勾股定理练习题及标准答案共6套

1、勾股定理课时练（ 1）1. 在直角三角形 ABC 中，斜边 AB=1 ，则 AB 2 BC2 AC 2的值是（ ）A.2 B.4 C.6 D.82. 如图 1824所示,有一个形状为直角梯形的零件 ABCD，ADBC，斜腰 DC的长为 10 cm， D=120，则该零件另一腰 AB 的长是 cm（结果不取近似值） .3. 直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则它斜边上的高为 4. 一根旗杆于离地面 12m 处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高多少 m ？米处，那么这棵树折断之前的高度是米 .5. 如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3

2、 米处折断，树的顶端落在离树杆底部 4第 5 题图6. 飞机在空中水平飞行 , 某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方 这个男孩头顶 5000 米, 求飞机每小时飞行多少千米 ?7. 如图所示，无盖玻璃容器，高 18cm ，底面周长为 60cm ，在外侧距下底 1cm的点 C处有一 蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的 F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度 .8. 一个零件的形状如图所示，已知 AC=3cm ， AB=4cm ，BD=12cm，在四边形 ABCD 中， A=60， B= D=90， BC=2，CD=3，求 AB的长. B 第的西7 8题km图北

3、 7km 处，9.10. 如图，一个牧童在小河的南 4km 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋 他第想把8他题的图马牵到小河边去饮水，然后回家 . 他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 11如图，某会展中心在会展期间准备将高 5m,长 13m，宽 上铺第地9毯题, 图已知地毯平方米 18 元，请你帮助计算一下，铺 道至少需要多少元钱 ?12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻 源为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话 距离为 15 千米早晨 8：00 甲先出发，他以 6 千米/ 时的 行走，1 小时后乙出发，他以 5 千米/时的速度向北行进，上午2m 的楼道 完这个楼

4、5m 找 水 机的有效 速度向东 10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？- 1 - / 10第一课时答案：2 2 2 2 21.A，提示：根据勾股定理得BC2AC21，所以AB 2BC2AC 2 =1+1=2；在直角三角形 CBD中，根据勾股定理，得 CD2=BC2+BD2=25+122=169，所以 CD=13.9. 解：延长 BC、AD交于点 E. （如图所示） B=90， A=60， E=30又 CD=3， CE=6， BE=8，2.4 ，提示：由勾股定理可得斜边的长为 5m，而 3+4-5=2 m ，所以他们少走了 4步.设 AB=x ，则 AE=2x ，由勾股定理。得 （2

5、x）2 x23. 60 ，提示：设斜边的高为 x ，根据勾股定理求斜边为13122 52169 13 ，再利10. 如图，作出 A 点关于 MN 的对称点 A，连接 AB 就是最短路线 . 在 Rt A DB 中，由勾股定理求得82,x 8 33B交MN于点 P，则AA B=17kmA用面积法得， 1 5 12 1 13 x,x 60 2 2 134. 解：依题意， AB=16 m ， AC=12 m，在直角三角形 ABC 中 ,由勾股定理 ,2 2 2 2 2 2BC 2AB2AC2162122202 ,11.解：根据勾股定理求得水平长为132 52 12m ，地毯的总长 为 12+5=17

6、（m），地毯的面积为 172=34 （ m2），所以 BC=20 m ,20+12=32（ m ）, 故旗杆在断裂之前有 32m 高.5.86. 解:如图,由题意得 ,AC=4000米, C=90 ,AB=5000米,由勾股定理得铺完这个楼道至少需要花为： 34 18=612（元）12. 解：如图，甲从上午 8：00到上午 10： 00一共走了 2 小时， 走了 12 千米，即 OA=12乙从上午 9：00 到上午 10：00 一共走了 1 小时，走了 5 千米，即 OB=5 在 Rt OAB 中， AB2=122十 52169，AB=13，BC= 50002 40002 3000( 米),3

