浙江省中考数学复习难题突破专题七：图形变换综合探究题

1、难题突破专题七图形变换综合探究题图形的轴对称、平移、旋转是近年中考的新题型、热点题型，它主要考查学生的观察与实验能力， 探索与实践能力，因此在解题时应注意以下方面：1 熟练掌握图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转的基本性质和基本方法2 结合具体问题大胆尝试，动手操作平移、旋转，探究发现其内在规律是解答操作题的基本方法 3注重图形与变换的创新题，弄清其本质，掌握其基本的解题方法，尤其是折叠与旋转等类型 1平移变换问题1 两个三角板 abc，def 按如图 z71 所示的位置摆放，点 b 与点 d 重合，边 ab 与边 de 在同一条直线上(假设图形中所有的点、线都在同一平面内 ) ，其中，cde

2、f 90， abcf30 ， acde6 cm.现固定三角板 def，将三角板 abc 沿射线 de 方向平移，当点 c 落在边 ef 上时停止运动设 三角板平移的距离为 x(cm)，两个三角板重叠部分的面积为 y(cm2)(1)当点 c 落在边 ef 上时，x_cm；图 z71(2) 求 y 关于 x 的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围；(3) 设边 bc 的中点为点 m，边 df 的中点为点 n，直接写出在三角板平移过程中，点 m 与点 n 之间距离 的最小值例题分层分析(1) 当点 c 落在 ef 边上时记为 c，此时 a 点的对应点记为 a，根据锐角三角函数，可得 ae _ c

3、m，所以 xaaaeae_cm.(2) 分类讨论：当 0x6 时，根据三角形的面积公式可得答案；当 6x12 时，根据面积的和 差可得答案；当 12x15 时，根据面积的和差可得答案(3) 根据点与直线上所有点的连线中垂线段最短，可得当 nmbd 时，mn 最小根据线段的和差即可 求得答案类型 2折叠问题2 2019衢州 如图 z72，将矩形 abcd 沿 de 折叠使顶点 a 落在点 a处，然后将矩形展平，沿 ef 折叠使顶点 a 落在折痕 de 上的点 g 处，再将矩形 abcd 沿 ce 折叠，此时顶点 b 恰好落在 de 上的点 h 处，如图.(1) 求证 egch；(2) 已知 af

4、 2，求 ad 和 ab 的长图 z72例题分层分析(1) 由折叠的性质及矩形的性质可知_，_，再根 据四边形 abcd 是矩形，可得_，等量代换即可证明 egch；(2) 由折叠的性质可知ade_，fgea90，af 2，那么 dg_，利用勾股定理求出 df_，于是可得 adafdf_；再利用 aas 证 aef bce，得到 _ ，于是 abaebe_解题方法点析折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等解决折叠问题要注意折叠前后对应点的位置；掌握辅助线的作法；折痕两边折叠部分是全等的；折 叠的某点与所落位置之间线段被折痕垂直平分类型 3旋

5、转变换问题3 2019成都如图 z73，abc 中，abc45，ahbc 于点 h，点 d 在 ah 上，且 dhch，连结 bd.图 z73(1) 求证：bdac；(2) 将bhd 绕点 h 旋转，得 ehf(点 b，d 分别与点 e，f 对应)，连结 ae.()如图，当点 f 落在 ac 上时(f 不与 c 重合)，若 bc4，tanc3，求 ae 的长；()如图，当ehf 是由bhd 绕点 h 逆时针旋转 30得到时，设射线 cf 与 ae 相交于点 g，连结 gh，试探究线段 gh 与 ef 之间满足的等量关系，并说明理由例题分层分析(1) 先判断出 ahbh，再证明bhdahc 即可

6、；(2) ()在 rtahc 中，tanc_3.由 ahbh 及 bc4 可求得 ah_，ch_，过点 h 作 hpae 于 p，然后根据ehafhc，得到 hp_ap，ae_ap，最后用勾股定 理求解即可；()设 ah 与 cg 交于点 q.先判断出agqchq，得到_，然后判断 aqcgqh，最后 用相似比求解即可12019菏泽专 题 训 练如图 z74，将 abc 绕直角顶点 c 顺时针旋转 90，得 abc，连结aa，若125，则baa的度数是( )a55 b60 c65 d70图 z74图 z7522019舟山 如图 z75，在平面直角坐标系 xoy 中，已知点 a( 2，0)，b(

