2020-2021学年新教材数学人教A版选择性必修第一册课后提升训练：1.4.1　第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示及空间中直线、平面的平行

1、好好学习，天天向上第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1。4。1用空间向量研究直线、平面的位置关系第1课时空间中点、直线和平面的向量表示及空间中直线、平面的平行课后篇巩固提升基础达标练1.已知向量a=(2，4,5）,b=(3，x,y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1l2，则（）a。x=6，y=15b.x=3,y=152c.x=3,y=15d.x=6,y=152解析由题意，有ab,则32=x4=y5,得x=6，y=152。答案d2。（多选题)若直线l的方向向量为m,平面的法向量为n,则不可能使l的是(）a.m=（1,0,0）,n=(-2,0，0）b.m=（1,3，5）,n=（1，0

2、，1）c。m=（0，2，1）,n=(-1，0,1)d.m=（1，1,3）,n=（0,3,1)解析若l,则需mn,即mn=0,根据选择项验证可知:a中,mn=2;b中，mn=6；c中，mn=-1；d中，mn=0,故选a,b，c。答案abc3.设a=(3,2，1）是直线l的方向向量,n=（1,2,1）是平面的法向量，则（)a.lb.lc.l或ld。l或l解析an=0,an,可知l或l。答案c4.已知直线l平面abc,且l的一个方向向量为a=（2，m，1)，a（0，0,1),b（1,0，0),c(0，1,0）,则实数m的值是。解析直线l平面abc，存在实数x，y，使a=xab+yac,ab=(1,0

3、，1），ac=(0，1,1),（2,m,1)=x（1,0，1)+y（0,1,1）=（x,y,-xy）,2=x,m=y,1=-x-y,m=3。答案35。在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，求平面acd1的一个法向量n。解如图,建立空间直角坐标系,则a(1，0,0），c（0，1，0),d1（0，0,1）。设平面acd1的法向量n=(x,y，z）。ac=(1,1,0)，ad1=(-1，0,1），又n为平面acd1的一个法向量,nac=0,nad1=0,(x,y,z)(-1,1,0)=0,(x,y,z)(-1,0,1)=0,化简,得x=y,x=z.令x=1,得y=z=1.平面acd1的一个法

4、向量n=(1,1，1)。6.在三棱锥o-abc中,oa=ob=1,oc=2，oa,ob，oc两两垂直，试找出一点d，使bdac，dcab.解建立如图所示的空间直角坐标系，则a(1,0，0),b（0,1,0）,c(0，0，2），设所求点d（x，y，z)。由bdac,dcabbdac,dcab,因此(x,y-1,z)=k1(-1,0,2),(-x,-y,2-z)=k2(-1,1,0),x=-1,y=1,z=2.即点d的坐标为（-1,1，2).7.已知三棱锥p-abc，d，e,f分别为棱pa，pb,pc的中点，求证:平面def平面abc.证明如图，设pd=a,pe=b,pf=c,则pa=2a，pb=

5、2b,pc=2c,所以de=b-a,df=c-a，ab=2b2a,ac=2c-2a,对于平面abc内任一直线l,设其方向向量为e，由平面向量基本定理知，存在唯一实数对（x,y），使e=xab+yac=x（2b-2a）+y(2c2a）=2x（b-a)+2y(ca)=2xde+2ydf,因此e与de,df共面，即e平面def,又l平面def，所以l平面def。由l的任意性知,平面abc平面def.能力提升练1.设,是不重合的两个平面，的法向量分别为n1，n2,l和m是不重合的两条直线，l，m的方向向量分别为e1,e2,那么的一个充分条件是(）a。l,m，且e1n1,e2n2b。l，m，且e1e2c

6、.e1n1，e2n2,且e1e2d。e1n1，e2n2,且e1e2解析对于c，有n1n2,则.故选c。答案c2。在正方体abcda1b1c1d1中,棱长为a,m,n分别为a1b和ac上的点，a1m=an=2a3,则mn与平面bb1c1c的位置关系是（)a.相交b。平行c.垂直d。不能确定解析建立如图所示的空间直角坐标系,由图可知平面bb1c1c的法向量n=(0,1,0）.a1m=an=2a3,ma,2a3,a3,n2a3,2a3,a,mn=-a3,0,2a3.mnn=0，mn平面bb1c1c.答案b3。平面的法向量u=（x,1,-2)，平面的法向量v=-1,y,12,已知，则x+y=。解析因为

7、，所以uv。则x-1=1y=-212，即x=4,y=-14,故x+y=154.答案1544.若a0，2,198，b1,1，58，c2,1,58是平面内的三点,设平面的法向量a=(x,y，z),则xyz=.解析因为ab=1,3，-74,ac=2,1,74，又因为aab=0,aac=0,所以x-3y-74z=0,-2x-y-74z=0,解得x=23y,z=-43y.所以xyz=23yy43y=23(-4)。答案23（4）5.已知abc的三个顶点坐标分别为a(0，0，2）,b（4,2，0)，c(2，4，0）,求平面abc的单位法向量。解ab=(4，2,2），ac=(2，4,-2），设n=(x,y,z

8、)是平面abc的单位法向量，则有|n|2=1,nab=0,nac=0x2+y2+z2=1,2x+y-z=0,x+2y-z=0.取z0，得x=y=111,z=311.故平面abc的单位法向量为n=1111,1111,31111.6。如图，在长方体abcda1b1c1d1中,aa1=ad=1，e为cd的中点，点p在棱aa1上，且dp平面b1ae，则ap的长为。解析如图，建立分别以ab,ad,aa1所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系。设ab=a,p(0，0,b),则a(0，0,0）,b1（a,0，1)，d（0,1,0）,ea2,1,0.于是ab1=(a，0，1），ae=a2,1,0,dp=(0，

9、-1，b)。dp平面b1ae，存在实数，,使dp=ab1+ae，即（0，1,b)=(a,0,1）+a2,1,0=a+a2,.a+a2=0,=-1,=b,b=12，即ap=12。答案12素养培优练已知m为长方体abcd-a1b1c1d1的棱bc的中点,点p在长方体abcd-a1b1c1d1的面cc1d1d内，且pm平面bb1d1d，试探讨点p的确切位置.解以d为坐标原点,以da,dc，dd1所在直线分别为x,y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.根据题意可设a（a，0，0)，b（a，b,0),d1（0，0，c)，p（0,y,z),c(0,b，0）,则m12a,b,0.又pm平面bb1d1d,根据空间向量基本定理知，必存在实数对（m,n)，使得pm=mdb+ndd1，即12a,b-y,-z=（ma,mb，nc），即12a=ma,b-y=mb,-z=nc,解得m=12,y=12b,z=-nc,nr,则点p的坐标为