2020-2021学年新教材数学人教A版选择性必修第二册课后提升训练：第五章　一元函数的导数及其应用 测评

1、好好学习，天天向上第五章测评(时间:120分钟满分：150分)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1。设f（x)是可导函数，且limx0f(x0)-f(x0-x)x=2，则f（x0)=()a.2b。1c。1d.2解析limx0f(x0)-f(x0-x)x=limx0fx0+(-x)-f(x0)-x=f(x0)=2。故选a.答案a2。(2020湖南高二期末）一质点做直线运动，经过t秒后的位移为s=13t3-52t2+4t,则速度为零的时刻是(）a.1秒末b.4秒末c.1秒末或4秒末d.0秒或4秒末解析因为s=13t3-52t2+

2、4t，所以s=t25t+4，令t25t+4=0,解得t=1或t=4,所以速度为零的时刻是1秒末或4秒末，故选c。答案c3.曲线f（x）=x3+x-2在p0处的切线平行于直线y=4x-1，则p0点的坐标为（)a。(1,0)b.(2,8）c。(1，0）和（1，-4)d.（2，8）和（-1,-4)解析依题意令f(x）=3x2+1=4，解得x=1，f(1）=0，f（-1）=4,故p0点的坐标为（1，0),（-1,4），故选c.答案c4。函数f（x）=3x2+ln x-2x的极值点的个数是(）a。0b。1c.2d。无数个解析函数定义域为（0，+）,且f（x)=6x+1x-2=6x2-2x+1x，x0，g

3、（x）=6x2-2x+1中=-200,所以g（x）0恒成立。故f（x)0恒成立，即f（x)在定义域上单调递增,无极值点.答案a5。函数f（x）=(x2+tx）ex（实数t为常数，且t1，则下列结论：f(-1)0；f（1）0；2f（-2)f(-1）；2f(1）f12中,正确的个数是()a。4b。3c。2d.1解析令h(x）=xf（x）-x,所以h（x)=xf（x)+f（x)1,因为函数f(x）满足f（x)+xf(x）1，所以h（x)0,所以h(x）在r上是增函数，因为h（1)=-f（-1）+1h(0）=0,所以f（1）10,故正确.因为h(1）=f(1)1h（0）=0，所以f(1）1，故错误。因

4、为h(2）=-2f(-2)+2h12=12f1212,所以2f（1）f12+1f12,故正确.故选b。答案b8.定义在(0，+)上的函数f(x)满足xf（x）=1+x，且f(1)=2,不等式f（x）(a+1)x+1有解，则正实数a的取值范围是（)a.(0，eb.（0,e）c。0,1ed。0,1e解析因为f(x）=1+1x，故f（x)=x+lnx+c，其中c为常数.因f（1）=2，所以c=1，即f(x）=x+lnx+1.不等式f(x）（a+1)x+1有解可化为x+lnx+1(a+1)x+1,即lnxxa在（0,+）有解。令g（x）=lnxx，则g（x）=1-lnxx2，当x(0,e）时，g（x）

5、0,g(x）在（0,e）上为增函数；当x（e,+)时,g(x)0，g(x）在(e,+)上为减函数；故g(x）max=g(e）=1e，所以00,ex(x+1),x0,若函数g（x)=f（x）b有三个零点,则实数b可取的值可能是()a。0b。12c.1d。2解析由题意,函数g（x)=f(x)b有三个零点，则g（x)=f（x)-b=0,即f（x)=b有三个根,当x0时,f（x)=ex（x+1）,则f（x)=ex(x+1)+ex=ex（x+2）,由f(x)0得x+20,即-2x0,此时f(x）为增函数,即当x=2时，f(x)取得极小值f（2）=-1e2，作出f(x）的图象如图:要使f（x）=b有三个根