7、1，1)若平移点 a 到点 c，使以点 o，a，c，b 为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是( )a 向左平移 1 个单位，在向下平移 1 个单位b 向左平移( 21)个单位，再向上平移 1 个单位c 向右平移( 21)个单位，再向上平移 1 个单位d 向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位32019聊城 如图 z76，把一张矩形纸片 abcd 沿 ef 折叠后，点 a 落在 cd 边上的点 a处， 点 b 落在点 b处，若240，则图中1 的度数为( )a115 b120 c130 d140图 z76图 z7742019温州 如图 z77，一张三角形纸片 abc，其中c90，ac4

8、，bc3.现小林将纸片做三次折叠：第一次使点 a 落在 c 处，将纸片展平做第二次折叠，使点 b 落在 c 处，再将纸片展平做第三次折叠，使点 a 落在 b 处这三次折叠的折痕长依次记为 a，b，c，则 a，b，c 的大小关系是( ) acab bbac ccba dbca52019贵港 如图 z78，在 rtabc 中，acb90，将abc 绕顶点 c 逆时针旋转得到abc，m 是 bc 的中点，p 是 ab的中点，连结 pm.若 bc2，bac30，则线段 pm 的最大值 是( )图 z78a4 b3 c2 d16如图 z79，折叠矩形纸片 abcd，使 b 点落在 ad 上一点 e 处，

9、折痕的两端点分别在 ab，bc 上(含 端点)，且 ab6，bc10.设 aex，则 x 的取值范围是_72019武汉图 z79如图 z710，在abc 中，abac2 3，bac120，点 d，e 都在边 bc 上，dae60.若 bd2ce，则 de 的长为_图 z7108如图 z711，是两块完全一样的含 30角的三角板，分别记作abc 和b c ，现将两块三角板1 1 1重叠在一起，设较长直角边的中点为 m，绕中点 m 转动上面的三角板 abc，使其直角顶点 c 恰好落在三角 板 a b c 的斜边 a b 上当a30，ac10 时，两直角顶点 c，c 的距离是_1 1 1 1 1 1

10、图 z711图 z71292019德阳 如图 z712，将abc 沿 bc 翻折得到dbc，再 dbc 绕点 c 逆时针旋转 60得到fec，延长 bd 交 ef 于 h，已知abc30，bac90，ac1，则四边形 cdhf 的面积为_102019舟山 一副含 30和 45角的三角板 abc 和 def 叠合在一起，边 bc 与 ef 重合，bcef12 cm(如图 z713)，点 g 为边 bc(ef)的中点，边 fd 与 ab 相交于点 h，现将三角板 def 绕点 g 按顺时针方向旋转(如图 z713)，在cgf 从 0到 60的变化过程中，观察点 h 的位置变化，点 h 相应 移动的

11、路径长共为_(结果保留根号)112019自贡图 z713如图 z714，在平面直角坐标系中，o 为坐标原点，点 a(1，0)，点 b(0， 3)(1)求bao 的度数(2)如图，将aob 绕点 o 顺时针旋转 aob，当点 a恰好落在 ab 边上时，设o 的面 积为 s ，o 的面积为 s ，s 与 s 有何关系？为什么？1 2 1 2(3)若将aob 绕点 o 顺时针旋转到如图 z714所示的位置，s 与 s 的关系发生变化了吗？证明你1 2的判断图 z714122019赤峰 opa 和oqb 分别是以 op，oq 为直角边的等腰直角三角形，点 c，d，e 分别是 oa，ob，ab 的中点(

