高中文科数学知识点总结

1、精品文档高中数学 必修 1 知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性 （2）常用数集及其记法和无序性.n表示自然数集，n *或n表示正整数集， z表示整数集， q表示有理数集， r表+示实数集.（3）集合与元素间的关系元素 a 与集合 m的关系是a m，或者a m，两者必居其一.（4 不含有任何元素的集合叫做空集( ).子集是任何非空子集的真子集。【1.1.2】集合间的基本关系名称记号意义示意图a b子集（或b a)aba 中的任一元素都 属于 ba b，且 b 中至a(b)或b a真子集 （或 b a）少有一元素不属于 ab

2、 a集合相等a =ba 中的任一元素都 属于 b，b 中的任 一元素都属于 aa(b)【1.1.3】集合的基本运算名称记号意义性质示意图交集并集a i ba u bx | x a,x bx | x a,x b且或（1）（2）（3）（1）（2）（3）a i a =a a i = a i b a a i b b a u a =a a u =a a u b a a u b ba ba b补集uax | x u , 且x a.12121212（7）已知集合 a 有 n ( n 1) 非空子集精品文档个元素，则它有 2 n 个子集，它有 2 n -1 个真子集，它有 2n -1 个注：（7）及（6）和

3、（8）中的性质列简单看看【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念2 函数的三要素:定义域、值域和对应法则（关系式）3 只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：使分母不为零的一切实数 f ( x )是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值对数函数底数须大于零y =tan x中，x kp+p2( k z )复合函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集（4）求函数的值域或最值观察法：对于比较简单的函数，如指数对数及反比例函数等。 二次函数抛物线关注顶点坐标。不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何

4、方法确定函数的值域或最值 函数的单调性法（利用导数）1.3函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性定义及判定方法函数的性 质定义如果对于属于定义域 i 内 某个区间上的任意两个 自变量的值 x 、x ,当 x 1 2x 时，都有 f(x )f(x )， y图象y=f(x)f(x )2f(x )1函数的那么就说 f(x)在这个区 间上是增函数ox1x2x单调性如果对于属于定义域 i 内某个区间上的任意两个yy=f(x)自变量的值 x 、x ，当 x f(x )， f(x )1f(x )2那么就说 f(x)在这个区 间上是减函数ox1x2x. 精品文档在公共定义域内，两个

5、增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去 一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数（简单了解）【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性 定义及判定方法函数的性 质函数的奇偶性定义如果对于函数 f(x)定义 域内任意一个 x ，都有 f( x)= f(x), 那么函数 f(x)叫做奇函数如果对于函数 f(x)定义 域内任意一个 x ，都有 f( x)=f(x) , 那 么 函 数 f(x)叫做偶函数图象判定方法（1）利用定义 （2）利用图象（图 象关于原点对称）（1）利用定义 （2）利用图象（图 象关于 y 轴对称）若函数 f ( x)为奇函数，且在x =0处有定义，则f (

6、0) =0奇函数在 y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在 y轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数（）简 单了解就可）第二章 基本初等函数()2.1指数函数（1）根式的概念 根 式 的 性 质 ： (na )n=a； 当 n 为 奇 数 时 ，nan=a ； 当 n 为 偶 数 时 ，nan =|a |=a (a 0) -a (a 0, m, n n ,+且 n 1)正数.m精品文档的负分数指数幂的意义是：a-mn1 1 =( ) n =n ( )a am( a 0, m, n n ,+且 n 1)（3）分数指数幂的运算性质 a

7、r as =a r +s ( a 0, r, s r ) ( a r ) s =a rs ( a 0, r, s r ) ( ab )r=arbr( a 0, b 0, r r )（4）指数函数 函数名称【2.1.2】指数函数及其性质指数函数定义函数y =a x ( a 0且 a 1)叫做指数函数a 10 a 1 ( x 0)a x 0)函数值的变化情况aaxx=1 ( x =0) 1 ( x 1 ( x 0, 且 a 1) ，则 x 叫做以 a 为底 n 的对数，记作x =log n ，其中 a 叫 a做底数， n 叫做真数负数和零没有对数n 大于 0 （2）几个重要的对数恒等式log 1

