二阶线性微分方程及其解法

1、n 阶微分方程的一般形式为：F(x,y, y,y,L ,y(n) 0，一般情况下，求n阶微分方程的解是困难的.作为基础知识，本节仅讨论二阶常系数线性微 分方程的求解方法 .一、二阶线性微分方程解的结构如果二阶微分方程 yF(x,y,y)的未知函数及其导数都是一次项的，称为二阶线性微分方程 . 二阶线性微分方程的一般形式为y p(x)y q(x)y f (x).()如果 f (x)0 ，则方程()成为y p(x)y q(x)y 0.()方程()称为二阶齐次线性微分方程，相应地，方程()称为二阶非齐次线性微分方程.定理 齐次线性微分方程解的叠加性定理 设y1和y2是二阶齐次线性微分方程()的两个

2、解，则y c1y1c2 y2也是微分方程()的解，其中c1,c2为任意常数证： 将y qyi C22代入方程()的左端，可得(c1y1c2y2) p(x)(c1y1c2y2) q(x)(c1y1 c2y2)(C1y1 C2y2)p(x)(C1y1 C2y2) q(x)(C1y1C2y2)=C1(y1 p(x)y1 q(x)y1)C2(y2 p(x)y2 q(x)y2)=0，所以，y c1y1c2 y2也是微分方程()的解 口定理表明，二阶齐次线性微分方程的解 可叠加 如果我们已知二阶齐次线性微分方程的两个 解yi和y，很容易得到含有任意常数 Ci, C2的解，yci yi 52.如果解yi和y

3、有一定关系，那么，解y Ciyi C22中的任意常数Ci,C2可以合并成一个任意常数因此，依据 本章第一节的论述， 它并不是二阶齐次线性微分方程的通解 那么，二阶齐次线性微分方程的两个解yi和y2要满足哪些条件才能使解y CiyiC2y2成为二阶齐次线性微分方程的通解呢？为此，引入线性相关和线性无关的概念定义 设函数yi和y2是定义在某个区间I上的两个函数，如果存在两个不全为零的常数C1 ,C2，使cy C2 y2 0在区间 上恒成立，则称函数 y1和y2在区间 上是线性相关的，否则是线性无关的.确定两个函数y1和y2在区间 上是否线性相关的简易方法为：看这两个函数之比 0是y2否为常数.如果

4、 业等于常数，则yi与y线性相关；如果 上 等于函数，则yi与y线性无 y2y2关.例如,匹 3,则yi与y2线性相关.出 x,则yi与y线性无关y2y2定理 二阶齐次线性微分方程的通解结构定理如果yi和y2是二阶齐次线性微分方程（）的两个线性无关的特解，则y ciyi C2 y2是微分方程（）的通解，其中ci,c2为任意常数例如，yiex,y22ex,yae xy2ex都是二阶齐次线性微分方程y i 0的解,Ci,C2是任意常数，则下列哪些选项表示微分方程yi 0的通解：A.ciyi C2y2B.ciyiC2y4C.CiyiC2 D.CiyaC2y4E.ci yiyaf.yiciy4G.Ci

5、(yiy2)C2W3y4)由二阶齐次线性微分方程的通解结构定理 ，可知：选项B,G为该方程的通解 本定理可推广到更高阶齐次线性微分方程定理非齐次线性微分方程的通解结构定理如果y*是二阶非齐次线性微分方程（）的一个特解，Y是该方程对应的二阶齐次线性微分方程（）的通解，即余函数，则y Y y*是二阶非齐次线性微分方程（）的通解 证： 将y Y y*代入方程（）的左端，可得(Y y*) P(X)(Y y*) q(x)(Y y*)(Y y* ) p(x)(Y y* ) q(x)(Y y*)=(Y p(x)Y q(x)Y) (y* p(x)y* q(x)y*)= f (x) ，所以，y Y y*是微分方

6、程()的解，又 Y是二阶齐次线性微分方程()的通解，它含有两个任意常数，即解中 y Y y* 含有两个任意常数，因此 y Y y* 是二阶非齐次线 性微分方程()的通解 . 上述定理和定义是求非齐次线性微分方程通解的理论基础 . 根据上述定理和定义，求二阶非齐次线性微分方程通解的步骤为：(1) 求对应的二阶齐次线性微分方程()的两个线性无关的特解y1和y2，构成对应的二阶齐次线性微分方程的余函数 Y c1y1 c2y2；(2) 求二阶非齐次线性微分方程()的一个特解 y* ；则，二阶非齐次线性微分方程()的通解为 y Y y*.上述步骤也适用于求更高阶非齐次线性微分方程的通解 .二、二阶常系数

7、齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为y py qy 0.()其中p，q为常数根据定理，要求二阶常系数齐次线性微分方程()的通解，只要求出该方程的任意的两个线性无关的特解y1和y2即可注意到方程()的系数是常数，可以设之间只相差一个常数，该函数就可能是方想如果能找到一个函数 y ，其导数 y ， y 和 y程()的特解 . 而基本初等函数中的指数函数恰好具有这个性质. 因此， 设方程()的解为 y，其中 为待定常数， 将 yx、ye x 和 y 2exx 代入微分方程 ()，则有q)e x 0 ，即q0我们称方程 ()为二阶常系数齐次线性微分方程)的特征方程 ，而称 F( )

