * *由 HA HB =HB HC= HB (HC _HA) =0= HB AC =0= HB _ AC ,同理HC _AB，故H是厶ABC的垂心.（反之亦然（证略）例3.（湖南）P是厶ABC所在平面上一点，若 PA P PB P PC P

5、A，贝U P是厶ABC的（D ）A .外心B .内心C.重心D .垂心解析:由 PA PB 二 PB 卩CW PA PB - PB 卩C 二 0 .即卩 PB （PA - PC） = 0,即PB CA = 0则PB _ CA,同理PA _ BC,PC _ AB 所以P为 ABC的垂心.故选D.（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4. G是厶ABC所在平面内一点，GA GBGC=0=点G是厶ABC的 重心.证明 作图如右，图中 GB，GC二GE连结BE和CE,贝U CE=GB，BE=GC=BGCE为平行四边形=D是BC的中点，AD为BC边 上的中线将 GB GC =GE 代入 GA

6、 GB GC=0,得GA - EG=0二GA - GE - -2GD，故G是厶ABC的重心.（反之亦然（证略）例5.P是厶ABC所在平面内任一点.G是厶ABC的重心二（pa PB PC）.证明 PG =PA AGBG =PC CG 二 3PG =（AG BG CG） （PA PB PC）/ G 是厶 ABC 的重心 GA GB GC=0二 AG BG CG =0，即卩 3P = PA PB PC由此可得PG J （PA PB PC）.（反之亦然（证略）3例6若O为ABC内一点,OA OB，则O是ABC的（A .内心B. 外心C. 垂心D .重心解析：由OA+OB+OC=0得OB+OC=-OA，

7、如图以ob oc为相邻两边构作平行四边形，则OB OC =OD，由平行四边形性质知ROD2OA=2OE，同理可证其它两边上的这个性卜F(.2 2 2 2.) AH gMhQF =(乎亡十-y3)33222BC =化“皿）质，所以是重心，选D。（四）将平面向量与三角形外心结合考查例 7 若 O 为 UABC 内一点，OA = OB = OC，则 O 是.ABC 的（）A .内心B.外心 C.垂心 D .重心解析：由向量模的定义知 O至打ABC的三顶点距离相等。故O是丄ABC的外心，选B（五）将平面向量与三角形四心结合考查例 8.已知向量 OPi，OP2，OP3 满足条件 OP +OP2 +OP3

8、 =0，|OPi | = |OP2 | = |OP3 | = 1，求证 P1P2P3是正三角形（数学第一册（下），复习参考题五B组第6题） 证明 由已知OP1 +Op2=-Op3，两边平方得 OP1 OP2 = _丄，2 1同理 OP2 OP3 =OP3 OP = ?，|PP2 |=|P2P3 |=|P3P11=、3，从而 P1P2P3是正三角形.反之，若点O是正三角形 P1P2P3的中心，则显然有OP； + OP2+OP3 =0且|OR | = |OP2 |=|OP3 |.即O是厶ABC所在平面内一点，OP +OP2 +OP3 =0 且|OP1 |=|OP2 | = |OP3 |二 点 O

9、是正 P1P2P3 的中心.例9.在 ABC中，已知Q G H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q G H三点共线，且 QG:GH=1:2设 A(0,0)、B(X1,0 )、【证明】:以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系C（X2,y 2），D E、F分别为AB BC AC的中点，则有：D（竺0）、E（ 红込、F（X,y）由题设可设Q（仝2 2 2 2 2 2G（X1 X2 y2i t1_,AH 厂 BCAH *BC =x2(x2y2y4 =0.X2(X2-X1)y4oy27q_ AC.QF.ACg1)2(73)=02(X2 -xj y22 石2兀x 1z 2x 2 _

10、 x 1 3x 2(X2 _ x 1)2y2QG/2 X132x 2 -x1 =(X1 讨2、.、( 2X2 -Xj巧丁y3)(T3X2(X2 -Xi) y261 T= _QH36y2Z_(X2-X1)y2 3 _1 z 2x2 - x16)飞(亍2y22)3X2(X2-xj y2y22)即 QH =3QG，故 QG H三点共线，且QG GH=1： 2例10.若0、H分别是 ABC的外心和垂心.求证Oh =Oa Ob Oc.证明 若厶ABC的垂心为H，外心为0,如图.连B0并延长交外接圆于D，连结AD，CD.AD _ AB，CD _ BC .又垂心为 H，AH _ BC，CH _ AB，.AH

11、 / CD，CH / AD，.四边形AHCD为平行四边形，AH =DC =D0 0C，故 OH =0A AH =0A OB OC .著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”一一外心、(1) 三角形的外心、重心、垂心三点共线一一“欧拉线”，(2) 三角形的重心在“欧拉线”上，且为外一一垂连线的第一个三分点, 离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题 .重心、垂心的位置关系:即重心到垂心的距例11. 设0、G、H分别是锐角 ABC的外心、重心、垂心.求证 OG JoH3证明 按重心定理 G是厶ABC的重心二OG二1 (OA OB OC) 3按垂心定理

