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文档简介

1、第二讲不定积分的性质【教学内容】1. 不定积分的性质2. 直接积分法【教学目标与要求】理解不定积分的性质，掌握直接积分法【教学重点与难点】1 .不定积分的性质2. 直接积分法【教学过程】一定积分的性质性质1非零常数因子可提到积分号外，即Jkf (x)dx =k J f (x)dx (k 芒0)性质2两个函数的代数和的不定积分，等于各个函数不定积分的代数和，即f (x) _g(x) dx 二 f (x)dx_ g(x)dx本性质可以推广到有限个函数的情形。例 1 求 J(1+ 丈 + c cxs-e d)x解J(1 +3x2 +cosx -ex)dx = Jdx + 3 J x2dx + Jco

2、sxdx - f exdx二 x x3 sin xC注意：逐项积分后，每个积分结果中都含有一个任意常数，由于任意常数之和仍是任意常数，因此，只要在末尾加一个积分常数C就可以了。另外，.1dx二.dx。二、直接积分法在求积分问题时，有时可以直接按积分的基本公式和两个基本性质求出结果；有时则须将被积函数经过适当的恒等变形， 再利用积分的两个基本性质和积分公式求出结果，这样的积分方法叫做 直接积分法。例 2 求xx 1 31 333()dx = (1 一 )dx = (1 一xXX1 1=dx -3 -dx 3 dx -L xX31= x-3ln x| + +Cx 2x2求 3xexdx岀)cI n

3、 3 1xxx()3edx= .MdX n(e 产x2求21 x2dx =(1x2) -11 x2dxdx 二 dx 2 二 x - arctan x CT+x2注：分子中加1减1 （或加上一个式子再减去同一个式子）是积分中常见的基本技巧。x4例 5 求 1，x2dx.41；2恥x4 -11 ,厂dx1 x22 2(x 1)(x -1)1 ,dx1x2)dx 二 x2dx - dx 1 2 dx十 x213x -x arctanx C3复习三角函数公式：（1）2 21 tan x =sec x(2)2 2cos2x 二 2cos x -1 = 12sin x(3)sin2 x cos2 x 二

4、 1求 tan2 xdx222tan xdx 二 (sec x -1)dx 二 sec xdx - dx = tan x -注:利用1 tan2x =sec x公式，使被积函数tan2 x转化成积分表中的已知函数2sec x，再应用积分公式。例 7 求 Jcos2 dx解：2 x1 + C 0爲1111cosdxdx=dx亠 cos xd xxsinx C2 L 2 2 2 2 2注:利用余弦函数的倍角公式，使-转化成x，又使被积函数的幕得到降次，便于计2求！ 一2 2 dx1解.FFsin xcos x2丄2,sin x + cos x ,dx ：22 dxsin xcos xsin xcos x1 122 )dx 二 tan xcot x Ccos x

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