12、1) 当aob90时，如图 z715，连结 pe，qe，直接写出 ep 与 eq 的大小关系；(2) 将oqb 绕点 o 逆时针方向旋转，当aob 是锐角时，如图 z715，(1)中的结论是否成立？若 成立，请给出证明；若不成立，请加以说明(3) 仍将oqb 绕点 o 旋转，当aob 为钝角时，延长 pc，qd 交于点 g， abg 为等边三角形，如图 z715，求aob 的度数图 z715参考答案类型 1平移变换问题例 1 【例题分层分析】(1)3 15解：(1)在 rtabc 中，abc30，则bac60，ab2ac12cm，bc6 3cm.1如图，当点 c 在 ef 上时，cae60，则

13、 ae ac3 cm，2所以 aaaeae15 cm.故 x15 cm.1(2)如图，当 0x6 时，bdx，dg x，2则 bg3 1 3 x，所以 y dgbg x2.2 2 8如图，当 6x12 时，bdx，bex6，1 3 3则 dg x，bg x，eh (x6)，2 2 31 1 3 3 3所以 y dgbg ehbe x2 (x6)2 x22 3x6 3. 2 2 8 6 24如图，当 121bk -1且k 0ck 1且k 2dk 0的正整数解是_；16如图，已知直线 y=x+4 与双曲线 y= 若 ab=2 2 ，则 k=_kx（x0）相交于 a、b 两点，与 x 轴、y 轴分别

14、相交于 d、c 两点，17观察下列几组勾股数：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 9,40,41按此规律，当直角三角形的最小直角边长是 11 时，则较长直角边长是_；当直角三角形的最小直角边长是2n +1时，则较长直角边长是_18已知一个正多边形的中心角为 30 度，边长为 x 厘米（x0），周长为 y 厘米，那么 y 关于 x 的函数解 析式为_三、解答题19如图，直线 y 2x+1 与双曲线 y 1 2（1）求 k 的值；kx相交于 a（2，a）和 b 两点2k 3（2）在点 b 上方的直线 ym 与直线 ab 相交于点 m，与双曲线 y 相交于点 n，若 mn ，求 m 的

15、值；x 2（3）在（2）前提下，请结合图象，求不等式 2xkx1m1 的解集20小敏学习之余设计了一个求函数表达式的程序，具体如图所示，则当输入下列点的坐标时，请按程序 指令解答（1）p （1，0），p （3，0）1 2（2）p （2，1），p （4，3）1 221如图,在abc 中,ab=ac,点 m 在 ba 的延长线上.(1)按下列要求作图,并在图中标明相应的字母.（保留作图痕迹） 作mac 的平分线 an;作 ac 的中点 o,连结 bo,并延长 bo 交 an 于点 d,连结 cd; (2)在(1)的条件下,判断四边形 abcd 的形状,并证明你的结论.22计算：（ 2 ）0 5 |

16、3|+（12）123如图，在abc 中，bc12，tana34，b30；求 ac 和 ab 的长24为了增强学生的环保意识，某校团委组织了一次“环保知识”考试，考题共 10 题考试结束后，学校 团委随机抽查部分考生的考卷，对考生答题情况进行分析统计，发现所抽查的考卷中答对题量最少为 6 题， 并且绘制了如下两幅不完整的统计图请根据统计图提供的信息解答以下问题：（1） “答对 10 题”所对应扇形的心角为_；（2） 通过计算补全条形统计图；（3） 若该校共有 2000 名学生参加这次“环保知识”考试，请你估计该校答对不少于 8 题的学生人数25先化简，再求值：（1+1 2 x -4） ，其中 x

17、3 x -2 x 2 -1【参考答案】*一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 b d c c a c b a b b 二、填空题13 （2，4）14 315 x=116 -317 60， 2n+2n18 y12x三、解答题c c19（1）k6；（2）m6；（3）x2 或 1x 【解析】【分析】32（1）把点 a（-2，a）代入 y =2x+1 与 y =1 2kx，即可得到结论；（2）根据已知条件得到 m（m-1 6 3，m），n（ ，m），根据 mn= 列方程即可得到结论； 2 m 2（3）求得 n 的坐标，根据图象即可求得 【详解】（1）a（2，a）在

