一组空气污染数据的主成分分析

1、精心整理一组空气污染数据的主成分分析【说明】下面的多元统计分析练习题摘自R.A John so n等编写的应用多元统计分析(第五版),原书为：thRichardA.JohnsonandDeanW.WichernAppliedMultivariateStatisticalAnalysis(5 Ed).PearsonEducation,Inc.2003o我看的是中国统计出版社(ChinaStatisticsPress 2003年发行的影印本。第一题为原书第1.6题，即第1章的第6题，第二题为原书第8.12题，即第8章的第12题。第二题用的是第一题的数据。1习题/ I1.6.Thedata in T

2、able1.5are42measureme ntson air-polluti onv ariablesrecordedat12:0 0noonin theLos An gelesarea on differe ntdays.(a) Plotthemarginaldotdiagramsforallthevariables.(b) Constructthex ,Sn,andRarrays,andinterprettheentriesiR.TABLE1.5 AIR-POLLUTIONDATAWin d(x”Solarradiati on(X2)CO(X3)NO(X4)NO2(X5)O3（X6）HC

3、(X7)89872128271074395371034356310885281546914281038905212124984741215557264211447825111113864521394671541033691421273772741810310704211731072418103977419103876417738715316449674213239693395310625314449884276388042131145303352368351102348843276367842111138792171036624398310373172387141107375241128454

4、8658436754110243103541692885419102586316122586721318277974925377952862668621114384043652Source:DatacourtesyofProfessorG.C.Tiao.8.12.C on sidertheair-polluti on datalistedi nTable1.5.Yourjobistosummarizethesedatai nfewerthap=7dime ns ion sifpossible.C on ductapri ncipalcomp onen ta nalysisofthedataus

5、i ngboththecovaria ncematSa ndthecorrel ati onm atrix R .Whathaveyoulearned?Doesitmakea nydiffere ncewhichmatrixischose nforan alysis?Ca nthedat abesummarizedi nthreeorfewerdime nsio ns?Ca ny oui nterpretthepri ncipalcomp onen ts?2部分解答2.1部分统计参数利用Excel计算的平均值（x ）和标准差WindSolarradiati onCONONO203HCAvera

6、ge7.573.8571434.5476192.190476210.0476199.40476193.0952381Stdev1.581138817.3353881.23372091.08735743.37098375.56583450.6917466Excel给出的协方差矩阵SWind Solarradiati onCONONO2O3HCWind2.4404762Solarradiation -2.714286293.36054CO-0.3690483.81632651.4858277NO-0.452381-1.3537410.6575964 1.154195NO2-0.5714296.60

7、204082.25963721.062358311.092971O3-2.17857130.0578232.7545351 -0.7913830521542 30.24093HC0.16666670.6088435 0.1383220.17233561.01927440.58049890.4671202Excel给出相关系数矩阵RWindSolarradiati onCONONO2O3HCWind1Solarradiation -0.1014421CO-0.1938030.18279341NO-0.269543-0.073569 0.50215251N02-0.1098250.115732 0

8、.55658380.2968981103-0.253593 0.3191237 0.4109288-0.133952 0.16664221HC0.1560979 0.0520104 0.1660323 0.2347043 0.4477678).1544506 1从相关系数矩阵可以看出，CO与NO、NO2相关性明显，03与Solarradiation、CO相关性明 显。后面的主成分分析将 CO与NO、NO2归并到一个主成分，将 O3与Solarradiation归并到一个 主成分，将HC、Wind归并到一个主成分。HC与Wind的相关系数并不高，但从正相关的角度看， 二者的数值倒是最高的。方差极

9、大正交旋转之后，HC与CO、NO、NO2归并到一个因子，因为HC与NO2的相关系数较高，与CO、NO的相关系数高于其他变量。2.2主成分分析之一数据未经标准化下面是从相关矩阵R出发，SPSS给出的结果。原始数据未经标准化。所谓从 R出发，就是在 SPSS的 FactorAnalysis:Extraction Analysis 选项中选中 CorrelationMatrix。SPSS给出的相关系数矩阵(CorrelationMatrix)，与Excel计算的结果一样。公因子方差(Communalities)表如下。公因子方差变化于 0.5440.795之间，相差不是很大。 但是，公因子方差值没有

10、达到 0.8以上的，可见每一个变量体现在三个主成分中的信息都不超过80%。特征根与方差贡献(TotalVarianceExplained)如下表。可见提取三个主成分可以解释原来7格变量的70.384%。主成分载荷矩阵(ComponentMatrix)见下表。将上表从SPSS中复制到Excel中，进行涂色分类，结果如下表所示。Comp onent12VWIND-0.362020.3278091 0.706084Solarradiati on0.31424-0.619970.24631CO0.842417-0.00803-0.12466NO0.577243:0.511736i -0.44671NO