12、 OH =0A OB OC由此可得OGOH.35%2一才宀/)2 12(2 1)补充练习1已知A、B、C是平面上不共线的三点，0是三角形ABC的重心，动点P满足1 11 OP=( 0A + 0B+20C),贝U点 P 一定为三角形 ABC 的(B )3 22A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)0A2+BC220C +2AB，则O为 ABC的A外心B 内心C重心 D 垂心2.已知 ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点 P满足：PA PB =0，贝U P为.ABC的(A3.C )外心 B 内心已知0是平面上一C重心 D 垂心 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足:

13、00 (AB AC)，贝U P的轨迹一定通过厶ABC的A 外心 B 内心 C重心 D 垂心4 .已知 ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点Pa*PC PA*PB PB=0，贝U P点为三角形的P满足:A 外心B 内心 C重心 D 垂心a 卩A b PB cPC = 0，贝U P 点A外心B内心C重心6.在三角形ABC中，动点P满足:(B )A外心B内心C重心5 .已知 ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点 P满足: 为三角形的- 2 2 CA 二CB -2ABCP，D 垂心则P点轨迹一定通过厶ABC的:垂心7. 已知非零向量Ab与AC满足(孚 +jAC )-|AB| |AC|A.三边

14、均不相等的三角形B.直角三角形 口 ABAC 1 Mt、，BC=0且匚 =2,则厶ABC为()|AB|AC| 2C.等腰非等边三角形D.等边三角形|AB| |AC|解析：非零向量与满足()=0，即角A的平分线垂直于BC，a AB=AC，又cos A =12/ A=-，所以ABC为等边三角形，选D.C.重心D. AB边的中点 一 11 1 一1. B 取 AB 边的中点 M，贝U OA 0B = 20M，由 OP = ( 0A +0B+20C)可得 32230P =30M 2MC ,二MP _?MC，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且 3点P不过重心，故选B.2.在同一个平面上有

15、ABC及一点O满足关系式:8. ABC的外接圆的圆心为 0,两条边上的高的交点为 H, OH =m(0A - OB - OC)，则实数m= 19. 点0是 ABC所在平面内的一点，满足 0A OB =0B OC二OC 0A，则点0是 ABC的(B )(A)三个内角的角平分线的交点(B)三条边的垂直平分线的交点(C)三条中线的交点(D)三条高的交点10. 如图1,已知点G是UABC的重心，过G乍直线与ABAC两边分别交于MN两点，且咖二xAB，AN = yAC，则- - =3 ox y证 点G是厶ABC的重心，知GA GB GC = 0,得 (AB AG) (AC AG) =0,有 AG = -

16、(AB AC)。又 M, N, G三点共线(A不在直线 MN 3上),于是存在丄，使得AG = AM： -AN(且，=,有 AG = xA XCAC COSC 丿，由于ACAB cosBcosC1 T丄CA .同理可证即 AB BC + AC BC AB cosBAC BCAC cosC=：BC CB =0,所以AP表示垂直于BC的向量，即P点在过点A且垂直于BC的直线上，所以动点P的轨迹一定通过 ABC的垂心，如图.二、内心”的向量风米【命题5】 已知I为 ABC所在平面上的一点，且AB二c , AC二b , BC = a 若aIA bIB cl O，贝U I是厶ABC的内心.图【解析】冷

17、AB，T I则由题意得(a b c)IA bAB cAC =0，二 AIbca b c与竺分别为ACAB 和 AC方向上的单位向量, AI与/ BAC平分线共线，即AI平分.BAC .同理可证：BI平分.ABC，CI平分.ACB .从而I是厶ABC的内心，如图.【命题6】 已知O是平面上一定点，A B, C是平面上不共线的三个点，动点P满足【解析】 (0, :)，则动点P的轨迹一定通过 ABC的内心. 当(0,=)时，AP表示.BAC的平分线所在直线方向的向量，故动点P的轨迹一定通过 ABC的内心，如图.四、“外心”的向量风采【命题7】已知O是厶ABC所在平面上一点，若OArOBrOC2，则O

18、是厶ABC的外心.【解析】图22若 OA =OB2=OC2，则O是厶ABC的,贝y O2 =|ob外心如图。【命题7】 已知O是平面上的一定点，AB，C是平面上不共线的三个点，动点P满足AB+cosBACL AC cosC， （0, * ），则动点P的轨迹一定通过 ABC的外心。T T（【解析】 由于OB十0C过BC的中点，当川（0,+闵）时,A 2表示垂直于BCAB cosBAC cosC 丿的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以P在BC垂直平分线上，动点P的轨迹一定通过 ABC 的外心，如图。那是心与心的交汇，是相视的莞尔一笑，是一杯饮了半盏的酒,沉香在喉,甜润在心。我无所谓成功不成功，但我在乎我自己的成长；我无法掌握别人，但我可以掌握自己。我唯一能把握的，是我会一直尽力走下去，不为了别人，为了给自己一个交代。这个世界上有太多的事情是我们无法掌握的，你不知道谁明天会离开，你不知道意外和你等的人谁先到来。最可怕的是因为怕失去而放弃拥有的权利。我们都会遇到很多人，会告别很多人，会继续往前走，也许还会爱上那么几个人，弄丢那么几个人。关键在于，谁愿意为你停下脚步？对于生命中每一个这样的人，一千一万个感激。有一些人、一些事是不需要理由的:比如天空的颜色;比如连你自己都不知道为什么会喜欢上的那个人;比如昨天擦肩而过的