8、=0a，log a =1a， log a b =ba（3）常用对数与自然对数常用对数： lg n，即log n10；自然对数：ln n，即log ne（其中e =2.71828）（4）对数的运算性质如果 a 0, a 1, m 0, n 0，那么加法：log m +log n =log ( mn ) a a a减法： log m -log n =loga aamn（公式可记为：内乘除，外加减）指数前拉： logabmn=nblog m (b 0, n r ) a alog n=n 换底公式：log nlog n = b (b 0, 且 b 1)log ab【2.2.2】对数函数及其性质（5）对

9、数函数 函数名称定义函数对数函数y =log x( a 0 且 a 1) 叫做对数函数 a图象a 10 a 0 ( x 1) alog x =0 ( x =1) alog x 0 (0 x 1) alog x 1) alog x =0 ( x =1) alog x 0 (0 x 0 时，抛物线开口向上，当x =-b2 a时，f ( x) = min4ac -b4a2；当a 0时，图象与 x 轴有两个交点1、函数的零点函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现的。(即 x 的值。）2、函数零点存在性的判定方法 如果函数 y =f (x) 在区间 a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f

10、(a) f(b) 0，那么，函数y =f (x)在区间(a,b)内有零点 . 即存在c (a,b)，使得f (c) =0，这个 c 也就是方程f (x) =0的根。说明：（1）函数y =f (x)在区间a,b上有定义；（2） 函数的图象是连续不断的一条曲线；（3） 函数 y =f (x) 在区间 a,b两端点的函数值必须满足f (a) f(b) 0d=0方程的根 函数的零点 两个不相等的实根 两个零点 两个相等的实根 一个二重零点d0无实根无零点.() ()1 11 11 13 2精品文档6、用二分法求函数零点的一般步骤：第一步：在 d 内取一个闭区间 a,b d，使 f (a)与f (b)异

11、号，即0 0 0 0f (a)f(b)0，零点位于区间a,b 中。0 0 0 0第二步：取区间 a,b 的中点，则此中点对应的坐标为0 0计算 f (x)和f (a)，并判断：0 0如果 f (x)=0，则x 就是 f (x)的零点，计算终止；0 02 如果 f (a)f(x)0，则零点位于区间 x,b 中，令a =x , b =b0 0 0 0 1 0 1 0第三步：取区间 a,b 的中点，则此中点对应的坐标为1 11 1x =a + b -a = a +b 。2 2计算 f (x)和f (a)，并判断：1 11 如果 f (x)=0，则x 就是 f (x)的零点，计算终止； 1 12 如果

12、 f (a)f(x)0，则零点位于区间 x,b 中，令 1 1 1 1a =a , b =x 2 1 2 1a =x , b =b 2 1 2 1；继续实施上述步骤，直到区间a,bn n，函数的零点总位于区间a,bn n上，当a 和 b 按照给定的精确度索取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数 n ny = f (x)的近似零点，计算终止。这时函数 y = f (x)的近似零点满足给定的精确 度。【模拟试题】（答题时间：40 分钟）一、选择题1、方程 lgxx0 的根所在的区间是（ ）a. （，0） b. （0，1） c. （1，2） d, （2，4）2、已知偶函数 f（x）的图象与 x

13、轴共有四个交点，则函数 f（x）的所有零点 之和等于（ ）a. 4 b. 2 c. 1 d. 03、若函数f (x) =x +x -2x -2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f（1）2 f（1.5）0.625 f（1.25）0.984f（1.375）0.260f（1.4375）0.162 f（1.40625）0.054那么方程 x3+x2-2x -2 =0的一个近似根（精确到 0.1）为（ ）a. 1.4 b. 1.3 c. 1.2 d. 1.5 二、填空题4、若函数f (x) =x2+ax -b的两个零点是 2 和 -4 ，则实数 a、b 的值为_。5、若方程 ax2

