几种特殊类型行列式及其计算

1、标准1 行列式的定义及性质1.1 定义 3n级行列式a11a12La21a22LMMan1an2L等于所有取自不同行不同列的个 n 元素的乘积a1na2nManna1j1 a2 j2 L anjn (1)的代数和 ,这里 j1j2L jn 是1,2,L , n的一个排列 ,每一项 （1）都按下列规则带有符号 :当 j1j2L jn 是偶排列时 , （1）带正号，当j1j2L jn是奇排列时 , （1）带有负号.这一定义可写成a11a12La21a22LMMan1an2La1na2nMj1 j2L jna1j1a2j2 L anjnj1 j2L jn这里表示对所有 n 级排列求和 .j1 j2L

2、 jn1.2 性质 4性质 1.2.1 行列互换 ,行列式的值不变 .性质 1.2.2 某行 （列）的公因子可以提到行列式的符号外 .性质 1.2.3 如果某行 （列）的所有元素都可以写成两项的和 ,则该行列式可以写成两行列式的和 ;这两个行列式的这一行 （列）的元素分别为对应的两个加数之一 ,其余各行 （列 ）与原行列式相同.性质 1.2.4 两行 （列）对应元素相同 ,行列式的值为零 .性质 1.2.5 两行 （列）对应元素成比例 ,行列式的值为零 .性质 1.2.6 某行 （列）的倍数加到另一行 （列）对应的元素上 ,行列式的值不变 .文案标准性质 1.2.7 交换两行 （列）的位置,行

3、列式的值变号 .2 行列式的分类及其计算方法2.1 箭形（爪形）行列式这类行列式的特征是除了第 1行（列）或第 n 行（列）及主（次）对角线上元素外的其他元素均为零，对这类行列式可以直接利用行列式性质将其化为上 （下）三角形行列式来计算 .即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零例1 计算 n阶行列式a111L11a20L0Dn10a3L0a2a3L an 0LLLLL100Lan11第三列的 解 将第一列减去第二列的 1 倍，a2 倍L 第 n 列的 1 倍，得a3annaii2i 2 ai111L1L1a2an0a20L000a3L0LLLLL000Lana1a12.2 两三角型行列式这类

4、行列式的特征是对角线上方的元素都是 c ,对角线下方的元素都是 b 的行列式，初看，文案标准这一类型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由这类行列式变换而来，对这类行列式，当b c时可以化为上面列举的爪形来计算，当 b c时则用拆行 （列）法9来计算.例 2 计算行列式a1 c c L b a2 c LbbLLa3 LLLc c c L解 当 b c时a1Dnb a2 b Lb b a3 LLLLLb b b L将第2行到第行 n都减去第1行，则 Dn化为以上所述的爪形，即a1b a1b a2 bb0LLb0Dnb a10a3 bL0LLLLLb a100Lan b用上述特征 1的方法，则有a1

5、bba1i 2 ai b0Lb a1b a1a2 b0L0a3 b Lb a1000Lan bai b ba1b L ai 1 b ai 1 b L anb.i1i1当b c时，用拆行 （列）法9 ，则文案x1aaLabx2aLabbx3LaLLLLL bbbLb标准x1 bax2aaLLaaDnbbx3LaLLLLLbbbLxnx1aaLa0bx2aLa0bbx3La0L L L L Lb b b L b xn bx1aaL0bx2aL0bbx3L0LLLLLb b b L xn bx1 a0LLb ax2 aLLxn b Dn 1.LLLLxn 1 a a0b化简得Dnx1a x2aLxn

6、 1xnDn而若一开始将xn拆为 axn，则得Dnx1b x2xn 1xnDn由 1 xn bxnDn1abxii1nxjj1有一些行列式虽然不是两三角型的行列式，但是可以通过适当变换转化成两三角型行列 式进行计算 .例 3 计算行列式baa n 2Ld b b L c x a L c a x L LLLL c a a L文案标准解 将第一行 ab ，第一列 ca ，得a2daaLabcbcaxaLaDn2aaaxLaLLLLLaaaLx即化为上 2 1 情形，计算得n1d x an2n 1 ad bc x a而对于一些每行 （列）上有公共因子但不能像上面一样在保持行列式不变的基础上提出公共因

7、子的，则用升阶法 8来简化 .例 4 计算行列式解 将行列式升阶，得将第 i 行减去第一行的 xi i 2,L ,n1 x12 x1x2 Lx1xnx2x11 x22 Lx2xnLLLLxnx1xnx2L12 xn1x1x2Lxn01 x12x1x2Lx1xn0x2x11 x22Lx2xnLLLLL0xnx1xnx2L12 xn倍，得1x1 x2 Lxnx11 0 L0x201L0.LLLLLxn0 0 L1Dn这就化为了爪形，按上述特征 1的方法计算可得文案标准n21xix1 x2 Li1Dnxn00n2xii12.3 两条线型行列式这类行列式的特征是除了主 （次 ）对角线或与其相邻的一条斜