8、2 p q为二阶常系数齐次线性微分方程()的 特征多项式 ，特征方程的根1,2P . P2 4q2称为二阶常系数齐次线性微分方程（）的 特征根因为微分方程（）的特征方程（）为二次代数方程，其特征根有三种可能的情况，下面分别 讨论并给出微分方程（）的通解 .2（1） 当p 4q 0时，特征方程有两个相异的实根i和2，因此，微分方程有两个特解yieix,y2 e 2X由于 上 e（ 1 2）x，所以yi, y线性无关故二阶常系数齐次线性微y2分方程（）的通解为y c1eix c2e 2X（ g,c2为任意常数）（）（2）当p2 4q 0时，特征方程有重根12，因此，微分方程只有一个特解XXy1 e

9、 .设 yh（x）y1h（x）e 是微分方程（）另一个特解，求导得：y h（x）eX h（x）eX ， y= h（x）e x 2 h（x）e x 2h（x）ex . 将2Py2, y2, y2代入微分方程（），注意到方程p q 0和，化简后得：2h（x） 0.满足这个条件的函数无穷多，取最简单的一个 h（x） x，则微分方程（）另一个特解为y2 xe x，且y1, y线性无关故二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解为(3)其中因为yy2xy (C1 C2x)e（C1, C2为任意常数）()2p 4q 0时，特征方程有一对共轭复根1丄也.因此，微分方程有两个特解2y1e()x,y2e( i )xe

10、2i x，所以yy2线性无关.为了便于在实数范围内讨论问题，我们用欧拉公式找两个线性无关的实数解ix.由欧拉公式e cosx i sin x可得XXy1e (cos x i sin x), y2e (cos x isin x),根据齐次线性微分方程的解的叠加性定理，有1x1X2(%y2)eXcosx2(y1y?) e xsin x.xxe cos xe cos x和e sin x均为微分方程（）的解而 xcot x.故二阶常系数齐e sin x次线性微分方程（）的通解为Xy （Ci cos x C2 sin x）e（为任意常数）（）综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解，只须先求出其

11、特征方程（）的根，再根据特征根的不同情况，分别选用公式（）、（）或（），即可写出其通解.上述求二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解的方法称为特征根法，其步骤为：例1求方程y 3y 4y0的通解(1)写出的特征方程；(2)求出特征根；(3)根据特征根的三种不同情况，分别用公式（）、（）或（）写出微分方程（）的通解特征根法亦适用于求更高阶常系数齐次线性微分方程的通解解:特征方程为2340,特征根i 4，21,所求通解为yCiec?e（Ci ,C2为任意常数）例2求方程y2y y 0的通解解：特征方程为221 0,特征根121,所求通解为y(C1c2x)e x（c1, c2为任意常数）例3求方程yy

12、 y 0的通解4xx(Cicos 空x2c? sinx)e2（C1, c2为任意常数）解：特征方程为2 ,10,Bf特征根1 .1,2i,所求通解为22例4求方程y 4y 4y 0的满足定解条件y（0）1，y（0）4的特解.解： 特征方程为4 0,特征根 1 2 2, 所求通解为y (c1 c2 x)e2x对上式求导，得y2xc2e2x2(c1 c2 x)e ,由定解条件 y(0) 1， y(0) 4代入： c1 1， c2 2, 因此，所求特解为2xy (1 2x)e2x .三、二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为y py qy f (x).( p , q 为

13、常数)由定理可知，如果 y* 是二阶非齐次线性微分方程的一个特解，则二阶非齐次线性微分 方程的通解为y Y y*其中Y为余函数，即该方程对应的二阶齐次线性微分方程的通解，可用二中的方法求得当f (x)为某些特殊类型函数时，可用待定系数法确定二阶非齐次线性微分方程一个特解y*，代入公式()即可得到二阶非齐次线性微分方程的通解现就 f (x) 为某些特殊类型函数时，讨论用待定系数法确定二阶非齐次线性微分方程一个特解 y* 的方法 .1、当f (x) m(x)e x，其中为常数，m(x)为m次多项式：m (x) b0xm b1xm 1bm 1x bm， m 0 .因为多项式与指数函数的积的导数的形式

14、不变，因此设微分方程()的一个特解为y* z(x)e x ， z(x)xk m(x)其中 m (x) 为 m 次待定多项式 .2 例如,0(x) 3,则设 0(x) B0; 1(x) x, 1(x) B0x B1; 2(x) x2 1,则设2(x) Box2 BiX B2.以 y* z(x) 2 z(x)2z(x)e x，代入微分方程()，整理后可得 待定系数平衡公式( 2 p q)z(x) (2 p)z(x) z(x) m(x)或F( )z(x) F ( )z(x) z(x) m(x). ()由此，通过比较两端x 的同次幂的系数确定待定多项式kz(x) xk m(x) 中的待定系数 . 因为