11、2:0.7612940.235183:0.215682O30.496126i -0.667490.175399HC0.4882570.362466i 0.593692主成分分类如下:第一主成分的主要相关变量： CO、NO、NO2。第二主成分的主要相关变量：Solarradiation、O3。第三主成分的主要相关变量：Wind、HC。在主成分载荷图(ComponentPlot)中，三个变量分别落入三个不同的主成分代表的区域。主成分得分表如下。最后一栏对几个典型的样本给出了简单的解释。注意解释的时候看清主成分载荷矩阵中载荷值的正负号。Casesf1f2f3典型的说明S1 :0.61591-0.81

12、86-0.38418；S20.03194-0.36015-0.26343 1S3-0.34752-0.54481-0.49701 ；S4 :0.2425-0.302931.80367样本4代表的区域 Wind、HC污染严重S5-0.12729-0.91941-0.4042S60.72612-0.192781.21954S7 :2.036860.899821.4607样本7和8代表的区域与CO、NO、NO2污染有明显的关系S82.573090.77732-0.34124 S90.09802-0.817360.30334S10 :0.506640.788030.88735S110.39040.97

13、744-1.48345S120.14485-0.45848-0.27016S13 :1.924770.88883-0.66029S14-0.506620.631390.91242S15-0.89378-0.170361.19632S16 :-0.66037-0.398620.93758S17：-0.87787-0.36350.3701S180.887331.53060.65731S19 :-0.429351.092530.48155S20 :-0.7510.924240.11384S210.428261.961331.18659样本21代表的区域 Solarradiation、O3污染较小S2

14、2 :-0.69373-0.097470.51522S230.414840.206811.21242 , iS24-1.162631.39047-2.12097S25 :0.86691-1.703350.91799C1jf IS26-0.91899-0.139150.18106S270.09994-0.51948-0.37202S28 1-1.32458-0.69110.65186S29-0.104720.39184-1.08681S30-1.85931.379330.6047S31 1-0.62672-0.083470.47051S32-0.142640.649410.72066S330.6

15、74211.56899-2.63096样本33代表的区域 Wind、HC污染较小S34 10.24874-1.956810.22088S35-1.714290.39216-0.08554S36-0.80238-1.13269-0.0517S37 1-1.00653-1.92662-1.17569样本37和38代表的区域 Solarradiation、:S38 11.29486-1.77265-1.3235703污染严重S391.68145-1.04272-0.66334S40-0.48079-0.49683-1.07633S41：0.72122-0.53042-0.57934S42-1.177

16、760.98919-1.555382.3主成分分析之二一一数据未经标准化下面是从协方差矩阵S出发，SPSS给出的结果。原始数据未经标准化。所谓从 S出发，就是在 SPSS的 FactorAnalysis:ExtractionAnalysis 选项中选中 CovarianceMatrix。公因子方差（Communalities）表如下。在未经处理的（Raw）公因子方差一栏，其Initial数值 都是原始数据的方差。不过与前面Excel给出的协方差矩阵有所不同，Excel给出的是总体方差，SPSS给出的是抽样方差。例如以 Wind的Initial值为例，2.4404762X 42/41=2.5,或

17、者2.5X41/42=2.4404762 （对照前面的协方差矩阵）。重标的（Rescaled结果是Extraction值与Initial值之比。公因子方差的合计结果如下：In itialExtractio nIn itialExtractio nWIND2.50.030665110.012266Solarradiation 300.51568 300.1336710.9987288CO1.5220674 0.060166610.0395295NO1.1823461 0.006750210.0057091NO211.363531 0.179005910.0157527O330.978513 3.

18、845942810.1241487HC0.4785134 0.001667110.0034839合计348.54065 304.2578671.1996188精心整理RawRescaled特征根与方差贡献(TotalVarianceExplained)如下表。在 Raw 一栏中显示，提取一个主成分似乎可以解释原来7格变量的87.295%。但重标之后显示的数值却是 17.137%。根据公因子方差表和合计结果，重标之前，全部的方差解释为304.25786/348.54065*100=87.295%重标之后，全部的方差解释为1.1996188/7*100= 17.137%。主成分载荷矩阵(Compo

19、nentMatrix)见下表。可以看来，由于变量Solarradiation的方差很大, 它绝对地控制了第一主成分。2.4主成分分析之三数据经过标准化下面是从协方差矩阵S出发，SPSS给出的结果。原始数据经过标准化。可以看到所有的结果 重标前后一样，并且与从相关矩阵 R出发计算的结果一样。公因子方差(Communalities)表如下，重标前后的结果一样。特征根与方差贡献(TotalVarianceExplained)如下表。重标前后结果一样。主成分载荷矩阵(ComponentMatrix)见下表，重标前后一样。可以看到，第一主成分的相对 重要性受到标准化的极大影响。结论自然是：如果在极其不同的范围内测量变量，或者测量单位的量纲不同，变量必须经过标准化。否则，应该从