7、 所以飞机飞行的速度为20540（ 千米/小时）36007. 解：将曲线沿 AB展开，如图所示，过点 C作 CE AB于 E.在 Rt CEF, CEF 90 ， EF=18-1-1=16 ( cm)，CE= 1 30(cm) ，2. 6015 13， 甲、乙两人还能保持联系因此，上午 10：00 时，甲、乙两人相距 13 千米由勾股定理，得 CF= CE2 EF 2302 162 34(cm)8.解：在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得2 2 2 22BC 2AC 2AB2324225- 2 - / 10勾股定理的逆定理（ 2）一、 选择题1. 下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是

8、（）11. 如图， AB为一棵大树， 在树上距地面 10m的 D处有两只猴子， 它们同时发现地面上的 C处有 一筐水果，一只猴子从 D 处上爬到树顶 A 处，利用拉在 A 处的滑绳 AC，滑到 C 处，另一只猴子 从 D 处滑到地面 B，再由 B 跑到 C，已知两猴子所经路程都是 15m，求树高 AB.隧道D12.理答案：勾股定理的一、B1. C；2.C；3.C，第 11 题A.9，12，15 B. 5 ,1,3C.0.2， 0.3， 0.4 D.40，41，9442. 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三个内角比为 1 21B.三边之比为 12 5C.三边之比为 3 2 5

9、D. 三个内角比为 1 233. 已知三角形两边长为 2 和 6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（），为修通铁路凿通隧道 AC，量出 A=40 B50， AB 5公里， BC4 公里，若每天凿 .0 .3 公里，问几天才能把隧道 AB凿通？提C示 ：当已经给出的两边分别为直角边时， 第三边为斜边 = 22 62 2 10;A. 2 B. 2 10 C. 4 2或 2 10 D. 以上都不对当 6为斜边时，第三边为直角边 = 62 224 2 ；4. C；4. 五根小木棒，其长度分别为 7，15， 20， 24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）(B)7(C)A B

10、 C 二、填空题二、 5.90 提示：根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，所以最大的内角为190.6.54 ，提示：先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，面积为9 12 54.7.2直角，提示：2 2 2 22 2 2（a b）2100,得a2b22ab 100,a2b2100 2 18 64 82c25. ABC的三边分别是7、24、25，则三角形的最大内角的度数是8. ，提示：先根 据勾股定理逆定理判断三角形是直 角三角形，再利 用面积法求得136. 三边为 9、12、15 的三角形，其面积为.7.已知三角形 ABC的三边长为 a,b,c满足a b 10,ab 18， c 8，则此

11、三角形为三角形 .8.在三角形 ABC中， AB=12cm ， AC=5cm ，BC=13cm ，则 BC边上的高为 AD= cm. 三、解答题9. 如图，已知四边形 ABCD 中， B=90， AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD 的 面积.1112 5 13 AD ；22三、9. 解：连接 AC，在 Rt ABC 中， AC2=AB2 BC2=3242=25 ， AC=5. 在 ACD 中， AC2CD2=25 122=169， 而 AB2=132=169 ， AC2 CD2=AB2， ACD =901AB=4，CE= 4 BC，F为 CD的中11 故 S 四边形

12、 ABCD=SABCS ACD= AB BC22 10. 解：由勾股定理得 AE2=25， EF2=5， AF2=20， AE2= EF2 +AF2， AEF 是直角三角形ACCD= 1 34122 512=6 30=36.11. 设 AD=x米，则 AB为（ 10+x）米， AC 为（ 15- x）米， BC为 5米，（x+10）2+52=（15-x）2，解- 3 - / 10得 x=2， 10+x=12 (米)12. 解：第七组， a 2 7 1 15,b 2 7 (7 1) 112,c 112 1 113.第 n 组， a 2n 1,b 2n(n 1),c 2n(n 1) 1- 4 -

13、/ 10勾股定理的逆定理 （3）、基础 巩固1. 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三内角之比为 1 23B.三边长的平方之比为 123C.三边长之比为 345D.三内角之比为 34 52.如图 1824所示,有一个形状为直角梯形的零件 ABCD，ADBC，斜腰 DC的长为 10 cm， D=120则该零件另一腰 AB 的长是图 18图 18 2 5. 图 18 2 910.已知：在 ABC 中， A 、 B、C 的对边分别是 a、b、c，满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断ABC 的形状 .12.已知：如图 182 10，四边形 ABCD ，AD

