高中数学习题课——复数运算的综合问题

1、2242122 42 2 2 2习题课复数运算的综合问题课后篇巩固提升1.有下列四个命题:(1)方程 2x-5=0 在自然数集 n 中无解; (2)方程 2x +9x-5=0 在整数集 z 中有一解,在有理数集 q 中有两解;(3)x=i是方程 x+1=0 在复数集 c 中的一个解;(4)x =1 在实数 r 中有两解,在复数集 c 中也有两解.其中正确命题的个数是( )a.1 b.2 c.3 d.4解析(1)方程的解为 x= n,故(1)正确.(2)方程的解为 x = q,x =-5z,zq,故(2)正确.因为 i =-1,所以 x=i是方程 x +1=0 在复数集 c 中的一个解,故(3)

2、正确.(4)x =1 在复数集 c 中的解的个数为 4,故(4)不正确. 答案 c2.满足条件|z+i|=|z+3i|的复数 z 对应点的轨迹是( )a.直线c.椭圆b.圆d.线段解析由已知得,复数 z 对应的点到两点(0,-1),(0,-3)的距离相等,因此其轨迹是这两个点连线的垂直平 分线,是一条直线.答案 a3.已知复数 z ,z 满足|z |=3,|z |=5,|z -z |= , 1 2 1 2 1 2则|z +z |的值等于( ) 1 2a.c.b.6d.58解析由|z +z | +|z -z | =2(|z | +|z | )及已知代入可得|z +z |= .1 2 1 2 1

3、2 1 2答案 c4.设复数 z 的共轭复数是 ,若复数 z =3+4i,z =t+i,且 z 1 2 1是实数,则实数 t等于( )a.b. c.- d.-解析z =t+i, =t-i. 2z 1z 1答案 a=(3+4i)(t-i)=3t+4+(4t-3)i,r,4t-3=0,t= .2 2222 25.定义复数的一种运算 z *z = (等式右边为普通运算),若复数 z=a+bi,且实数 a,b 满足 a+b=3,则1 2z* 最小值为( )a. b. c. d.解析 z* =|z|=- -,因为 a+b=3,所以 ab2= ,因此 z* .答案 b6.已知|z|=1,则|1- i-z|

4、的最大值是,最小值是.解析因为|z|=1,所以 z 在半径为 1 的圆上,|1- i-z|=|z-(-1+ i)|,即圆上一点到点(-1, )的距离,故d =3,d =1. max min答案 3 17.关于 x 的方程 3x - x-1=(10-x-2x )i有实根,则实数 a 的值等于.解析设方程的实数根为 x=m,则原方程可变为 3m - m-1=(10-m-2m )i,所以- - -解得 a=11 或- .答案 11 或-8.若 1|z|2 则 u= (1+i)所对应的点 a 的集合所表示的图形的面积为.解析由 u= (1+i)得, ,又因为|z|=| |= 1 |z|2 所以|u|2

5、,因此动点 a 的图形是一个圆环,设此圆环面积为 s,那么 s=(2 ) -( ) =6.答案 69.已知 i是虚数单位,复数 z 的共轭复数是 ,且满足 z+2.(1) 求复数 z 的模|z|;(2) 若复数 z(2-mi)在复平面内对应的点在第一象限,求实数 m 的取值范围. 解(1)设复数 z=x+yi(x,yr),则 =x-yi,于是 x+yi+2(x-yi)=即 3x-yi=3-2i,-,所以- -解得故 z=1+2i.(2)由(1)得 z(2-mi)=(1+2i)(2-mi)=(2+2m)+(4-m)i,22 2 22 2 2由于复数 z(2-mi)在复平面内对应的点在第一象限,所以-解得-1m4.10.已知 zc,且满足|z| +(z+ )i=5+2i.(1) 求 z;(2) 若 mr,w=zi+m,求|w|的取值范围.解 (1)设 z=a+bi(a,br),则|z| =a +b ,(z+ )i=2ai,由|z| +(z+ )i=5+2i 得 a +b +2ai=5+2i, 利用复数相等的定义可得解得或- z=1+2i 或 z=1-2i.(2)当 z=1+2i