专题研究数列求和例题解析

1、例 1】求下列数列的前n 项和 Sn ：1(1)12 ，1(2)13 32124 2，(3)1，1138，2341，112解 (1)Sn1331351，4，1(n 2n )236 ，11232n 1 32n1 41，2n 1 ，11=1 2 3 (n n )2 4 82n1148= （123 n）（121 2n )11 n(n +1) 2(1 2n) = = 2 1 12 n(n 1) 1 =122n(2)Sn 1 2 13 323334 111(+33 33+ 32n-1 )112(12n )2 (1221n 132n 12+(3232n2+ + + 34 +2+ 32n )11 32518

2、(1 32n )(3)先对通项求和1)32n )11 32112 2n 111 Sn =(222)(12+ 4+ n-11an =1 214 2n 112n-1 )=2n 21 1 1= 2n(1 2 +4+ +2n-1) Sn ()()()(1111(1)+ + 1223 3 4n(n 1)1111(2)1537 5 9(2n 1)(2n 3)1111(3)2558 8 11(3n 1)(3n 2)111解(1)12n 1例 2】 求和：n(n +1) n n 111n1 n1(2) 1 1 1 1 1 1 Sn = 1 n 4 5 3 7 5 9 2n 3111 2n 1 2n 1 2n

3、3 1 1 1 11 3 2n 1 2n 3 n(4n 5)3(2n 1)(2n 3)1 1 1 1(3) (3n 1)(3n + 2) 3(3n 1 3n 2) 1( 1 1 )(2) (2n 1)(2n +3) 4(2n 1 2n 3)1 11111131( 1251)(5118)(18111)1(3n 113n 2)1 1 1= ( )3 2 3n 2n6n 4【例 3】 求下面数列的前 n 项和：1 1 1 11， 4， 2 7， n 1 (3n 2)，a a a1分析 将数列中的每一项拆成两个数，一个数组成以 为公比的等 a比数列，另一个数组成以 3n2 为通项的等差数列，分别求和后

4、再合并 解 设数列的通项为 an ，前 n 项和为 Sn则an1 Sn = (111 an 1 (3n 2) a1n 1 )147 (3n2) a当a= 1时，Sn= n1 (3n 2) n3n 2 n当 a 1时，Sn(1 3n 2)nan 1 (3n 1)nn n 1 aa说明 等比数列的求和问题，分 q=1 与 q 1 两种情况讨论例4】 设ak=1222 k 2(k N*) ，则数列 3 ， 5 ， 7 ，6n3nABCn1n1357解 设数列a1a2a32n 1则 bn =an的前 n 项之和是a1 a2 a3 6(n 1) 6(n 1)nD n 2的通项为 bn 2 2 2 1 又

5、 an =12 22 n2 = n（n 1）（2n 1）611= 6（n6 bn = n（n +1）数列 b n的前 n 项和Sn=b1b2 bnn +1）1n11）3a 解法一 区间a，b上分母为 3的所有分数是 33a ， 33a 5 3b 23 ，a2， b1， 3 ， 11为公差的等差数列33a 4a1， 3 ，3a33a为首项，以3a 133b 13， 3a 2 ， ，3， 3b它是以 311 =6（1 231 =6（1 ） n16n =选（A） n+1【例 5】 求在区间 a，b（ba，a，bN）上分母是 3 的不可约分数之和1项数为 3b 3a 1，其和 S= 2 （3b 3a

6、1）（a b）其中，可约分数是 a， a 1， a 2， b1其和 S = 2 （b a 1）（a b）故不可约分数之和为SS = 12 （a b）（3b 3a1） （b a 1） S= 3a+1+ 3a+2333b 13=b2a2 解法3a+4 3a+5 3b 2 + + + +3 3 31 2 4 5 2 1 S=（a 3）（a 3 ）（a 3）（a 3 ） （b 3 ）（b 3）1 2 4 5 2 而又有S=（b 3）（b 3 ） （b 3）（b 3） （a 3）两式相加：1（a ）32S=（a b）（ab） （ab）其个数为以 3 为分母的分数个数减去可约分数个数 即 3（b a） 1