6、,则0b1,则实数b可取的值可能是12，1。故选bc.答案bc11.(2020海南高三月考)已知ln x1x1y1+2=0，x2+2y242ln 2=0,记m=(x1-x2)2+(y1-y2)2，则下列说法正确的是(）a.m的最小值为25b.当m最小时,x2=125c。m的最小值为45d.当m最小时,x2=65解析由lnx1x1y1+2=0得y1=lnx1x1+2,(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值可转化为函数y=lnx-x+2图象上的点到直线x+2y42ln2=0上的点的距离的最小值的平方，由y=lnx-x+2得y=1x-1，与直线x+2y-42ln2=0平行且与曲线y=lnxx+2

7、相切的直线的斜率为12，则令1x1=-12，解得x=2。切点坐标为（2，ln2)。（2,ln2）到直线x+2y-4-2ln2=0的距离d=|2+2ln2-4-2ln2|1+4=255，即函数y=lnxx+2上的点到直线x+2y-42ln2=0上的点的距离的最小值为255，(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为d2=45。过（2，ln2)与x+2y-4-2ln2=0垂直的直线为yln2=2(x-2）,即2xy4+ln2=0,由x+2y-4-2ln2=0,2x-y-4+ln2=0,解得x=125，即当m最小时,x2=125,故选bc。答案bc12。(2020湖南师大附中高二期末）若直线l与曲

8、线c满足下列两个条件:直线l在点p（x0,y0)处与曲线c相切;曲线c在点p附近位于直线l的两侧,则称直线l在点p处“切过”曲线c。则下列结论正确的是（)a。直线l：y=0在点p（0,0）处“切过曲线c:y=x3b。直线l:y=x-1在点p（1，0)处“切过”曲线c：y=ln xc.直线l：y=x在点p（0，0)处“切过”曲线c:y=sin xd。直线l：y=x在点p（0,0)处“切过”曲线c：y=tan x解析a项,因为y=3x2，当x=0时，y=0,所以l:y=0是曲线c：y=x3在点p（0,0）处的切线。当x0时,y0；当x0时,y0，所以曲线c在点p附近位于直线l的两侧，结论正确;b项

9、，y=1x，当x=1时，y=1,在p(1，0)处的切线为l：y=x-1.令h(x）=x1-lnx，则h(x)=1-1x=x-1x（x0)，当x1时,h（x)0;当0x1时，h（x)0时,曲线c全部位于直线l的下侧（除切点外)，结论错误;c项,y=cosx,当x=0时，y=1，在p（0,0)处的切线为l:y=x，由正弦函数图象可知,曲线c在点p附近位于直线l的两侧，结论正确;d项,y=1cos2x，当x=0时,y=1，在p(0，0)处的切线为l：y=x,由正切函数图象可知,曲线c在点p附近位于直线l的两侧，结论正确。故选acd.答案acd三、填空题(本题共4小题，每小题5分,共20分）13。某产

10、品的销售收入y1(万元)与产量x(千台）的函数关系是y1=17x2,生产成本y2(万元)与产量x(千台)的函数关系是y2=2x3x2,已知x0，为使利润最大,应生产（千台).解析由题意，利润y=y1y2=17x2-（2x3-x2）=18x22x3(x0）.y=36x6x2,由y=36x-6x2=6x(6-x）=0,得x=6（x0),当x(0，6）时,y0，当x（6,+)时，y0），f(x）=-1x-12x2+32=3x2-2x-12x2=(3x+1)(x-1)2x2,令f(x)=0，解得x1=1,x2=-13(因x2=13不在定义域内,舍去），当x(0，1)时，f(x）0，故f(x)在(0，1

11、)上为减函数；当x(1,+)时，f(x）0，故f（x）在（1,+)上为增函数，故f（x)在x=1处取得极小值f（1）=3.19。（本小题满分12分）已知k为实常数，函数f（x)=x33x2+k在0，2上的最大值等于1。(1）求k的值；(2）若函数g（x)在定义域r上连续且单调递增，g（0)=k，g（x)x+1,写出一个满足以上条件的函数g（x)，并证明你的结论。解(1）f(x)=3x2-6x=3x（x2）,因为0x2,f(x)0，所以f（x）在0,2上单调递减；所以当x0，2时,f（x)max=f（0）=k=1，所以k=1。(2)函数g（x）=ex满足条件，证明如下:首先函数g（x)=ex满足