15、特征方程的根不同，z(x) 的次数也不同，分别讨论之1) 当 F( )2 p q 0 ，即 不是特征方程的根时，要使平衡公式()的两端恒等， z(x) 与m(x) 应为同次多项式，即z(x)x0 m(x) B0 xmB1xm 1Bm 1x Bm代入平衡公式()，比较等式两端x 的同次幂的系数，可得含有待定系数B0,B1, ,Bm 的m 1 个联立方程：( 2 p( 2 pq)B0q)B1b0,2( p)mB0 b1,确定Bi (i 0,1,2,m) ，就可以确定待定多项式z(x) ，得到微分方程()的一个特解y*x z(x)e .(2)当 F( )2pq 0 ，即 是特征方程的单根时， F(

16、)0. 要使平衡公式()的两端恒等，z(x)与m ( x )为同次多项式，设z(x)x m (x)x(B0xmB1xm1Bm 1x Bm) .用与( 1)同样的方法，就可以确定 z(x) ，得到微分方程()的一个特解y* z(x)e x .(3)当 F( )2pq 0 ， F( ) 2 p 0 ，即 是特征方程的重根时，要使平衡公式()的两端恒等，z(x) 与 m ( x )为同次多项式，设z(x) x2 m (x)x2(B0xm B1xm 1Bm1x Bm).用与( 1)同样的方法，就可以确定 z(x) ，得到微分方程()的一个特解 y* z(x)e上述讨论可归纳如下：当f(x)m(x)ex

17、，其中常数 ，m次多项式m(x)已知，微分方程的特解形式为y* z(x)e x xk m(x)e x，即 z(x) xk m(x)，其中：m(x)与m(x)为同次多项式；k 0,1,2，分别根据不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根而确定i .设微2、当f(x) e x(acos x bsin x)，其中a,b,为常数时，可得复数分方程的特解形式为y*xk (A1 cos x A2 sin x)e x，其中：A?为待定常数；k 0,1,分别根据i不是特征方程的根或是特征方程的一对共轭复根而确定以y*, y* ,y*代入原方程，比较同类项的系数，解得a1, a2.例5 求方程y y

18、 y(7x2)e2x的通解.分析：所给方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，通解可写为y Y y*其中Y为余函数， 2,，1(x) 7x 2可用待定系数平衡公式确定设 y* z(x)e2x, z(x)Box B.根据待定系数平衡公式F(2)z(x) F (2)z(x)z (x)7(BoX B) 5Bq其特征根为1 3i，余函数为1,22Y(C13 cos- x23-xc2 sinx)e2c1, c2为任意常数特征多项式为F()21，且 F ( )21,解：特征方程为21 0,2不是特征方程的根7Bx (5Bq 7Bi)7x 2.比较系数，7Bq 7, 5Bq 7Bi2,得 Bq 1,Bi1,即y

19、(x 1)e2x.所求通解为133A(C| cos x c2 sin x)e 2 + (x221)e2x（G ,c2为任意常数）例6 求方程y 2y y x2的通解.分析：x2解：特征方程为1 0,其特征根为仁1，余函数为xY (& C2X)eC1,C2为任意常数特征多项式为F( )221，且 F( )2(1)0不是特征方程的根,2 22（x） x 为二次多项式，故设 y* z（x）BoxB1X B2，根据待定系数平衡公式得F(0)(B0x2 B1x B2)Bx2( 4B0 BJxF(0)(2B0x B1) 2B2(2B0 2B1 B2)2x ,比较等式两端x同次幕的系数，可得B。1,4B0

20、B10,2B02 B1B20,解得B00, B14, B26,即y*2 x4x 6.所求通解为y (gc2x)ex x24x6（c1, c2为任意常数）例7 求方程y 2I y3y16xex通解.解：特征方程为2 230,其特征根为11,22，余函数为Yc1exc2xec1, c2为任意常数特征多项式为2F()23，且 F( )2(1)1是特征方程的单根，1(x) 16x为一次多项式，故设 y* x(BoX B1)ex，即z(x) x(Bx Bi)，根据待定系数平衡公式得F(1)z(x) F (i)z(x) z(x) 4(2Bx BJ 2Bo8B0x (2B0 4BJ16x,比较系数，8Bo

21、16,2Box4B1 0,得 Bo 2, B11,y x(2x 1)e .所求通解为x3xyc1ec2exx(2x 1)e ,(C1,C2 为任意常数).例8求方程y4y4ye 2x的通解.解：特征方程为其特征根为0,2，余函数为(Cic2x)e2xc1, C2为任意常数特征多项式为F(4，且F( )242是特征方程的重根,o(x)1为零次多项式，故设y* B0x2e2x，即 z(x) Box2.根据待定系数平衡公式得F(2)z(x) F (2)z (x)z (x) 2Bo i,Bo12y*1 2 2xx e2所求通解为1(C| qx x22、 2x)e(C1 ,c2为任意常数).例9 求方程y 4y 2cos2x 的通解.y*其中Y为余函分析：所给方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，通解可写为y Y数，可用节二中的方法求得：y*为一个特解，可用待定系数法确定解：特征方程为240,其特征根为仁