14、BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3. 求：四边形 ABCD 的面积 .3.如图 18 25，以 Rt ABC 的三边为边向外作正方形， 其面积分别为 S1、S2、S3，且 S1=4，S2=8， 则 AB 的长为 .4.如图 18 26，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E为AB中点，F为AD 上的一点，且AF= 1 AD ， 4试判断 EFC 的形状.5.一个零件的形状如图 18 27，按规定这个零件中 A 与 BDC 都应为直角，工人师傅量得零 件各边尺寸： AD=4 ，AB=3,BD=5 ， DC=12 , BC=13 ，这个零件符合要求吗？图 18 2 76.已知 ABC 的

15、三边分别为 k21，2k，k2+1（k1），求证： ABC 是直角三角形 . 二、综合 应用7.已知 a、b、c 是 Rt ABC 的三 边长， A 1B1C1的三边长分别是 2a、2b、2c，那么 A1B1C1是直 角三角形吗？为什么？28.已知：如图 1828，在 ABC 中， CD 是 AB 边上的高，且 CD 2=ADBD. 求证： ABC 是直角三角形 .图 18 210参考答案一、基础 巩固1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三内角之比为 1 23B.三边长的平方之比为 123C.三边长之比为 345D.三内角之比为 3 45思路分析： 判断一个三角形是否是直角三

16、角形有以下方法：有一个角是直角或两锐角互余； 两边的平方和等于第三边的平方；一边的中线等于这条边的一半 . 由A得有一个角是直角； B、C满足勾股定理的逆定理，所以 应选 D.答案： D2.如图 182 4所示,有一个形状为直角梯形的零件 ABCD，ADBC，斜腰 DC的长为 10 cm， D=120，则该零件另一腰 AB 的长是 cm （结果不取近似值） .图 18 2 4图 18 2 89.如图 1829所示，在平面直角坐标系中， 点 A、B的坐标分别为 A（3，1），B（2，4），OAB 是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论解：过 D 点作 DEAB 交 BC 于 E, 则 DEC

17、是直角三角形 .四边形 ABED 是矩形， AB=DE.- 5 - / 105.一个零件的形状如图18 27，按规定这个零件中A 与 BDC 都应为直角，工人师傅量得零 D=120， CDE=30 .又在直角三角形中， 30所对的直角边等于斜边的一半， CE=5 cm. 根据勾股定理的逆定理得， DE= 102 525 3 cm.22AB= 102 52 5 3 cm.3.如图 18 25，以 RtABC 的三边为边向外作正方形， 其面积分别为 S1、S2、S3，且 S1=4，S2=8， 则 AB 的长为 .图 18 25图 1826思路分析：因为 ABC 是Rt，所以 BC2+AC2=AB2

18、,即S1+S2=S3，所以 S3=12，因为 S3=AB 2,所以 AB= S312 2 3 .答案： 2 34. 如图 18 26，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E为 AB 中点，F为AD上的一点，且 AF= AD，4试判断 EFC 的形状.思路分析： 分别计算 EF、CE、CF 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可.解：E为 AB中点， BE=2.CE2=BE2+BC2=22+42=20.同理可求得 ,EF2=AE 2+AF 2=2 2+1 2=5,CF 2=DF 2+CD 2=3 2+4 2=25. CE2+EF2=CF2,EFC 是以 CEF 为直角的直角三角形 .件各边尺寸：

19、 AD=4 ， AB=3,BD=5 ，DC=12 , BC=13 ，这个零件符合要求吗？图 182 7 思路分析：要检验这个零件是否符合要求， 只要判断 ADB 和 DBC 是否为直角三角形即可， 这样勾股定理的逆定理就可派上用场了 .解：在 ABD 中，AB2+AD 2=32+42=9+16=25=BD 2，所以 ABD 为直角三角形， A =90. 在 BDC 中,2 2 2 2 2 2BD 2+DC 2=52+122=25+144=169=13 2=BC 2.所以 BDC 是直角三角形， CDB =90.因此这个零件符合要求 .226. 已知 ABC 的三边分别为 k21，2k，k2+1

