单元变异系数

1、高二十五的分解數學單元:變異係數主題：變異係數比較兩組資料的變異程度.定義:變異係數CV=,若CV越大則資料變異越大,CV越小則資料變異越小.股票名稱AB平均數X(元)標準差S(元)SA=10SB=4範例一： 經過調查A、B兩種優良的股票,得最近十二個月平均 的價格及標準差如右表,試問AB兩種股票哪一種價格 比較穩定? 解答:B類題：1.某公司有職員及工友各若干人,已知職員的平均月薪30000元,標準差6000元,而工友的平均月薪18000元,標準差4500元,試分別求職員與工友的變異係數,並比較何者薪資差異較小? 解答：職員20,工友25,職員較小2.有40個百貨公司得模特兒平均身高170公

2、分,標準差5公分,平均體重50公斤,標準差2.5公斤,試問這40個模特兒的身高和體重,哪個較均勻? 解答：身高較均勻3. 一組資料X：x1，x2，xn，其變異係數CVS為5，表示此組資料X的平均數是標準差的(A) 5倍(B)倍(C) 20倍(D)倍(E) 25倍 解答:(C)範例二: 若資料X：x1，x2，x20的變異係數是15，而，請問資料Y：y1，y2，y20的變異係數是(A) 10(B) 15(C) 25(D) 30(E) 35【解答】(B)類題:下列敘述何者為正確？(A)某次考試，甲班學生國文的標準差5分，乙班學生國文的標準差為4.5分，那麼可知甲班學生的國文程度較乙班學生的國文程度差

3、異性大(B)某次數學競試，甲班平均分數為80分，標準差12分，乙班的平均分數為70分，標準差9分，由此可知，甲班分數的變異大於乙班分數的變異(C)兩組相同筆數的資料全距愈大時，其變異係數也愈大(D)兩組相同筆數的資料標準差愈大時，其變異係數也愈大(E)某次期中考數學成績偏低，每人成績各加20分，則新成績的標準差變異係數比原成績的變異係數小. 解答:(B)(E)範例三: 二筆同為n個數值資料X與Y滿足Y = X + 5，S1與S2分別表X與Y的標準差，CV1與CV2分別表X與Y的變異係數，則S1與S2之大小關係為?，CV1與CV2的大小關係為?。解答:S1 = S2，CV1CV2類題:高三學生共

4、30人，參加數學競試的成績的算術平均數為60分，標準差為4分，現將每位學生的成績除以2，再加50作為新成績，則新成績的算術平均數為?標準差為?變異係數為?解答:80，2，2.5範例四: 林老師教三個班級，某次段考成績如下：若全部三班的總平均為71.5分，求：(1) x =？(2)三班合併的標準差。(3)哪一班的變異係數最小？【解答】(1) 72(2) 9.5(3) 乙班範例五： 某班甲乙二組同學於一次段考中的數學成績如下： 甲：55,60,50,70,75 乙：70,40,65,80,80 則： (1)試求甲、乙二組資料的標準差(樣本標準差) (2)比較兩組資料的變異係數何者較大?類題：1.下

5、圖為某班英文、數學二科成績分佈的直方圖根據資料下列推論何者正確？(A)英文全距40分 (B)英文中位數比數學中位數大(C)英文的算術平均數比數學的算術平均數高(D)英文的標準差比數學的標準差大(E)英文的變異係數比數學的變異係數大 解答:ABC2. 設有10個人的成績為40，50，50，60，60，60，70，80，80，x，若已知他們的標準差為，求：(1) x =？(2)變異係數。 解答:(1) 90(2) CV = 24.7單元:相關係數主題:散佈圖 設收集兩個變數,x,y的n筆資料(xi,yi),i=1,2,3,n,將每筆(xi,yi)點畫在xy平面上,所得圖形稱為散佈圖. 散佈圖的型態

6、: 完全正相關完全負相關高度正相關高度負相關中度負相關中度正相關低度正相關低度負相關零相關零相關零相關範例: 如圖所示，有5筆( x，y )資料，試問去掉哪一筆資料後，剩下來 4筆資料的相關係數最大？(A) A(B) B(C) C(D) D(E) E解答:(D)主題：相關係數,討論兩組資料的相關程度. |r|1證明: 由柯西不等式得知 (1) 完全相關:|r|=1,r=1(完全正相關);r=-1(完全負相關)(2) 高度相關:0.7|r|1(3) 中度相關:0.3r0.7(4) 低度相關:0|r|0) (2)r(x,y)=-1,(當a0) (2)r(u,v)=-r(x,y)(當ac0)甲乙丙丁

