2020-2021学年新教材数学人教B版选择性必修第一册章末综合测评1　空间向量与立体几何

1、好好学习，天天向上章末综合测评(一)空间向量与立体几何(时间：120分钟满分:150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若a，b,c,d为空间不同的四点,则下列各式为零向量的是(）22；2233；abc dc中，原式2，不符合题意;中,原式2（）（)0；中，原式，不符合题意;中,原式（）()0故选c2若a（2，2,0)，b(1，3，z)，a,b，则z等于（）abc dccosa，b,可得z3已知向量a(2，1,3)，b(1，2,1)，若a(ab）,则实数的值为（)a2 bc d2da(ab）,a（ab）a|2ab0,|a2

2、ab，14(223）7，解得2故选d4已知正四面体a.bcd的棱长为1，且2，2，则（）ab cdd由正四面体a。bcd的棱长为1，且2,2，得，则11cos 120,故选d5已知a（2，1,3），b(1,4,2)，c(7，5，）若a,b，c三向量共面,则实数等于（）ab cdd由题意得ctab(2t，t4，3t2)，6如图所示，已知空间四边形abcd，连接ac，bd,m，g分别是bc，cd的中点，则等于()a bc dcm，g分别是bc，cd的中点，7已知四面体o。abc的各棱长均为1,d是棱oa的中点，则异面直线bd与ac所成角的余弦值为（）a bc dc，于是，|1，且（),于是cos，

3、故异面直线bd与ac所成角的余弦值为8在三棱锥p。abc中，pc底面abc，bac90,abac4,pbc60，则点c到平面pab的距离是(）a bc db在三棱锥pabc中，pc底面abc，bac90,abac4，pbc60,以a为原点，ab为x轴,ac为y轴,过a作平面abc的垂线为z轴,建立空间直角坐标系，则c（0，4，0)，p（0,4,4)，a(0，0，0)，b(4,0，0），（0，4，0)，(4，0，0)，(0，4,4），设平面pab的法向量n(x，y，z)，则取z1，得n(0，1),点c到平面pab的距离d故选b二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项

4、中，有多项符合题目要求全部选对的得分5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9已知v1，v2分别为直线l1，l2的方向向量（l1，l2不重合),n1，n2分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是(）av1v2l1l2 bv1v2l1l2cn1n2 dn1n2abcdv1，v2分别为直线l1，l2的方向向量（l1,l2不重合)，v1v2l1l2，v1v2l1l2;n1，n2分别为平面，的法向量（，不重合），n1n2，n1n2，故全部正确10已知点p是平行四边形abcd所在的平面外一点，如果(2，1，4)，（4，2,0)，（1，2，1）对于结论：apab；apad；是平面abcd的法

5、向量;其中正确的是（）ab cdabc0，0，abap,adap，则ab正确又与不平行,是平面abcd的法向量,则c正确由于(2,3,4），(1,2，1)，与不平行，故d错误11.在以下命题中，不正确的命题有(）aabab|是a，b共线的充要条件b若ab,则存在唯一的实数，使abc对空间任意一点o和不共线的三点a，b，c，若22，则p，a，b，c四点共面d若a，b，c为空间的一个基底,则ab,bc，ca构成空间的另一个基底abca。a|baba与b共线，但a与b共线时|a|b|ab|不一定成立,故不正确；b.b需为非零向量，故不正确；c。因为2211，由共面向量定理知,不正确；d。由基底的定义

6、知正确12将正方形abcd沿对角线bd折成直二面角a.bd。c，有如下四个结论:acbd；acd是等边三角形；ab与平面bcd所成的角为60；ab与cd所成的角为60其中正确的结论是 （）ab cdabd如图所示，建立空间直角坐标系oxyz，设正方形abcd边长为，则d(1,0,0），b(1，0，0)，c(0，0,1)，a（0,1，0）,所以（0，1，1),(2,0，0)，0,故acbd正确又，|,|，所以acd为等边三角形正确对于,为平面bcd的一个法向量,cos,因为直线与平面所成的角0，90，所以ab与平面bcd所成角为45故错误又cos，因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以ab与cd

7、所成角为60故正确三、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分把答案填在题中横线上13已知向量(2,4,5),（3，x，y），若，则xy_45，存在实数k使得k则xy4514已知a（2,5,1)，b（2，4,2），c(1，4，1），则与的夹角为_60由题意得（0，1，1)，（1,1，0),cos，所以与的夹角为6015已知矩形abcd中，ab1,bc，将矩形abcd沿对角线ac折起，使平面abc与平面acd垂直，则b与d之间的距离为_如图，过b，d分别向ac作垂线，垂足分别为m，n则可求得am，bm，cn，dn，mn1由于，所以|2（）2|2222(）122（000），故|16在正三棱柱ab