20、（k1），求证： ABC 是直角三角形 .思路分析： 根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可 . 证明： k2+1k21,k2+12k=（k 1）20,即k2+12k， k2+1是最长边 .2 2 2 4 2 2 4 2 2 2（k21）2+（2k ）2=k42k2+1+4k2=k4+2k 2+1=（k 2+1） 2, ABC 是直角三角形 .二、综合 应用7. 已知 a、b、c 是 Rt ABC 的三 边长， A1B1C1的三边长分别是 2a、2b、2c，那么A1B1C1是直 角三角形吗？为什么？思路分析： 如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是

21、直角 三角形（例 2已证） .解：略8. 已知：如图 18 28，在 ABC 中， CD是AB 边上的高，且 CD 2=ADBD.求证： ABC 是直角三角形 .图 182 8 思路分析： 根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可 . 证明： AC 2=AD 2+CD2，BC2=CD2+BD 2，2 2 2 2 2 AC2+BC 2=AD 2+2CD 2+BD 2 22=AD 2+2ADBD+BD 222 =（AD+BD ）2=AB 2. ABC 是直角三角形 .- 6 - / 109. 如图 1829所示，在平面直角坐标系中， 点 A 、B的坐标分别为 A（3，1），B（2，4），OA

22、B是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论图 182 9 思路分析： 借助于网格，利用勾股定理分别计算 OA 、AB、OB 的长度，再利用勾股定理的逆 定理判断 OAB 是否是直角三角形即可 .解： OA 2=OA 12+A1A2=32+12=10,2 2 2 2 2OB2=OB12+B1B2=22+42=20,2 2 2 2 2AB 2=AC 2+BC 2=12+32=10,OA 2+AB 2=O B2. OAB 是以 OB 为斜边的等腰直角三角形 .10. 阅读下列解题过程：已知 a、 b、 c 为 ABC 的三边，且满足 a2c2b2c2=a4b4，试判断 ABC 的形状 .解： a2c

23、2b2c2=a4b4，（A） c2（a2 b2）=（a2+b 2）（a2b2） ，（B） c2=a2+b2，（C） ABC 是直 角三角形 .问：上述解题 过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号 ；错误的原因是 ；本题的正确结论是 .思路分析： 做这种类型的题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在忽视了 a有可能等于 b 这一条件，从而得出的结论不全面 .答案： （B） 没有考虑 a=b 这种可能，当 a=b 时 ABC 是等腰三角形； ABC 是等腰 三角形或直角三角形 .11. 已知：在 ABC 中， A、B、C的对边分别是 a、b、c，满足 a2+b2+c2+338

24、=10a+24b+26c. 试判断 ABC 的形状 .思路分析：（1）移项，配成三个完全平方； （2）三个非负数的和为 0，则都为 0； （3）已知 a、b、 c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形.解：由已知可得 a210a+25+b224b+144+c2 26c+169=0, 配方并化简得 ,（a5）2+（b 12）2+（c13）2=0.（a5） 2 0,（b 12）20,（c 13）20.a5=0,b12=0,c13=0.解得 a=5,b=12,c=13.又 a2+b2=169=c2, ABC 是直角三角形12. 已知：如图 18210，四边形 ABCD ， AD BC，

25、AB=4 ，BC=6 ，CD=5 ， AD=3. 求：四边形 ABCD 的面积 .思路分析：（ 1）作 DEAB，连结 BD ，则可以证明 ABD EDB （ASA ）；（2）DE=AB=4 ，BE=AD=3 ，EC=EB =3；（3）在DEC中，3、4、5为勾股数， DEC为直角三 角形， DEBC； （4）利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解.解：作 DEAB，连结 BD ，则可以证明 ABD EDB （ ASA ） , DE=AB=4 ， BE=AD=3. BC=6, EC=EB=3.DE2+CE2=32+42=25=CD 2, DEC 为直角三角形 .又 EC=EB=3, DBC

