2020-2021学年新教材数学人教A版选择性必修第一册课后提升训练：3.2.2　双曲线的简单几何性质

1、好好学习，天天向上第三章圆锥曲线的方程3。2双曲线3。2。2双曲线的简单几何性质课后篇巩固提升基础达标练1.(2019北京，文5）已知双曲线x2a2-y2=1（a0)的离心率是5,则a=()a。6b。4c.2d。12解析双曲线的离心率e=ca=5，c=a2+1,a2+1a=5，解得a=12,故选d。答案d2。(多选题）下列双曲线中,以2x3y=0为渐近线的是()a.x29-y24=1b.y24-x29=1c.x24-y29=1d.y212-x227=1解析令等式右端为0,解得a，b,d中的渐近线方程均为2x3y=0，c项中渐近线方程为3x2y=0.答案abd3。若双曲线x2a2-y2b2=1(

2、a0，b0）的一条渐近线经过点（3,-4）,则此双曲线的离心率为()a.73b.54c.43d.53解析由题意知ba=43,则e2=1+b2a2=259,所以e=53。答案d4。（多选题)已知双曲线的方程为y24-x25=1，则下列说法正确的是()a.焦点在y轴上b。渐近线方程为2x5y=0c。虚轴长为4d.离心率为35解析双曲线的方程为y24-x25=1，则双曲线焦点在y轴上;渐近线方程为2x5y=0;虚轴长为25;离心率为32，判断知ab正确.答案ab5.若实数k满足0k9,则曲线x225-y29-k=1与曲线x225-k-y29=1的（）a。焦距相同b。实半轴长相等c.虚半轴长相等d.离

3、心率相等解析由于00,即曲线x225-k-y29=1为焦点在x轴上的双曲线，焦点坐标为(34-k，0),故两曲线的焦距相同,故答案为a。答案a6。已知双曲线c：x2a2-y2b2=1（a0,b0)的一条渐近线方程为y=22x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点，则c的方程为（)a。x28-y24=1b。x25-y24=1c.x24-y22=1d。x26-y23=1解析由椭圆x212+y23=1的焦点为(3,0),可得双曲线的c=3,即a2+b2=9，由双曲线的渐近线方程为y=bax,可得ba=22，解得a2=6，b2=3,则双曲线的方程为x26-y23=1.故选d。答案d7。双曲线x24-

4、y212=1的焦点到渐近线的距离为.解析双曲线x24-y212=1的焦点坐标为（-4,0），(4,0),渐近线方程为y=3x,故焦点(4，0）到渐近线y=3x的距离d=433+1=23。答案238.已知双曲线y2a2-x2b2=1的实轴长、虚轴长、焦距构成等差数列,则双曲线的渐近线方程为.解析依题意有2a,2b,2c成等差数列,所以4b=2a+2c。因为c2=a2+b2,所以(2b-a)2=a2+b2,解得a=34b,于是双曲线渐近线方程为y=abx=34x.答案y=34x9。过双曲线x2a2-y2b2=1（a0,b0）的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于m，n两点,以mn为直径的圆恰好过

5、双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于.解析令x=c,得y2=b4a2,则mn=2b2a。由题意得a+c=b2a，即a2+ac=c2-a2，ca2-ca-2=0，ca=2或ca=1（舍去），即离心率为2。答案210.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在y轴上，虚轴长为8，离心率为e=53;(2）经过点c(3,2）,且与双曲线x28-y216=1有共同的渐近线。解（1）设所求双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1（a0，b0)，则2b=8,e=ca=53,从而b=4,代入c2=a2+b2，得a2=9，故方程为y29-x216=1.(2)由题意可设所求双曲线方程为x28-y216=(0)

6、,将点c（3,2)的坐标代入,得38-216=,解得=14，所以所求双曲线的标准方程为x22-y24=1。能力提升练1。（多选题）已知双曲线c的两条渐近线的夹角为60，则双曲线c的方程可能为（）a。x23-y2=1b。x23-y29=1c。y23-x212=1d。y221-x27=1解析依题意,知渐近线与x轴的夹角为30或60，所以双曲线c的渐近线方程为y=33x或y=3x，根据选项检验可知abd均可能。答案abd2。过双曲线的一个焦点f2作垂直于实轴的弦pq,f1是另一焦点，若pf1q=2，则双曲线的离心率等于()a.2-1b.2c。2+1d.2+2解析不妨设双曲线标准方程为x2a2-y2b