8、c。a1b1c1中,已知ab1,d在棱bb1上，且bd1,则ad与平面aa1c1c所成的角的正弦值为_,平面acd与abc所成二面角的余弦值为_(本题第一空2分，第二空3分)取ac中点e，连接be，则beac，如图所示，建立空间直角坐标系bxyz，则a，d(0，0,1)，c，设平面acd的法向量为n（x，y，z)，令x2，z3，y0，n(2,0,3）,又为平面abc的法向量,(0,0,1），cosn平面acd与平面abc所成二面角的余弦值为平面abc平面aa1c1c，平面abc平面aa1c1cac,beac,be平面aa1c1c，为平面aa1c1c的一个法向量，又，cos，设ad与平面aa1c

9、1c所成的角为，则sin cos，|四、解答题：本题共6小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分）如图所示,在四棱锥m。abcd中，底面abcd是边长为2的正方形，侧棱am的长为3,且am和ab，ad的夹角都是60，n是cm的中点，设a，b，c，试以a，b，c为基向量表示出向量，并求bn的长解（）（)，abc|222(a2b2c22ab2ac2bc)，即bn的长为18(本小题满分12分）已知向量a(1，3,2）,b(2，1,1），点a(3，1,4),b(2,2,2)(1)求2ab；（2）在直线ab上，是否存在一点e，使得b？(o为原点)解(1)2ab(2，6

10、,4）（2，1,1）（0,5,5），故2ab|5(2)t(3，1,4)t(1，1，2)（3t,1t,42t)，若b，则b0,所以2(3t）(1t）(42t）0，解得t，因此在直线ab上存在点e，使得b,此时点e的坐标为e19(本小题满分12分)如图,在直三棱柱abc.a1b1c1中，abc，d是棱ac的中点，且abbcbb12(1)求证:ab1平面bc1d；(2)求异面直线ab1与bc1所成的角解(1)证明:如图，连接b1c交bc1于点o，连接od因为o为b1c的中点，d为ac的中点，所以odab1因为ab1平面bc1d，od平面bc1d，所以ab1平面bc1d（2）建立如图所示的空间直角坐标

11、系bxyz，则b（0，0，0），a(0，2，0），c1(2,0，2)，b1(0,0，2）,因此（0,2,2)，(2,0，2)所以cos，设异面直线ab1与bc1所成的角为，则cos ,由于,故20（本小题满分12分)如图，在直三棱柱abc。a1b1c1中，点d在棱a1b1上,e，f分别是cc1,bc的中点，aea1b1,aa1abac2(1）证明：dfae；(2)当d为a1b1的中点时，求平面def与平面abc所成锐二面角的余弦值解(1)证明：在直三棱柱abc.a1b1c1中，有aa1a1b1,又因为aea1b1，所以a1b1平面aa1c1c,因为a1c1平面aa1c1c,所以a1b1a1c1

12、所以abac,abaa1，acaa1,如图,分别以ac，aa1，ab所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系a。xyz,则c（2，0，0）,b（0,0,2)，a(0,0，0），a1（0，2，0)，f（1,0,1)，e(2,1，0)设d（0,2，t)（0t2),则（1，2，t1),(2，1，0)，（1,2，t1)（2,1，0)0,所以dfae(2)当d为a1b1的中点时，d(0，2,1）,(1，1，1)，（1，2,0)，设平面def的法向量为n（x，y，z），则即令y1得,n（2，1，3），容易知平面abc的法向量为n0（0,1，0），所以cosn,n0，即平面def与平面abc所成锐二面角的余

13、弦值为21(本小题满分12分）如图，四边形abcd为正方形，e，f分别为ad，bc的中点，以df为折痕把dfc折起，使点c到达点p的位置，且pfbf(1）证明：平面pef平面abfd；（2）求dp与平面abfd所成角的正弦值解(1）证明：由已知可得，bfpf,bfef，又pf平面pef，ef平面pef，且pfeff，所以bf平面pef又bf平面abfd,所以平面pef平面abfd(2)作phef，垂足为h由（1）得，ph平面abfd以h为坐标原点，的方向为y轴正方向，为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系h.xyz由（1）可得，depe又dp2，de1，所以pe又pf1,ef2，pf2pe2e

14、f2，故pepf可得ph，eh则h(0，0,0)，p，d，为平面abfd的法向量设dp与平面abfd所成角为,则sin 所以dp与平面abfd所成角的正弦值为22（本小题满分12分）已知三棱柱abca1b1c1中，acb90，a1bac1，acaa14,bc2（1）求证：平面a1acc1平面abc;(2)若a1ac60，在线段ac上是否存在一点p，使二面角b。a1p。c的平面角的余弦值为？若存在，确定点p的位置；若不存在，说明理由解(1）证明：acaa1，四边形aa1c1c为菱形，连接a1c，则a1cac1,又a1bac1,且a1ca1ba1，ac1平面a1cb，则ac1bc,又acb90，即bcac，bc平面a1acc1，而bc平面abc，平面a1acc1平面abc（2)以c为坐标原点，分别以ca,cb所在直线为x，y轴，面a1acc1内过点c且垂直于ac的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,acaa14，bc2，a1ac60,c（0，0,0)，b（0，2，0），a（4，0,0),a1（2,0,2）设在线段ac上存在一点p，满足(01)，使得二面角b.a1p.c的余弦值为则（4，0,0)(4，2,0）(4，0，0）（44，2，0)，（