26、为等腰三角形， DB=DC=5.在BDA 中 AD 2+AB 2=32+4 2=25=BD 2, BDA 是直角三角形 .它们的面积分别为11S BDA = 34=6;SDBC= 64=12.22- 7 - / 10S四边形 ABCD=SBDA +SDBC=6+12=18.勾股定理的应用（ 4）1.三个半圆的面积分别为 S1=4.5，S2=8，S3=12.5 ，把三个半圆拼成如图所示的图形，则 ABC一定是直角三角形吗？说明理由。2. 求知中学有一块四边形的空地 ABCD，如下图所示， 学校计划在空地上种植草皮， 经测量 A=90，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米

27、草皮需要 200 天，问学校需要投入多少资金买草皮？3.（12 分）如图所示，折叠矩形的一边 AD，使点 D落在 BC边上的点D F处，已知 AB=8cm，BC=10cm， 求 EC 的长。A到小河边去饮水，然后回家 .他要完成这件事情所走的最短路程是多少？4.如图，一个牧童在小河的南 4km的A处牧马，而他正位于他的小屋 B的西 8km北7km处，他想 把他的马5. （8分）观列各式，你有什么发现？32=4+5，52=12+13，72 =24+25 9 2=40+41这到底是巧合， 还是有什么规律蕴涵其中呢？填空： 132 =+ 牧 A 北 东1）2）请写出你发现的规律。3. 有一个边长为

28、5 米的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少为（ ）米4、一旗杆离地面 6 米处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部 8 米处，则旗杆折断之前的高度是 （ ）米。6、在 ABC中， C=90,AB=10。 （1） 若A=30,则BC=，AC=。（2） 若 A=45则 BC=， AC=。8、在 ABC中， C=90， AC=0.9cm,BC=1.2cm.则斜边上的高 CD= m11、三角形的三边 a b c ，满足 （a b）2 c2 2 ab ，则此三角形是三角形。12、小明向东走 80 米后，沿另一方向又走了 60 米，再沿第三个方向走 100 米回到原地。小明向 东走 80 米后又

29、向 方向走的。13、ABC中， AB=13cm ,BC=10cm ，BC边上的中线 AD=12cm则 AC的长为cm14、两人从同一地点同时出发，一人以 3米/ 秒的速度向北直行，一人以 4米/秒的速度向东直行， 5 秒钟后他们相距 米 .15、写出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？ 两直线平行，内错角相等。 （ ） 如果两个实数相等，那么它们的平方相等。（）3）6.如图，在结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性。Rt ABC中， ACB=90， CD AB ， BC=6，AC=8， 求 AB、CD 的长A7.在数轴上画出表示 17 的点（不写作法，但要保留画图痕迹）8.已知如图，

30、四边形 ABCD 中， B=90， AB=4， BC=3，CD=12， AD=13，求这个四边形的面积、填空、选择题题：1求图中格点四边形 ABCD 的面积若 a2 b2 ，则 a=b （ ）全等三角形的对应角相等。 （ ） 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。（）16、下列各组线段组成的三角形不是直角三角形的是（）（A）a=15 b=8 c=17 （B） a:b:c=1: 3 : 268（C） a=2 b= c= （D） a=13 b=14 c=155517、若一个三角形的三边长为 6,8,x, 则使此三角形是直角三角形的 x 的值是 （ ）.A.8 B.10 C. 28 D.10

31、 或 28勾股定理复习题（ 5）B18、下列各命题的逆命题不成立的是 （ ）A. 两直线平行 , 同旁内角互补B. 若两个数的绝对值相等 , 则这两个数相等- 8 - / 10C.对顶角相等D.如果 a=b 或 a+b=0, 那么 a2 b2二、解答题：19、有一个水池， 水面是一个边长为 10 尺的正方形， 在水池正中央有一根芦苇， 它高出水面 1 尺。 如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面。水的深度与这根芦苇的长 度分别是多少？20、一根竹子高 1 丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端 3 尺处.折断处离地面的高度是多少 ? （ 其 中丈、尺是长度单位 ,1 丈 =10 尺 ）21、某港口位于东西方向的海岸线上。 “远航”号、 “海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定 方向航行，“远航”号每小时航行 16 海里，“海天”号