8、线所组成的任两条线加四个顶点中的某个点外，其他元素都为零，这类行列式可直接展开降阶，对两条线中某一条线元 素全为 0 的，自然也直接展开降阶计算例 5 计算行列式a1Lb1 a2L b2LLLLDnLLLLLLLLan 1bn 1bnLLLan解 按第一行展开可得a2b2LLLb1LLLLLa3b3LL1nbn1a2b2LLLLLLLLLLLLLLLLan 1bn 1LLan 1bn 1LLLLLanLLLan 1bn 1nn1a1a2 L an1 b1b2L bn .例 6 计算行列式文案an 1标准bnD2na1c1b1d1bndndn文案解 方法 1直接展开可得D2nD2nanan 1b

9、n 100an 1bn 1ONONa1 b1a1b11 2nc1 d1bn1c1d1NONOcn 1dn 1cn 1dn 10dncn0andnan 1bn 1bncn2n 1 11 2n 1 1an 1bn 1ONOOb1d1NONa1c1b1d1Na1c1cn 1dn 1cn 1dn 1andnbncn D2 n 1andn bncn D2 n 1方法 2 ( 拉普拉斯定理法3andnbncnan 1dnbn 1cn 1D2n2aidi bici .i1) 按第一行和第 2n 行展开得D2nanbndnandn标准1 2n 1 2n1bncn D2 n 1 .an 1ONcn 1bn 1

10、N a1 b1 c1 d1Odn 1其余的同法 1.2.4 Hessenberg 型行列式这类行列式的特征是除主 （次）对角线及与其相邻的斜线，再加上第 1或第 n行外，其他元素均为零，这类行列式都用累加消点法，即通常将第一行 （列）元素化简到只有一个非零元素，以便于这一行或列的展开降阶计算例 7 计算行列式Dn110 L L0212 L L0302LL0LLLLLn100L2n00L01解 将各列加到第一列得Dnn200LL012LL002LL0LLLLn2L00L200L01n按第一列展开得文案标准Dnn n 1LL2LL1 0 L02 2 L0LLn22n00L00 L 0 n 1 1

11、n2.5 三对角型行列式形如 DnabcabcOOOO c的行列式，这类行列式的特征是除这三条斜线上元素外，其 b a他元素均为零，这是一递推结构的行列式，所有主子式都有同样的结构，从而以最后一列展开，将所得的 n 1阶行列式再展开即得递推公式 . 对这类行列式用递推法 5例 8 计算行列式Dn解 按第一列展开有DnaDn 1bcDn 2解特征方程 x2 ax bc 0 得x1a a2 4bc2a,x2a2 4bc2Dnn1x1n1x2, x1x2 .标准Dn9549OOOOO 9 549解 按第一行展开得Dn 9Dn 120 0.解特征方程得x1 4,x2 5.则Dn a4n 1 b5n 1

12、 .分别使 n 1,2得 a16,b 25, 则n 1 n 1 Dn 5 4 .2.6 各行 （列）元素和相等的行列式这类行列式的特征是其所有行（列）对应元素相加后相等，对这类行列式，将其所有行加到第一行 （列）或第 n 行（列），提取公因式后，再把每一行都减去第一行 （列），即可使行列式中出现大量的零元素例 10 计算行列式1 a1a1 La1a2 1 a2 La2LLLLanan L 1 an1 a1 L a2 L1 a1 L ana2L1 an解 将第 2行到第 n行都加到第 1行，得an 1 a1 L an L1 a2 LLL文案标准1 a1 Lan1 a2 L LLa2 L1101L

13、LL1a2L1 an1 a1 Lan10L11 a1 L an2.7 相邻两行 （列） 对应元素相差 1的行列式这类行列式的特征是大部分以数字为元素且相邻两行（列）元素相差 1 的行列式，对这类行列式，自第一行 （列）开始，前行（列）减去后行（列），或自第行 n（列）开始，后行（列）减去前行 （列），即可出现大量元素为 1或 1的行列式，再进一步化简即出现大量的零元素若相邻两行 （列）元素相差倍数 k ，则前（后）行（列）减去后（前）行（列）的 k倍，可使行列式出现大量的零元素 .例 11 计算行列式01解 依次用前行减去后行，可得11111 1 1 L 1 110现将第1列加到第 2列至第 n列，得文案标准100L120LDn122LMMM122Ln12n000000MM20n n 1n 1 2n 3 2n 4 L例 11 计算阶 n 行列式1aa2Lan 11aLn 2 n 1aa1LMMM234aaa L23aaa Ln1an2an3an1a解 这是相邻两行 （列）相差倍数 a ，可采用前行减去后行的a 倍的方法化简得1 an 0 0 L 0 00 1 an0 L000 M0a01anL00MMMM00L 1 an 023n 1aaL a 1n12.8 德蒙德型行列式这类行列式的特征是有逐行 （列 ）元素按方幂递增或递减，对这类行列式可以转化为德蒙 德行列式来计算 .