7、戊數學5458404058物理4347303545範例一： 有五位學生某次段考數學與物理兩科的成績如右表所示,求兩科成績的相關係數：類題：1.研究十位學生的性向測驗與成就測驗的關係,已知十位學生兩種測驗成績如下表所示：學生代號ABCDEFGHIJ總計得分性向X214775395750成就Y1345767891060求：(1)X與Y的相關係數？ 解答：0.675(2)X與Y的相關程度為何？ 解答：中度正相關2.某肥皂廠商欲推出一種新產品，在上市前以不同的單價x（單位：十元）調查市場的需求量y（單位：萬盒），調查結果如下： 問x和y的相關係數是接近下列哪一個值？(A)(B)(C) 0(D) -(E

8、) -解答:(E)範例二: 下列敘述何者是正確的？(A)某次段考，甲班學生國文的標準差為5分，乙班學生國文的標準差為4.5分，則甲班的國文程度較乙班的國文程度差異性大(B)通常對成長的兒童而言，身高與體重呈正相關，但百米賽跑，體重與速度呈負相關(C)設兩變數X與Y有n個變量，若Y = 2X - 3，則X與Y呈完全直線正相關(D)設三變數X，Y，Z，若rXY = 0.3，rXZ = - 0.6，則X與Y的相關程度較X與Z的相關程度為高解答:(B)(C)類題:若有10筆(xi，yi)的資料相關係數為r，下列敘述何者為真？(A)當r = 1，則散布圖上所有點在一直線上(B)當r = 0，則散布圖上所

9、有點必成一圓形(C)當r = 0，則表示無法由x值來預測y值(D)當r = - 1，則表示無法由y值來預測x值(E)當r = - 1，則迴歸線的殘差平方和必不為0 解答:(A)(C)範例三: 兩組變量x與y，每組均有10個數值資料，得散布圖的樣本點(xi，yi)，i = 1，2，3，10，已知= 11，= 14，= 32.1，= 39.6，= 28，則(1) x的樣本標準差SX =?(2) y的樣本標準差SY =?(3) x與y的相關係數r =?(4) 3x - 4與2y + 5的相關係數為?解答:(1)(2)(3) r = 0.63(4) 0.63類題:1. 設n = 10，= 270，=

10、360，= 7434，= 13185，= 9864，求(1)，。(2) SX，SY。(3) r之值。解答:(1)= 27，= 36(2) SX = 4，SY = 5(3) r = 0.82. 設n = 10，= 90，= 180，= 846，= 3465，= 1647，求(1)，。(2) SX，SY。(3) r之值。 解答:(1) 9，18(2) 2，5(3) 0.3範例四： 有兩組變量X、Y之間的相關係數r=0.72,若將兩組資料調整為-4X+2與5Y-3,求新資料的 相關係數為？類題：1.若已知某一資料的算術平均數標準差Sx=4,已知資料X與資料Y的相關係數r(x,y)=0.7,則： (1

11、)3X+5的平均數 (2)3X+5的標準差 (3)r(3X+5,5Y-2)=? (4)r(2X-3,-3Y+2)=? 解答：(1)35(2)12(3)0.7(4)-0.72.某班的50名學生參加一項考試,考題共有100題,全為5選1的單選題,計分方式共有X,Y兩種；若某學生有N題放棄沒答,R題答對,W題答錯,則,試問下列敘述哪些是正確的？(A)同一學生的X分數不可能大於Y分數 (B)全班X分數的算術平均數不可能大於Y分數的算術平均數 (C)任兩學生X分數的差的絕對值不可能大於Y分數的差的絕對值 (D)用X分數將全班排名次的結果與用Y分數排名次的結果相同 (E)兩種分數的相關係數為1 解答：AB

12、CDE3.含10個數值的兩變數x與y的直線相關係數r = 0.86，變數x與y滿足x = 10x + 5，y = 2y + 3，則x與y的相關係數r =？ 解答:0.864.設兩變數X，Y的相關係數為0.38，若U = 5X + 3，V = - 3Y + 10，試求U與V的相關係數。解答:- 0.38迴歸直線(最佳直線):兩組資料xi,yi,若已知x之值可用以估計yy對x的迴歸直線方程式y=a+bx其中又相關係數r= , 範例一: 設平面上有5個點(2，- 1)，(1，1)，( - 1，2)，( - 2，4)，( - 3，3)，試求：(1) Y對X的最適合直線方程式。(2) X對Y的最適合直線

