四川省绵阳市2013届高三第一次诊断性考试数学理试题

1、保密启用前【考试时间：2012 年 11 月 1 日下午 3:005:00】 绵阳市高中绵阳市高中 20132013 级第一次诊断性考试级第一次诊断性考试 数学数学 ( (理科）理科） 本试卷分第 i 卷（选择题）和第 ii 卷（非选择题）两部分.第 i 卷 1 至 2 页，第 ii 卷 3 至 4 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡上， 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置. 2. 选择题使用 2b 铅笔填涂在答题卡对应题 0 标号的位置上，非选择题用 0.5 毫米的 黑色签字笔书写在答题卡

2、的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷 上答题无效. 3.考试结束后，将答题卡收回. 第第i i卷卷（选择题，共 50.分） 、选择题：本大题共 10 小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中， 只 有一项是符合题目荽求的. 1. 设集合，b=0, 1, 2，则等于 a. 0b. 0，1 c. 0, 1， 2d. 2. 命题，则是 a. b. c. d. 3. 设，则 a. cbab. bac c. cabd. abc 4. 函数.的零点所在的区间为 a. (-1，0)b. (0, 1) c. (1, 2)d. (2，3) 5. 如图 ， 在 ，中 ，ad=2db

3、，de=ec,若，则 = a. b. c. d. 6. 设函数的部分图象如下图所示，则/(力的表达 式为 a. b. c. d. 7. 若函数在区间(o, 1)上单调递增，且方程的根都在区间-2, 2 上， 则实数 b 的取值范围为 a. o, 4b. c. 2, 4d. 3, 4 8. 已知定义在 r 上的奇函数/(x)是上的增函数，旦 f(1)=2, f(-2)=-4,设 .若是的充分不必要条件，则实数 t 的取 值范围是 a. b. c. d. 9. 某公司租赁甲、乙两种设备生产 a,b 两类产品，甲种设备每天能生产 a 类产品 5 件 和 b 类产品 10 件，乙种设备每天能生产 a

4、类产品 6 件和 b 类产品 20 件.已知设备甲 每天 的租赁费为 200 元，设备乙每天的租赁费为 300 元，现该公司至少要生产 a 类产 品 50 件， b 类产品 140 件，所需租赁费最少为 a. .2400 元b. 2300 元c. 2200 元d. .2000 元 10. 已知函数则满足不等式.例 x 的取值范围为 a. (0，3) b. c. d. (-1, 3) 第第 ii 卷卷（非选择题，共 100 分） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11. 已知向量 a=(2,1)，b=(x，-2)，若 a/b，则 x=_ 12. 已知偶函数在上是增函

5、数，则 n= _ 13. 已知an是递增数列，且对任意的都有恒成 立， 则角 的取值范围是_ 14. 已知定义在 r 上的函数 f(x)满足且当 ,则=_ 15. 设所有可表示为两整数的平方差的整数组成集合 m.给出下列命题： 所有奇数都属于 m. 若偶数 2k 及属于 m，则. 若，则, 把所有不属于 m 的正整数从小到大依次择成一个数列，则它的前 n 项和 其中正确命 题的序号是_(写出所有正确命题的序号 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、说明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分）设向量，函数， . (i)求函数 f(x)的最小正周期及对称轴方程；

6、 ( i i ) 当时，求函数 f(x)的值域. 17. (本题满分 12 分）已知等差数列an的前 n 项和为 sn，公差，且 s3+s5=58，a1,a3,a7成等比数列. (i)求数列an的通项公式； ( i i ) 若bn为等比数列，且记 求 t10值. 18. (本题满分 12 分）己知二次函数 y=f(x) 的图像过点(1,-4),且不等式 f(x)0). (i )求证：数列an为等比数列； (ii )若数列an的公比 q= f(t,数列bn满足,求数列bn的通项 公式； (iii) 设对（ii )中的数列bn，在数列an的任意相邻两项 ak与 ak+1之间插 入 k 个后，得到一

7、个新的数列： 记此数列为cn.求数列cn的前 2012 项之和. 21. (本题满分 14 分）己知函数在;c=2 处的切线斜率为. (i)求实数 a 的值及函数 f(x)的单调区间； (ii) 设，对使得成 立，求正实数的取值范围； (iii) 证明： 绵阳市高 2013 级第一次诊断性考试 数学(理)参考解答及评分标准 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 bcbcc aaddb ab 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 13-4 142 15 45 02 33 ， 16 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证

8、明过程或演算步骤 17解：（）f (x)=ab =(cos2x，1)(1，3sin2x) =3sin2x+ cos2x =2 sin(2x+ 6 )， 6 分 最小正周期 2 2 t ， 令 2x+ 6 = 2 k ，kz，解得 x= 26 k ，kz， 即 f (x)的对称轴方程为 x= 26 k ，kz8 分 （）当 x0， 2 时，即 0 x 2 ，可得 6 2x+ 6 7 6 ， 当 2x+ 6 = 2 ，即 x= 6 时，f (x)取得最大值 f ( 6 )=2； 当 2x+ 6 = 7 6 ，即 x= 2 时，f (x)取得最小值 f ( 2 )=-1 即 f (x) 的值域为-1

9、，212 分 18解：（）由 s3+s5=58，得 3a1+3d+5a1+10d=8a1+13d =58， a1，a3，a7成等比数列，a32=a1a7， 即(a1+2d)2=a1(a1+6d)，整理得 a1=2d， 代入得 d=2， a1=4， an=2n+2 6 分 （）由（）知 a8=18，b5b6+b4b7=2b5b6=18，解得 b5b6 =9 t10= log3b1 +log3b2+ log3b3+ log3b10 =log3(b1b10) + log3(b2b9) + log3(b5b6) =5log3(b5b6) =5log39 =10 12 分 19解：（）由已知 y= f

