1.1_Fourier积分

1、1 设设)(xf在在,aa 上上连连续续, ,那那么么 ( (1 1) ) 若若)(xf为为偶偶函函数数, ,则则 aa a xxfxxf 0 d)(2d)(； ( (2 2) ) 若若)(xf为为奇奇函函数数, ,则则 0d)( a a xxf. . d 0 cosxx x (3) 0 2 dsinxxx (4) (5) d 0 sin x ex x d 0 0 sinsinxxx x 2 . .4 2 1 (1). 2 e 2 积分变换积分变换 工程数学工程数学 （第四版） 3 第一章第一章 Fourier变换变换 1 Fourier积分积分 2 Fourier变换变换 3 Fourier

2、变换的性质变换的性质 4 卷积与相关函数卷积与相关函数 5 Fourier变换的应用变换的应用 4 1.1 Fourier积分积分 5 xxnkxnkd)cos()cos( 2 1 定理定理 组成三角级数的函数系组成三角级数的函数系 ,1,cosx,sin x,2cos x,2sin x,cos,nx,sinnx 证证: 1xnxdcos 1xnxdsin0 xnxk coscos )(nk xxnxkdcoscos 0 ),2, 1(n xnkxnk)(cos)(cos 2 1 , 在在上上正交正交 , ,上的积分等于上的积分等于 0 . 即其中任意两个不同的函数之积在即其中任意两个不同的函

3、数之积在 6 上的积分不等于上的积分不等于 0 . , 2d11 x xxn dsin 2 xxn dcos2 ),2, 1(n , 2 2cos1 cos 2 xn xn 2 2cos1 sin 2 xn xn 且有且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 0dsinsin xxnxk 同理可证同理可证 : 0dsincos xxnxk )(nk 7 研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期 内的情况即可内的情况即可, 通常研究在闭区间通常研究在闭区间 T/2,T/2内函数变内函数变 化的情况化的情况. 并

4、非理论上的所有周期函数都可以用傅里并非理论上的所有周期函数都可以用傅里 叶级数逼近叶级数逼近, 而是要而是要满足狄利克雷满足狄利克雷(Dirichlet)条件条件, 即即 在区间在区间 T/2,T/2上：上： 1, 连续或只有有限个第一类间断点连续或只有有限个第一类间断点 2, 只有有限个极值点只有有限个极值点 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数。也就这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数。也就 是在函数的连续点处，级数可以展开成三角形式。是在函数的连续点处，级数可以展开成三角形式。 8 第一类间断点和第二类间断点第一类间断点和第二类间断点 的区别的区别: 第二类间断点第二类间断点 第

5、一类间断点第一类间断点 9 不满足狄氏条件的例不满足狄氏条件的例: ( )tgf tt 而在工程上所应用的函数而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的变尤其是物理量的变 化函数化函数, 全部满足狄氏条件全部满足狄氏条件. 实际上不连续函数都是实际上不连续函数都是 严格上讲不存在的严格上讲不存在的, 但经常用不连续函数来近似一但经常用不连续函数来近似一 些函数些函数, 使得思维简单一些使得思维简单一些. 1 ( )sin( )f t t 存在第二类间断存在第二类间断 点点 在靠近在靠近0处存在着无限多个极值点。处存在着无限多个极值点。 10 因此因此, 任何满足狄氏条件的周期函数任何满足狄氏条件

6、的周期函数 fT (t), 可表示为三角级数的形式如下可表示为三角级数的形式如下: 0 1 ( )(cossin) (1.1) 2 Tnn n a ftantbnt 22 22 22 22 0 0 1 ( )dd 2 (cosdsind ) 2 TT TT TT TT T nn n a fttt a an ttbn ttT 2 2 0 2 ( )d T TT aftt T (1) 为求出为求出a0，两边同时积分，得，两边同时积分，得 即即 11 2 2 ( )cosd T TT ftntt 即即 2 2 2 ( )cosd T TnT aftn tt T 2 2 2 cosd 2 T Tnn

7、T an tta (2) 为求为求an，先两边同乘，先两边同乘 ，然后两边同时积分，然后两边同时积分cosn t 2 2 1 sincosd T Tm m bm tn tt 22 22 0 1 cosdcoscosd 2 TT TTm m a n ttam tn tt 12 2 2 ( )sind T TT ftntt 即即 2 2 2 ( )sind T TnT bftn tt T (3) 同理同理, 为求为求bn, 先两边同乘先两边同乘 ，然后两边同，然后两边同 时时积分积分 sinn t 22 22 0 1 sindcossind 2 TT TTm m a n ttam tn tt 2