13、方程式。解答:(1)=+(2)=+類題:1.設兩組變數X與Y的統計資料如下：試求：(1) Y對X之最適合直線。(2) X對Y之最適合直線。解答:(1) y =x -(2) y =x +2.六筆資料(1，1)，(2，1)，(3，1)，(2，3)，(3，3)，(3，5)表x與y散布圖上的樣本點，則x與y的相關係數r =?x對y的最適合直線為? 解答:0.5，=+y3.設有10筆( xi，yi )的資料，SX = 4，SY = 2，且相關係數r = 0.8，則y對x做迴歸，其迴歸直線的斜率為？(A) 0.4(B) 0.64(C) 0.8(D) 1(E) 1.6 解答:(A)範例二： 有兩組變量X、Y

14、各有10個數,分別為x1,x2,、,x10與y1,y2,、,y10,已知 ,求 (1) X與Y的相關係數. (2) Y對X的廻歸(最佳)直線方程式類題：1.有兩組變量X、Y,已知X=12500,X2=1585000,Y=8000,Y2=648100,XY=1007425,n=100試求：(1)X與Y的相關係數 (2)Y對X的廻歸直線方程式 解答：(1)0.55(2)y=38.75+0.33x2.設有10筆(xi,yi)資料,相關係數為1,且y與x的迴歸線通過(0,2),則下列何者為真? (A)x組的變異係數不小餘y組的變異係數 (B)迴歸直線方程式為y=0.2x+2 (C)迴歸直線通過點(10

15、,0) (D)x組的標準差不大於y組的標準差 (E)迴歸直線的斜率為1 解答:AB3. 10位同學甲，乙二科(xi，yi)，i = 1，2，3，10滿足：= 60，= 70，= 390，= 510及= 401，則相關係數r =?y對x的最適合直線為?解答:- 0.776，= 7 - 0.634(x - 6)範例三: 設有100個樣本點(xi，yi)的資料，若= 60，= 70，變異數SX 2 = 225，SY 2 = 324，相關係數為0.6，試求：(1) S(xi -)(yi -)。(2) Y對X的最適合直線方程式。解答:(1) 16038(2)= 0.72X + 26.8類題:1. 設有5

16、0個樣本點(xi，yi)的資料，若= 70，= 80，變異數SX 2 = 144，SY 2 = 225，相關係數為0.5，試求：(1) S(xi -)(yi -)。(2) Y對X的最適合直線方程式。解答:(1) 4410(2)= 0.625X + 36.252. 設有100個樣本點(xi，yi)的資料，已算出下列統計量：試求：(1)兩變數X與Y的相關係數。(2)變數Y對X的最適合直線。解答:(1) r = 0.75(2) = 1.5X3.設10對樣本點(xi，yi)的資料，若= 30，= 40，S(xi -)2 = 576，S(yi -)2 = 729，S(xi -)(yi -) = 324，

17、試求：(1) X與Y的相關係數。(2) Y對X的最適合直線方程式。解答:(1) 0.5(2)= 0.5625X + 23.1254.若有一組(xi,yi) i=1,2,10,算出Sx=1,Sy=5,若y對x的迴歸直線方程式為y=3x+5,則x與y的相關係數為? 解答:0.65.設有50個樣本點(xi，yi)的資料，若= 70，= 80，變異數SX 2 = 144，SY 2 = 225，相關係數為0.5，試求：(1) S(xi -)(yi -)。(2) Y對X的最適合直線方程式。解答:(1) 4410(2)= 0.625X + 36.25範例四:設抽樣8位學生得數學成績(x)與英文成績(y),結

18、果得到均數標準差資料如下： ,(1)試求英文成績對數學成績的迴歸直線 (2)若此班的某位學生數學成績60分,請預測此位學生的英文成績 解答：(1)y=44+0.4x,(2) 68類題若有一組( xi，yi )，i = 1，2，10算出標準差SX = 1，SY = 5，若y對x做迴歸得最適合直線方程式為y = 3x + 5，則x與y的相關係數r =? 解答:0.6As of Microsoft Internet Explorer 4.0, you can applmultimedia-style effects to your Web pages using visual filters and

19、 transitions. You can apply visual filters and transitions to standard HTML controls, such as text containers, images, and other windowless objects. Transitions are time-varying filters that create a transition from one visual state to another. By combining filters and transitions with basic scripti

20、ng, you can create visually engaging and interactive documents.Internet Explorer 5.5 and later supports a rich variety of optimized filters. Click the following button to see a demonstration of many of these filters and how to usetheProcedural surfaces are colored surfaces that display between the content of an object and the objects background. Procedural surfaces define each pixels RGB color and alpha values dynamically. Only