7、（b a 1）=2（b a） 2S=2（b a）（a b） S=b2 a2【例 6】求下列数列的前 n 项和 Sn：（1）a，2a2， 3a3， nan， （a 0、 1）；（2）1，4， 9， n2，；（3）1，3x， 5x2， （2n1）xn-1， （x1）1（4） 2 ，232n解 （1）Sn=a2a2 3a3 nan a 0 aSn=a2 2a33a4 （n 1）an nan+1Sn aSn=a a2 a3 an nan+1a1 （1 a）Sna（1 an）n 11 a nan n 1a（1 a ） na2（1 a） 2 1 a（2）Sn=1 49 n2（a 1）3 a3=3a2 3a

8、12313=312 3113(1x)Sn=12x(1xx2 xn-2) (2n1)xn 23=3 2= n(n1)(2n 1)(3) Sn=13x5x2 7x3 (2n1)xn-1 xSn=x 3x 2 5x 3 (2n3)xn-1 (2n1)x n 两式相减，得 321 43 33=3 32 331 n3（n1）3=3（n1）23（n1）1（n1）3n3=3n23n1 把上列几个等式的左右两边分别相加，得（n1）3 13=3（1222 n2） 3（12 n）n= 3（12 22 32 n2） 3n（n2 1） n 1222 32 n2= 3(n1)313n(n2 1) n= 1n 33n2

9、3n33n(n 1)2n=1(2n1)xn 2x(x n 1 1)x112= 6 n(2n2 3n1)(2n 1)x n+1 (2n 1)xn (1 x)1x(2n 1)x n+1 (2n 1)x n (1 x)(1 x)2(4) Sn12Sn1=21222 3 n22 23 2n2 3 n3 4 23 242n 1两式相减，得121Sn112212(1 2112 23 2n1)n )n2n 111 122n 1说明 求形如 anbn 的数列的前n 项和，若其中 a n成等差数列， bn2n 2n 112n 1 2n Sn = 2 成等比数列，则可采用推导等比数列求和公式的方法，即错位相减法，

10、此方法 体现了化归思想a1例7】 设等差数列 a n的前n项和为 Sn，且Sn =(an2 1)2，nN*，若 bn=(1)nSn，求数列 bn 的前 n 项和 Tn分析 求bn的前 n 项和，应从通项 bn入手，关键在于求 a n的前 n项 和 Sn，而由已知只需求 a n的通项 an 即可a1解法一 a n 是等差数列， Sn =(an 1)2a1当n=1时，a1 =( 1 )2解得a1=11 2 1a2 1当n=2时，a1a2 =( 2)2解得a2=3或a2 =11 2 2 2 2a3 1当n=3时，a1a2a3 =( 3 )2，由a2 =3，解得 a3 =5或a3= 3，由 a2=1

11、，解得 a3=1 a1又Sn =（ n2 ）20， a2 = 1，a3 =3，a3 =1（舍）即 a1=1 ， a2=3， a3=5， d=2an=12（n1）=2n1Sn=13 5 （2n1）=n2bn=（1）nSn=（1）nn2Tn=12 223242 （1）nn2 当 n 为偶数时，即 n=2k ，k N* Tn=（1222）（3242） （2k1）2（2k）2 =3 7 （4k1） = 3 + （4k 1） k=2 =（2k 1）kn（n 1）=2当 n 为奇数时，即 n=2k 1，kN*Tn=12 223242 （2k1）2 =12223242 （2k1）2（2k）2（2k）2=（2k 1）k （2k） 2=k（2k1）n（n 1） Tn =（1）n 2n（n 1）nN*也可利用等差数列的前 n项和公式 Sn（a1+an）n，求ana1 = 1（an21）2解法二