10、(x)是二次函数，且 f (x)0 的解集是(0，5)， 可得 f (x)=0 的两根为 0，5， 于是设二次函数 f (x)=ax(x-5)， 代入点(1，-4)，得-4=a1(1-5)，解得 a=1， f (x)=x(x-5) 4 分 （）h(x)=2f (x)+g(x)=2x(x-5)+x3-(4k-10)x+5=x3+2x2-4kx+5， 于是 2 ( )344h xxxk， h(x)在-4，-2上单调递增，在-2，0上单调递减， x=-2 是 h(x)的极大值点， 2 ( 2)3 ( 2)4( 2)40hk ，解得 k=1 6 分 h(x)=x3+2x2-4x+5，进而得 2 ( )

11、344h xxx 令 2 2 ( )3443(2)()0 3 h xxxxx，得 12 2 2 3 xx ， 由下表： x (-3，-2) -2 (-2， 2 3 ) 2 3 ( 2 3 ，1) ( )h x +0-0+ h(x) 极大 极小 可知：h(-2)=(-2)3+2(-2)2-4(-2)+5=13，h(1)=13+212 -41+5=4， h(-3)=(-3)3+2(-3)2-4(-3)+5=8，h( 2 3 )=( 2 3 )3+2( 2 3 )2-4 2 3 +5= 95 27 ， h(x)的最大值为 13，最小值为 95 27 12 分 20解：（）asina=(a-b)sin

12、b+csinc， 由正弦定理 sinsinsin abc abc ，得 22 ()aab bc， 即 222 abcab 由余弦定理得 222 1 cos 22 abc c ab ， 结合0c，得 3 c 6 分 （）由 c=-(a+b)，得 sinc=sin(b+a)=sinbcosa+cosbsina， sinc+sin(b-a)=3sin2a， sinbcosa+cosbsina+sinbcosa-cosbsina=6sinacosa， 整理得 sinbcosa=3sinacosa 8 分 若 cosa=0，即 a= 2 时，abc 是直角三角形，且 b= 6 ， 于是 b=ctanb=

13、2tan 6 = 2 3 3 ， sabc= 1 2 bc= 2 3 3 10 分 若 cosa0，则 sinb=3sina，由正弦定理得 b=3a 联立，结合 c=2，解得 a= 2 7 7 ，b= 6 7 7 ， sabc= 1 2 absinc= 1 2 2 7 7 6 7 7 3 2 = 3 3 7 综上，abc 的面积为 2 3 3 或 3 3 7 12 分 21解：（）当 t=1 时，2an-2=0，得 an=1， 于是数列an为首项和公比均为 1 的等比数列 1 分 当 t1 时，由题设知(t-1)s1=2ta1-t-1，解得 a1=1， 由(t-1)sn=2tan-t-1，得(

14、t-1)sn+1=2tan+1-t-1， 两式相减得(t-1)an+1=2tan+1-2tan， , 1 2 1 n n at at （常数） 数列an是以 1 为首项， 2 1 t t 为公比的等比数列4 分 （） q= f (t)= 2 1 t t ，b1=a1=1，bn+1= 2 1 f (bn)= 1 n n b b ， 1 111 1 n nnn b bbb ， 数列 1 n b 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，于是 1 n n b ， 1 n b n 8 分 （iii）当 t= 1 3 时，由（i）知 an= 1 1 ( ) 2 n ， 于是数列cn为：1，-1， 1 2

15、，2，2， 2 1 ( ) 2 ，-3，-3，-3， 3 1 ( ) 2 ， 设数列an的第 k 项是数列cn的第 mk项，即 ak= k m c， 当 k2 时，mk=k+1+2+3+(k-1)= (1) 2 k k ， m62= 6263 1953 2 ，m63= 63 64 2016 2 设 sn表示数列cn的前 n 项和， 则 s2016=1+ 1 2 + 2 1 ( ) 2 + 62 1 ( ) 2 +-1+(-1)222+(-1)333+(-1)626262 显然 1+ 1 2 + 2 1 ( ) 2 + 62 1 ( ) 2 = 63 62 1 1( ) 1 2 2 1 2 1

16、2 ， (2n)2-(2n-1)2=4n-1， -1+(-1)222+(-1)333+(-1)626262 =-1+22-32+42-52+62-612+622 =(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+(6+5)(6-5)+(62+61)(62-61) =3+7+11+123 = 31 (3 123) 2 =1953 s2016= 62 1 2 2 +1953=1955- 62 1 2 s2012=s2016-(c2016+c2015+c2014+c2013) =1955- 62 1 2 -( 62 1 2 +62+62+62) =1769- 61 1 2 即数列cn的前 2012 项之

17、和为 1769- 61 1 2 12 分 22解：（）由已知： 1 ( )fxa x ， 由题知 11 (2) 22 fa ，解得 a=1 于是 11 ( )1 x fx xx ， 当 x(0，1)时，( )0fx，f (x)为增函数， 当 x(1，+)时，( )0fx，f (x)为减函数， 即 f (x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，+) 5 分 （）由（）x1(0，+)，f (x1) f (1)=0，即 f (x1)的最大值为 0， 由题知：对x1(0，+)，x2(-，0)使得 f (x1)g(x2)成立， 只须 f (x)maxg(x)max 2 2 ( ) xkxk g x x 2 k xk x 2 k xk x 22kk， 只须kk220，解得 k110 分 （）要证明 2 222 ln2ln3ln21 234(1) nnn nn (nn*，n2) 只须证 2 222 2ln22ln32ln21 232(1) nnn nn ， 只须证 2222 222 ln2