12、在定义域r上连续且单调递增,且g（0)=1=k。下面证明：g(x)x+1,令h（x)=g(x）（x+1）=exx-1，则h(x）=ex-1,由h（x）=0,得x=0,当x（-，0)时，h(x)0,h(x）在(0，+)上单调递增;所以h(x）h(0)=0，即g(x）（x+1）0,所以g（x）x+1。20.（本小题满分12分)（2020安徽高二期末）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度),设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米,体积为v立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率).（1

13、）将v表示成r的函数v（r）,并求该函数的定义域；(2）讨论函数v(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.解（1）蓄水池的侧面的建造成本为200rh元，底面的建造成本为160r2元,蓄水池的总建造成本为200rh+160r2元,即200rh+160r2=12000，h=15r（3004r2）,v(r)=r2h=r215r（3004r2）=5(300r4r3）,又由r0，h0可得0r53,故函数v（r)的定义域为0，53。（2）由（1)中v(r）=5(300r-4r3）,0r53，可得v(r）=5（30012r2）（0r0；(2)若关于x的不等式lnxx1时,f(x)0.f（x）

14、在(1，+）内为增函数,f（x）f(1）=0，得证.(2）解设h(x）=lnxx-a（x-1)，x(1，+），则h(x)=1-lnxx2a=1-lnx-ax2x2,当a1时,1-ax20,lnx0，h（x)0，h(x）在x(1，+）为减函数,h(x)0,故不合题意;当0a1-1x对任意x(1，+）恒成立;h（x）=lnxxa(x-1）1-1xxa(x1)=x-1x2-a（x-1)=x-1x2（1ax2),当x1,1a时,h(x)0，故不合题意.综上,a1。22。（本小题满分12分)已知函数f（x)=ex12x2kx1,kr.(1）若f（x)在r上是增函数,求实数k的取值范围;(2)讨论函数f(

15、x）的极值,并说明理由;（3)若f（x）有两个极值点x1，x2,求证:函数f（x)有三个零点.解(1)由f（x)=ex-12x2-kx-1，得f(x）=exx-k,f（x)在r上是增函数,f(x)0在r上恒成立，即kexx在r上恒成立，设g(x)=exx，则g（x)=ex1,当x(-，0)时，g(x）0;当x(0,+）时，g(x)0,即g(x)在（-，0)上单调递减,在（0，+）上单调递增，g(x）min=g（0)=1，k1，即k的取值范围为（-,1。（2）由(1）知当k（,1时,f(x)在r上是增函数，此时f(x)无极值；当k（1,+）时，令f(x）=0，即g（x)=k,x-时，g(x）+;

16、g(0)=1；x+时,g(x)+，g(x)=k有两个根，设两根为x1,x2且x10x2,可知x(，x1）或（x2,+)时，f（x）0；x（x1,x2)时，f(x)0,即f（x）在(-,x1),(x2,+）上单调递增;在（x1,x2）上单调递减，f（x)在x=x1处取得极大值f(x1);在x=x2处取得极小值f（x2).综上所述:当k(,1时，f（x）无极值；当k（1,+）时，f(x)存在一个极大值和一个极小值.(3)由（2）知,f（x）有两个极值点x1,x2,则k(1,+），且x10x2,f（x1)=ex1x1-k=0;f（x2）=ex2x2-k=0,又f（x1)=ex1-12x12kx1-1=ex1-12x12-(ex1x1）x11=(1-x1)ex1+12x12-1,f（x2）=（1-x2)ex2+12x221，令h(x）=（1-x）ex+12x2-1,则h(x