14、x10 在（0，1）内有解，则实数 a 的取值范围是_。6、若函数（x）x2axb 的两个零点是 2 和 3，则函数 g（x）bx2ax.精品文档1 的零点是_。高中数学 必修 2 知识点第一章 空间几何体1.1 柱、锥、台、球的结构特征棱柱：侧面均是平行四边形（或长方形），底面为 n 边形（n 由侧面个数决定）。棱锥：侧面均是三角形，底面为 n 边形（n 由三角形个数决定）。三棱锥侧面有三个三角形，四棱锥侧面有四个三角形，以此类推。所有侧面三角形都相交于一点。棱台：由棱锥截面而形成的。上下两个底面平行，侧面均为梯形。球体：经常与正方休（或长方体）一起考核内切球：球在正方体的内部，直径 d=2

15、r=a（正方体边长）外接球：正方体在球的内部，直径 d=2r= a（正方体边长）长方体在球的内部，直径 d=2r=圆柱：是由一个长方形以侧边（圆柱的母线 l）为轴，绕着底边（底面圆的半径r）旋转一 周而形成的几何体。其展开图是一个长方形，长宽分别为底面圆的周长 c，和母线长 l。（如不确定长宽分别对应 c 或是 l，要考虑两种情况）图 1三视图：正视图侧视图俯视图图1圆锥：是由一个直角三角形以竖直边（圆锥的高），绕着底边（圆锥底面圆的半径）旋转一 周而形成的几何体。其侧面展开图是一个扇形扇形面积 s=母线长 l扇形弧长（圆锥底面圆周长）/2三视图： 正视图.侧视图俯视图3精品文档ps：多面体至

16、少有四个面直棱柱为侧棱垂直于底面的棱柱。 正三棱锥为棱长均相等的三棱锥。 1.2 空间几何体的三视图和直观图1 三视图：正视图：从前往后 侧视图：从左往右1.3 空间几何体的表面积与体积（一 ）空间几何体的表面积1 棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和俯视图：从上往下2 圆柱的表面积 s =2prl +2pr23 圆锥的表面积s =prl +pr24 圆台的表面积s =prl +pr2 +prl+pr25 球的表面积s =4pr2（二）空间几何体的体积1 柱体的体积v =s h 底2 锥体的体积v =13s h底3 台体的体积1v = （s + s s 上 上 下+s ) h 下4 球体的体积

17、4v = p3r3第二章 直线与平面的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系3 三个公理：（1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此面dc内符号表示为aa lb l = l a a b l（2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。（如果在三点则同一直线，则有无数个平面。考试经常会去掉划线部分）a b c （3） 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共 直线。（4）2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：共面直线相交直线平行直线异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。

18、 2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。.精品文档3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 两条异面直线所成的角(0，90 )；4 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；5 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1） 直线在平面内（2） 直线与平面相交（3） 直线在平面平行 （平面外）指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a 来表示a a=a a2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与

19、平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与 此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：a b = aab2.2.2 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面 平行。符号表示：a b ab = p a b 2、判断面面平行的方法：（1） 判定定理；（2） 垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平 行。.精品文档简记为：线面平行则线线平行。2、定理：如

20、果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：= a ab= b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3.1 直线与平面垂直的判定1、定义如果直线 l 与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面互相垂直，记作 l，直线 l 叫做平面的垂线，平面叫做直线 l 的垂面。如图，直线与平面垂直时, 它们唯一公共点 p 叫做垂足。lp2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；2.3.2 平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形a

21、梭 l b2、 二面角的记法：二面角-l-或-ab-3、 两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 2.3.3 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2 性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。本章知识结构框图平面（公理 1、公理 2、公理 3、公理 4）.精品文档空间直线、平面的位置关系直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角和斜率1、 直线的倾斜角的概念：特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定= 0.1、 倾斜角的取值范围： 01

22、80. 当直线 l 与 x 轴垂直时, = 90.1、 直线的斜率:一条直线的倾斜角 (90)的正切值叫做这条直线的斜率 ,斜率常用小写字母 k 表示,也就是 k = tan1 当直线 l 与 x 轴平行或重合时, =0, k = tan0=0;2 当直线 l 与 x 轴垂直时, = 90, k 不存在.由此可知, 一条直线 l 的倾斜角一定存在,但是斜率 k 不一定存在.4、 直线的斜率公式:给定两点 p1(x1,y1),p2(x2,y2),x1x2,用两点的坐标来表示直线 p1p2 的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x13.1.2 两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重