8、2 1 sinsind T Tm m bm tn tt 2 2 2 sind 2 T Tnn T bn ttb 13 最后可得最后可得: 0 1 ( )(cossin) (1.1) 2 Tnn n a ftantbnt 其中其中 2 2 0 2 ( )d T TT aftt T 2 T 2 2 2 ( )cosd(1,2,) T TnT aftn tt n T 2 2 2 ( )sind(1,2,) T TnT bftn ttn T 14 为了今后应用上的方便，下面把为了今后应用上的方便，下面把Fourier级数的级数的 jjjj sinj, 22 eeee j 三角形式转换为复数形式。由三角

9、形式转换为复数形式。由Euler公式，公式， jjjj 0 1 ( )j 222 n tn tn tn t Tnn n aeeee ftab jj0 1 jj 222 n tn tnnnn n aabab ee 则有则有 jj cos, 2 ee 15 如果令如果令 2 2 0 0 1 ( )d 2 T TT a cftt T 2 nn n ajb c 2 2 j j1 ( ) 2 T T n tnn nnT ab ccft edt T 22 22 11 ( )cosd( )sind TT TTTT ftn ttjftn tt TT 2 2 1 ( )cossind T TT ftn tjn

10、tt T 2 2 1 ( )d T T jn t T ft et T 16 则可以合写为一个式子，则可以合写为一个式子， 若令若令 则上式可以写为则上式可以写为 这就是这就是Fourier级数的复指数形式，或者写为级数的复指数形式，或者写为 2 2 j 1 ( )(0, 1, 2,) T T n t nT cft edtn T (0, 1, 2,), n nn jjj 0 1 ( ) nnn ttt Tnnn nn ftcc ec ec e 2 2 jj 1 ( )( )d T nn T t TT n ftfee T 17 接下来讨论非周期函数的展开问题。接下来讨论非周期函数的展开问题。 任何

11、一个非周期函数任何一个非周期函数 f (t) 都可以看成是由某个都可以看成是由某个 周期函数周期函数 fT(t) 当当T时转化而来的。时转化而来的。 作周期为作周期为T 的函数的函数 fT (t), 使其在使其在 T/2,T/2之内之内 等于等于 f (t), 在在 T/2,T/2之外按周期之外按周期T 延拓到整个数延拓到整个数 轴上轴上, 则则T 越大越大, fT (t)与与 f (t) 相等的范围也越大相等的范围也越大, 这这 就说明当就说明当T时时, 周期函数周期函数 fT(t) 便可转化为便可转化为 f (t), 即有即有 lim( )( ) T T ftf t 18 Ot f(t)

12、Ot fT1(t) Ot fT2(t) 19 2 2 jj 1 ( )( )d, T nn T t TT n ftfee T 由公式由公式 可知可知 当当n 取一切整数时，取一切整数时， 数轴上，两个相邻的点的距离为数轴上，两个相邻的点的距离为 2 2 jj 1 ( )lim( )d T nn T t T T n f tfee T 1 2 , nnn n T T 或或 n 所对应的点便均匀分布在整个所对应的点便均匀分布在整个 20 如图如图 2 2 jj 1 ( )lim( )d T nn T t T T n f tfee T T 2 O 1 2 3 n-1 n T 2 T 2 T 2 所以所

13、以 f (t)又可写为又可写为 2 2 jj 0 1 lim( )d 2 T nn T n t Tn n fee 1 2 (,) nnn n T T 或或 21 则有则有 当当 当当 t 固定时，固定时， 是参数是参数 的函数，的函数， n 2 2 jj 1 ( )d 2 T nn T t T fee 2 2 jj 1 ()( )d 2 T nn T t TnT fee 0 lim() n Tnn n 2 2 jj 0 1 ( )lim( )d 2 T nn T n t Tn n f tfee 0,()() nTnn T 即即 jj 1 ()( )d 2 nnt n fee 记为记为 ，即，即

