数值分析实验报告3

1、实验报告实验项目名称数值积分与数值微分实 验 室 数学实验室所属课程名称数值逼近实验类型算法设计实验日期班级学号姓名成绩实验概述：【实验目的及要求】本次实验的的是熟练数值分析第四章“数值积分与数值微分”的相关 内容，掌握复合梯形求积公式、复合辛普森求积公式、龙贝格求积公式以及高斯 -勒让德公式。本次试验要求编写复合梯形求积公式、复合辛普森求积公式、龙贝格求积公式以 及高斯-勒让德公式的程序编码，并在MATLAB软件中去实现。【实验原理】数值分析第四章“数值积分与数值微分”的相关内容，包括：复合梯形 求积公式、复合辛普森求积公式、龙贝格求积公式以及高斯-勒让德公式的相应 算法和相关性质。【实验环

2、境】(使用的软硬件)软件：MATLAB 2012a硬件：电脑型号：联想Lenovo昭阳E46A笔记本电脑操作系统：Windows 8专业版处理器：Intel (R) Core (TM) i3 CPU M 350 2. 27GHz 2. 27GHz实验内容：【实验方案设计】第一步，将书上关于复合梯形求积公式、复合辛普森求积公式、龙贝格求积 公式以及高斯-勒让德公式的内容转化成程序语言，用MATLAB实现；第二步，分 别用以上求积公式的程序编码求解不同的问题。【实验过程】(实验步骤、记录、数据、分析)实验的主要步骤是：首先分析问题，根据分析设计MATLAB程序，利用程序 算出问题答案，分析所得答案

3、结果，再得出最后结论。1厂4 I x/x In xdx=- .实验：用不同数值方法计算积分109(1) 取不同的步长h.分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出 误差中关于h的函数，并与积分精确值比较两个公式的精度，是否存在一个最小 的h,使得精度不能再被改善？(2) 用龙贝格求积计算完成问题(1)。(3) 用勒让德多项式确定零点，再代入汁算高斯公式，使其精度达到10円(1)在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现复合梯形求积公式 的程序代码如下：function s二T(n) a二0. 0000001;b=l;h=(ba)/n;s=h* (f (a) +f (b

4、) )/2;if nlfor k=l：n-lx=a+k*h;s=s+h*f(x);endE二s+4/9%复合梯形误差end在command Windows中输入命令：T(10), T(100)以及T(lOOO),得出的结果为: T(10)E =0. 0271ans 二-0.4173 T(100)E =0. 0013ans =-0. 4431 T(1000)E =5.4375e-05ans =-0. 4444建立一个新的1-文件，输入程序代码，实现切比雪夫多项式的程序代码如下： function t=S(n)a二0. 0000001;b=l;h= (ba)/n;t=h*(f(a)+f(b)/6;

5、if nlfor k=0：nlx0=a+ (k+0. 5)*h;xl=a+k*h;if k=0t=t+4*f(x0)*h/6;else t=t+(4*f(x0)+2*f(xl)*h/6;endendE=t+4/9%复合辛普森误差endcommand Windows中输入命令：S(10), S(100)以及S(1000),得出的结果为: S(10)E 二0. 005ans =-0. 4387 S(100)E =2.4147e-04ans =-0. 4442 S(1000)E =9. 1563e-06ans =一0 4444总结山结果（1）、（2）可知复合辛普森法求积分精度明显比复合梯形法求 积的

6、精度要高，且当步长取不同值时即n越大、h越小时，积分精度越高。实验 结果说明不存在一个最小的h,使得精度不能再被改善。乂两个相应的关于h的误差（余项）Rn(f (2)4)(其中II属于&到b可知h愈小，余项愈小，从而积分精度越高。(2)在MATLAB的Editor中建立一个4文件，输入程序代码，实现龙贝格算法的程 序代码如下：function q, n=Roberg(f, a, b)M二 1;abs0=10;k二 0;T=zeros(l, 1);h=ba;T (1, l) = (h/2)*(subs(f, a) +subs (f, b);while abs00. 0001k二k+1;h=h/2

7、;P二 0;for i=l:Mx=a+h*(2*i-l);p二p+subs (f, x);endT(k+1, l)=T(k, l)/2+h*p;M=2*M;for j=l:kT (k+1, j+l) = (4 j)*T(k+1, j)-T (k, j)/(4 j-1);endabs0=abs(T(k+1, j+1)-T(k, j);endq 二T(k+l,k+l);n=k;在 command Windows 中 输 入 命 令 Fx, n二Roberg( sqrt (x)*log(x) ,10 (-8), 1),得出的结果为: Fx =-0.444387313932947n 二9(3)在MAT

8、LAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现龙贝格算法的程序代码如 下：function ql, Ak, xk=guasslegendre(fun, a, b)% fun：被积函数% a,b：积分上下限% Ql：积分结果% Ak：系数% xk：零点n二 0;fun=(x)sqrt(x) *log(x);eps=l;while eps0. 0001syms xp=sym2poly (diff (x2T)，(n+1), n+1)/ (2 (n+1) *factorial (n+1); tk=roots(p);Ak=zeros(n+1, 1);for i=l:n+lxkt=tk;xkt

9、(i) = ;pn=poly(xkt);fp=(x)polyval (pn, x)/polyval (pn, tk(i);Ak(i)=quadl (fp, -1, 1, 0. 0001);endxk= (b-a)/2*tk+(b+a) /2;fx= (b-a)/2) *fun(xk); ql=sum(Ak. *fx); eps=abs(ql+4/9);n=n+l;endE=eps在 command Windows 中 输 入 命 令 guasslegendresqrt (x)*log(x) ,10 (-8), 1),得出的结果为： guasslegendre (/ sqrt (x) *log (x), 10 (-8), 1)E =9.4667e-05 ans =-0. 4445结论】（结果）复合求积法相比普通的求积公式而言精度要高，其中复合辛普森法求积分精 度比复合梯形法求积的精度要高，龙贝格求积法使等距节点求积精度进一步提 高。高斯求积公式具有最高代数精度。【