18、y 2x+1 与 y 1 222+1a，kx的图象上，n ma3，a（2，3）， k2（3）6； （2）m 在直线 ab 上，m（m-12，m），n 在反比例函数 y6x的图象上，n（6x，m），6 m-1 3mnx x ， m 2 2整理得，m24m120， 解得 m 6，m 2，1 2经检验，它们都是方程的根，由 6 3y= x=x 得 2x =2x+1 y=4或 x =-2y =-3，b（32，4），m 在点 b 上方， m6（3）m6， n 的横坐标为 1，2xkx1m1，2x+1kxm1，即 y y m，1 2由图象可知，x2 或 1x32【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点

19、问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式 联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点也考查了平行于x 轴的直 线上点的坐标特征，解分式方程以及数形结合的思想( )( )20（1）y =-4 8x 2 - x +4 3 3；（2）yx+1【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，根据待定系数法进行求解即可. 【详解】解：（1）p （1，0），p （3，0），13，1 2x x 30，1 2设过 p （1，0），p （3，0），p（2，4）三点的抛物线的函数表达式为：ya（x1）（x+3）， 1 2将 p（2，4）代入解得a

20、=-43,y =-4 4 8x -1 x +3 =- x 2 - x +4； 3 3 3（2）p （2，1），p （4，3），24， 1 2y y 30，1 2设直线 p p 的函数表达式为：ykx+b， 1 2 2 k +b =-1 4 k +b =-3,k =-1 b =1.yx+1【点睛】考查程序框图，待定系数法求一次函数，二次函数解析式，读懂题目中的程序框图是解题的关键. 21（1）作图见解析；作图见解析；（2）平行四边形，证明见解析.【解析】【分析】（1） 作一个角的平分线和线段的垂直平分线可完成作图；（2） 由 ab=ac 得acb=abc，由 an 平分mac 得到man=can

21、，则利用三角形外角的性质可得到acb= cad，所以 bcad，于是可证明bocdoa，得到 bc=ad，然后根据平行四边形的判定方法可判断四 边形 abcd 是平形四边形【详解】（1）作mac 的角平分线 an，作 ac 的中垂线得到 ac 的中点 o，连接 bo，并延长 bo 交 an 于点 d，连接 cd，如图；（2）四边形 abcd 是平形四边形，理由如下： ab=acacb=abc，an 平分mac，man=can，mac=abc+acb，acb=cad，bcad，ac 的中点是 oao=co，在boc 和doa 中ocboadocoabocaodbocdoa，bc=ad，而 bca

22、d，四边形 abcd 是平形四边形【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性 质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作 图拆解成基本作图，逐步操作也考查了全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定22 5 .【解析】【分析】直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案【详解】原式1（3 5 ）+2 5 【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键238+6 3 【解析】【分析】如图作 chab 于 h在 bhc 求出 ch、bh，在 ach 中求出 ah

23、、ac 即可解决问题； 【详解】解：如图作 chab 于 h在 rtbch 中，bc12，b30，ch12bc6，bh bc2-ch2 6 3 ，在 rtach 中，tanaah8，3 ch ，4 ahacah2+ch2 10，【点睛】本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决 问题，属于中考常考题型24（1）108；（2）见解析；（3）1480 人【解析】【分析】（1） 先得出总人数，进而利用圆心角的计算解答即可；（2） 得出 d 的人数，画出图形即可；（3） 根据用样本估计总体解答即可【详解】解：（1）总人数（5+8+12+15）（120%

24、）50，“答对 10 题”所对应扇形的心角为1550360=108；故答案为：108（2）“答对 9 题”的人数5020%10，补全条形统计图如图：（3）200012 +10 +15 50=1480，所以估计该校答对不少于 8 题的学生人数为 1480 人【点睛】本题考查了统计图与概率，熟练掌握条形统计图与扇形统计图是解题的关键2512【解析】【分析】先通分计算括号里的，再计算乘法，最后合并，然后把 x 的值代入计算即可 【详解】解：原式2，x +1x -1x -2(2 (x-2) x +1)(x-1)当 x3 时，原式2 1 3+1 2【点睛】此题考查分式的化简求值，解题关键在于掌握运算法则