14、() Tn 22 此公式称为函数此公式称为函数 f (t)的的Fourier积分公式。应该指出，积分公式。应该指出， 上式只是从右端从形式上推出来的，是不严格的。至上式只是从右端从形式上推出来的，是不严格的。至 于一个非周期函数于一个非周期函数f(t)在什么条件下，可以用在什么条件下，可以用Fourier 积分公式来表示，有接下来的收敛定理。积分公式来表示，有接下来的收敛定理。 jj 1 ()( )d 2 nnt n fee 又又 最后可得最后可得 jj 1 ( )( )dd 2 t f tfee 0 ( )lim() n Tnn n f t ()d( )d nn 23 Fourier积分定理

15、积分定理 若若 f (t) 在在( , + )上满足条件上满足条件: 1. f (t)在任一有限区间上满足在任一有限区间上满足Dirichlet条件条件; 成立，而左端的成立，而左端的 f (t) 在它的间断点在它的间断点 t 处，应以处，应以 来代替。来代替。 在在绝对可积是指绝对可积是指收敛。收敛。 2. f (t)在无限区间在无限区间( , + )上绝对可积上绝对可积, 则有则有 jj 1 ( )( )dd(1.4) 2 t f tfee (0)(0) 2 f tf t (,) |( )|df tt 24 (1.4)式也可以转化为三角形式式也可以转化为三角形式 jj 1 ( )( )dd

16、 2 t f tfee j( )sin()ftdd j() 1 ( )dd 2 t fe 1 ( )cos()d 2 ft 1 ( )cos()jsin()d 2 fttd 25 是是的偶函数，的偶函数，可得可得 ( )cos()ftd 0 1 ( )( )cos()dd(1.6)f tft 又又 1 ( )( )cos()dd(1.5) 2 f tft ( )sin()ftd 因因 是是的奇函数，所以的奇函数，所以 1 ( )( )cos()d 2 f tft j( )sin()ftdd 26 当当 f (t) 为奇函数时，利用三角函数的和差公式，为奇函数时，利用三角函数的和差公式， 在实际

17、应用中，常常要考虑奇函数和偶函数的在实际应用中，常常要考虑奇函数和偶函数的 0 1 ( )( )(coscossinsin)ddf tftt 分别是关于分别是关于 的奇函数和偶函数。因此的奇函数和偶函数。因此 又又 f (t) 是奇函数，则是奇函数，则 和和 ( )sinf( )cosf 00 2 ( )( )sindsindf tft Fourier积分公式。积分公式。 上面式子可以写为上面式子可以写为 27 当当 f (t) 为偶函数时，同理可得为偶函数时，同理可得 它们分别称为它们分别称为Fourier正弦积分公式和正弦积分公式和Fourier余弦积分余弦积分 公式。公式。 00 2 (

18、 )( )sindsindf tft 00 2 ( )( )cosdcosdf tft 特别，若特别，若 f (t) 仅在仅在 上有定义，且满足上有定义，且满足 Fourier 积分存在定理的条件，我们可以采用类似于积分存在定理的条件，我们可以采用类似于 Fourier 级数中的奇延拓或偶延拓的方法，得到级数中的奇延拓或偶延拓的方法，得到 f (t)相相 应的应的Fourier正弦积分展开式或正弦积分展开式或Fourier余弦积分展开余弦积分展开 式式 (0,) 28 1| | 1 ( ) 0| | 1 t f t t 例例 求函数求函数 的的Fourier积分表达式。积分表达式。 解解 根据

19、根据Fourier积分公式的复数形式，有积分公式的复数形式，有 jj 1 ( )( )dd 2 t f tfee 1 j 1 1 (cossin)d 2 t jed 1 j 0 1 cosd t ed 1sin (cossin)tjt d 0 2sincos ,(1) t dt 29 1| | 1 ( ) 0| | 1 t f t t 例例 求函数求函数 的的Fourier积分表达式。积分表达式。 解解 根据根据Fourier积分公式的复数形式，有积分公式的复数形式，有 jj 1 ( )( )dd 2 t f tfee 0 2sincos ,(1) t dt 当当 时，时，f (t) 应以应以 代代 替替 . 1t 10)( 10)1 22 ff （ 30 1| | 1 ( ) 0| | 1 t f t t 例例 求函数求函数 的的Fourier积分表达式。积分表达式。 也可以根据也可以根据 f (t) 的奇偶性来计算。因为的奇偶性来计算。因为 f (t) 为偶函数，为偶函数， 00 2 ( )( )cosdcosdf tft 1 00 2 cosdcosdt 0 2sin cosdt 所以由所以由Fourier余弦积分公式，可得，余弦积分公式，可得， 31 函数的图函数的图 形为形为 1 1 o t f(t) 1 32 可得可