23、合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即.精品文档2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们 的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直。3.2.1 直线的点斜式方程1 、直 线 的 点 斜 式 方 程 ： 直 线l经 过 点p ( x , y )0 0 0， 且 斜 率 为ky -y =k ( x -x )002、 直线的斜截式方程：已知直线 l 的斜率为 k ，且与 y 轴的交点为 3.2.2 直线的两点式方程(0, b )y =kx +b1 、 直 线 的 两 点 式 方 程 ： 已 知 两 点p ( x , x ),

24、 p ( x , y )1 1 2 2 2 2其 中( x x , y y )1 2 1 2（ y-y1）/（y-y2）=（x-x1）/(x-x2)2、直线的截距式方程：已知直线 l 与 x 轴的交点为 a( a ,0) ，与 y 轴的交点为 b(0, b )，其中a0, b 0 x/a+y/b=1注：关于两点法，点斜法，截距法，不作要求，只要求会求直线方程就可，关键解题思路是根据已知条件，a 先求出斜率 k（ k=（y2-y1）/（x2-x1） ，或是根据平行垂直及导 数等间接求出），b 然后再代入一点的坐标确定 b。3.2.3 直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于 x, y 的二元一

25、次方程ax+by +c =0（a，b 不同时为 0）3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两直线的交点坐标1、给出例题：两直线交点坐标l1 ：3x+4y-2=0 l1：2x+y +2=0解：解方程组3x +4 y -2 =0 2 x +2 y +2 =0得 x=-2，y=2所以 l1 与 l2 的交点坐标为 m（-2，2） 3.3.2 两点间距离两点间的距离公式:3.3.3 点到直线的距离公式1点到直线距离公式：点p ( x , y ) 0 0到直线l : ax +by +c =0的距离为：d =ax +by +c 0 0a 2 +b 22、两平行线间的距离公式：.222 22 2精品文

26、档已知两条平行线直线 l 和 l 的一般式方程为 l ： ax +by +c =01 2 1 1，l2： ax +by +c =02，则l1与l2的距离为d =c -c1 2 a 2 +b 2第四章圆与方程4.1.1 圆的标准方程1、圆的标准方程：( x -a )2+( y -b )2=r2圆心为 a(a,b),半径为 r 的圆的方程2、点m ( x , y ) 与圆 ( x -a ) 0 02+( y -b )2=r2的关系的判断方法：（1）( x -a ) 02+( y -b)02 r ，点在圆外 （2） ( x -a ) +( y -b) = r ，点在圆上0 0（3）( x -a )

27、2 +( y -b) 0 02r 时，直线 l 与圆 c 相离；（2） （2）当 d =r 时，直线 l 与圆 c 相切；（3） 当 d r +r 时，圆 c 与圆 c 相离；1 2 1 2.精品文档（2）（2）当 l =r +r 时，圆 c 与圆 c 外切；1 2 1 2（3） 当 | r -r | l r +r 时，圆 c 与圆 c 相交； 1 2 1 2 1 2（4） 当 l =|r -r | 时，圆 c 与圆 c 内切；1 2 1 2（5）当 l 0时, 正相关 ; 当r 0 sinr r =x+y，则( )()精品文档高中数学 必修 4 知识点第一章 三角函数正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:不作任何旋转形成的角aa=k180o,kz终边在 x 轴上的角的集合为aa=k180o+90o, k z终边在 y 轴上的角的集合为aa=k90o,kz终边在坐标轴上的角的集合为bb=k360o+a,kz2.与角 a终边相同的角的集合为弧度3.长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1半径为 r 的圆的圆心角 a所对弧的长为 l ，则角 a的弧度数的绝对值是a =lr6、弧度制与角度制的换算公式：2p=360o，1o=p180，1 =180 po57.3o8、设 a是一个