25、.一、选择题1若 a+b=3， a.22019-2020 学年数学中考模拟试卷，则 ab 等于（ ）b.1 c.2 d.12如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为 2，则图中阴影部分的面积为 （ ）a. b. c.6 d. 3下列计算正确（ ）a（a +b）2=a2+b2b a2a3=a5c a8a2=a2d a3+a2=a54关于 x 的一元二次方程（m-5）x2+2x+2=0 有实根，则 m 的最大整数解是（ ）a2 b3 c4 d55如图，在abc 和abd 中，abacad，acad，aebc 于点 e，ae 的反向延长线于 bd 交于点 f， 连接 cd则线段

26、 bf，df，cd 三者之间的关系为( )abfdfcd cbf2+df2cd2bbf+dfcd d无法确定6在我们的生活中，常见到很多美丽的图案，下列图案中，既是中心对称，又是轴对称图形的是( )a b c d7二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图，则反比例函数 y=ax与一次函数 y=bxc 在同一坐标系内的图象大致是( )a b c d8江西省足协 2019 年第三次主席办公会在南昌召开，某学校为了激发学生对体育的热情，选拔了 23 名 学生作为校足球队成员，其中足球队 23 名队员的年龄情况如表：年龄（岁）人数（名）123138146154162则该校足球队队员年龄的众数和

27、中位数分别是（ ）a13，14 b13，13 c14.13.5 d16，149袋中装有大小相同的 6 个黑球和 n 个白球，经过若干次试验，发现“从袋中任意摸出一个球，恰是黑球的概率为a.2 个34”则袋中白球大约有（ ）b.3 个 c.4 个 d.5 个10如图，在平面直角坐标系中， abc 的三个顶点的坐标分别为 a（1，1），b（4，3），c（4，1），如果将 rtabc 绕点 c 按顺时针方向旋转 90得到 abc，那么点 a 的对应点 a的坐标是（）a（3，3） b（3，4） c（4，3） d（4，4）11关于 x、y 的方程组 x +2 y =3m x -y =9m的解是方程 3x

28、+2y34 的一组解，那么 m 的值是( )a2 b1 c1 d212观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 2019 个图形共有( ) 个a6055二、填空题13函数 y13 -2 xb6056 c6057 d6058的自变量 x 的取值范围是_14 多项式（mx+8）（23x）展开后不含 x 项，则 m_15 下列说法中，正确的是（ ）a. 为检测我市正在销售的酸奶质量，应该采用普查的方式b. 若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较大的同学数学成绩更稳定c.抛掷一个正方体骰子，朝上的面的点数为奇数的概率是12d.“打开电视，正在播放广告”是必然事件x

29、 =216写一个解为 的二元一次方程组_y =-117如图，rtabc 的直角边 bc 在 x 轴正半轴上，点 d 为斜边 ac 上一点，ad=2cd，db 的延长线交 y 轴于点 e，函数 y=kx（k0）的图象经过点 a，若 s =2，则 k=_bce18已知关于 x 的方程 mx 三、解答题2-1 =2 x 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是_19如图，双曲线 ykx1 1（x0）的图象经过点 a（ ，4），直线 y x 与双曲线交于 b 点，过 a，b 分2 2别作 y 轴、x 轴的垂线，两线交于 p 点，垂足分别为 c，d （1）求双曲线的解析式；（2）求证：abpbod20

30、（1）计算： 9 +( 2 -1)0-| -3 |；（2）化简：2（a3）+（a+1）221第 36 届全国信息学冬令营在广州落下帷幕，长郡师生闪耀各大赛场，金牌数、奖牌数均稳居湖南省 第一学校拟预算 7700 元全部用于购买甲、乙、丙三种图书共 20 套奖励获奖师生，其中甲种图书每套 500 元，乙种图书每套 400 元，丙种图书每套 250 元，设购买甲种图书 x 套，乙种图书 y 套，请解答下列 问题：(1) 请求出 y 与 x 的函数关系式(不需要写出自变量的取值范围)；(2) 若学校购买的甲、乙两种图书共 14 套，求甲、乙图书各多少套？(3) 若学校购买的甲、乙两种图书均不少于 1 套，则有哪几种购买方案？22如图，已知二次函数yx2+2x+3 的图象与 x 轴相交于点