7、2=1（a0，b0）,依题意知直线pq所在直线方程为x=c，代入双曲线方程得|pq=2b2a。因为pf1q=2,所以f1f2|=pf2,即2c=b2a,于是2ac=b2=c2a2，所以e22e-1=0，解得e=2+1（e=1-2舍去），故选c。答案c3。已知双曲线x2a2-y2b2=1（a0,b0），过原点作一条倾斜角为3的直线分别交双曲线左、右两支于p,q两点，以线段pq为直径的圆过右焦点f,则双曲线离心率为（）a.2+1b.3+1c。2d。5解析设p(x1，y1),q（x2,y2）,依题意，直线pq的方程为y=3x,代入双曲线方程并化简，得x2=a2b2b2-3a2，y2=3x2=3a2b

8、2b2-3a2，故x1+x2=0,x1x2=-a2b2b2-3a2，y1y2=3x1x2=-3a2b2b2-3a2,设焦点坐标为f（c,0），由于以线段pq为直径的圆经过点f,故fpfq=0,即（x1c，y1)（x2c，y2)=0,即4x1x2+c2=0，即b46a2b2-3a4=0,两边除以a4,得ba4-6ba2-3=0，解得ba2=3+23.故c=1+ba2=4+23=3+1，故选b.答案b4。已知l为双曲线c：x2a2-y2b2=1的一条渐近线，其倾斜角为4，且c的右焦点为（2，0）,则c的右顶点为；c的方程为.解析由题意可得c=2,即a2+b2=4,一条渐近线的斜率为k=ba=tan

9、4=1,解得a=b=2,则双曲线的右顶点为(2,0）,c的方程为x22-y22=1.答案（2，0)x22-y22=15.直线y=b与双曲线x2a2-y2b2=1（a0,b0)的左、右支分别交于b,c两点,若oboc，o为坐标原点,则双曲线的渐近线方程为。解析直线y=b与双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右支分别交于b，c两点，联立y=b,x2a2-y2b2=1,可得b(-2a,b），c（2a，b).因为oboc，oboc=2a2+b2=0,即2a2=b2,b=2a,所以双曲线的渐近线方程为y=bax=2x。答案y=2x6。已知点a（3，0）和b(3，0），动点c到a、b两点的距离

10、之差的绝对值为2.(1）求点c的轨迹方程；（2)点c的轨迹与经过点(2，0）且斜率为1的直线交于d、e两点，求线段de的长.解（1）点a（-3,0）和b(3，0）,动点c到a、b两点的距离之差的绝对值为2。|ab=232，点c的轨迹方程是以a（3，0)和b（3,0)为焦点的双曲线，且a=1,c=3，点c的轨迹方程是x2y22=1.(2）点c的轨迹方程是2x2y2=2，经过点(2,0)且斜率为1的直线方程为y=x-2。联立2x2-y2=2,y=x-2,得x2+4x6=0,设d(x1,y1)，e(x2,y2），则x1+x2=4，x1x2=-6,de=(1+1)(-4)2-4(-6)=45。故线段d

11、e的长为45。素养培优练已知椭圆c1：x2a12+y2b12=1（a1b10)与双曲线c2:x2a22-y2b22=1(a20，b20）有相同的左、右焦点f1，f2,若点p是c1与c2在第一象限内的交点，且|f1f2=4|pf2|,设c1与c2的离心率分别为e1，e2,则e2e1的取值范围是（）a.13,+b.13,1c.12,+d.12,2解析设|pf1|=m,|pf2|=n,由椭圆的定义可得m+n=2a1,由双曲线的定义可得m-n=2a2，解得m=a1+a2,n=a1a2，由f1f2|=4pf2|，可得n=12c,即a1a2=12c,由e1=ca1，e2=ca2，可得1e1-1e2=12，由0e112,即1e22,则e2e1=e2-2e22+e2=e222+e2,可设2+e2=t（3t4)，则e22