2011全国数模竞赛A题

1、2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则 . 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的 , 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： A我 们的参赛报名

2、号为（如果赛区设置报名号的话） ： 20111663 所属学校（请填写完整的全名） ： 南京邮电大学 参赛队员 （打印并签名 ）：1.刘超舟2.刘立亿3.董睿指导教师或指导教师组负责人 （ 打印并签名 ） ：日期： 2011 年 9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：A 题 城市表层土壤重金属污染分析一摘要二问题重述三符号约定四基本假设五建模与

3、求解5.1 问题（ 1）的建模与求解5.1.1 问题分析 根据采样的坐标，我们可以得到一个大概的区域分布散点图，如下图：图 5.1.1 功能区采样点分布散点图图中各功能区得分布无规律，采样间隔比较大，很难建立各重金属测量值与样本采 集点坐标的平滑函数，故采用等高线图来描述各种重金属在该城区的空间分布。附件中给了采样点的三维坐标和各重金属元素的含量值， 由于我们只需要考虑该区 域的污染程度，因此不需要考虑坐标，只用知道采样地点位于某一区即可。我们从采集 样本的样本值中可以分析出每一区域的污染程度。由于重金属分子的相对分子质量较 大，取样时只对表层土壤 010 厘米深度进行取样，从收集的资料来看，

4、可对取样值污 染程度采用地积累指数分析法进行评级分析。5.1.2建模与求解首先，在 MATLAB 中运用插值法作图，具体结果如下 :图 5.1.2 As 浓度空间分布图 5.1.3Cd 浓度空间分布图 5.1.8Pb 浓度空间分布图 5.1.5Cu 浓度空间分布图 5.1.4Cr 浓度空间分布图 5.1.6Hg 浓度空间分布图 5.1.7Ni 浓度空间分布图 5.1.9Zn 浓度空间分布下面对该城区内不同区域重金属污染程度运用地积累指数法进行分析。地积累指数法（ Muller 指数）常用于评价土壤中重金属的污染状况，表达式为：Igeo log 2 Cn /（k Bn）其中： C n是元素 n

5、在土壤中的含量； Bn是土壤中该元素的地球化学背景值； k为考虑各 地岩石差异可能会引起背景值的变动而取的系数 （一般取值为 1.5 ），用来表征沉积特性， 岩石地质和其他影响。土壤中重金属地积累指数分级与污染程度之间相互关系如下表：表 Muller 地积累指数分级地积累指数（ Igeo ）分级污染程度5 I geo 106极严重污染4 I geo 55强- 极严重污染3 I geo 44强污染2 I geo 33中等- 强污染1 I geo 22中等污染0 I geo 11轻度- 中等污染I geo 00无污染根据附件 2，可知 8 种主要重金属元素在城区采样点处的浓度 Cn。而根据附件 3

6、可 知这 8中重金属元素的背景值 Bn 。再依照公式 Igeo log2Cn /（k Bn） 计算，就能得到 8 种元素的地积累指数。现在用分级频率（污染频率）来表示某种重金属元素对该城市的污染程度。分级频 率就是满足某分级的采样点个数比上所用采样点个数。例如： As地积累指数分级频率计算如下： f0（As） m0 （ As） 50.47% m f1（As） m1（ As） 46.39% mfi （As） mi （As） m 具体结果如下表：表 该地区土壤中 8 种重金属元素地积累指数分级频率分布分 级地积累指数（ I geo ）污染程 度A（s %）C（d %）C（r %）C（u %）H（g

7、 %）N（i %）P（b %）Z（n %）0I geo 0无污染50.4737.30 62.07 2759 52.04 66.1450.4747.3410 I geo 1轻度- 中等污 染46.3939.50 32.60 3730 21.63 32.2933.8628.8421 I geo 2中等污 染2.1918.503.7622.88 14.420.9414.11 16.3032 I geo 3中等- 强污染0.944.390.949.096.270.630.634.0843 I geo 4强污染0.000.310.002.511.570.000.942.5154 I geo 5强-极 严

8、重污 染0.000.000.630.001.570.000.000.6365 I geo 10极严重污染0.000.000.000.632.510.000.000.31再做如下计算： 用每个区域的某一元素的地积累指数的平均值作为该元素在此区域 的的地积累指数，进行分级评价。以生活区为例：1 n1I geo (As)I geoi 0.1273n1 i 11 n1I geo (Cd)I geoi 0.3384n1 i 11 n1I geo (Cr)I geoi 0.1475n1 i 1所有结果如下表：表 该地区 8 种土壤重金属地积累指数及其分级情况元 素生活区工业区山区交通区公园绿地区I geo

9、分 级I geo分 级I geo分 级I geo分 级I geo分 级As0.127310.21291-0.532700.055610.13741Cd0.338410.79771-0.526400.596210.18211Cr0.14751-0.03010-0.445800.0271-0.16590Cu0.876711.37722-0.39501.074720.39511Hg0.198911.31612-0.598800.462610.19611Ni-0.07820-0.03190-0.45790-0.18480-0.33970Pb0.238610.67471-0.455700.282210.

10、12691Zn0.468310.85741-0.592500.652410.05311从 8 种重金属元素的分级频率计算的结果来看( 表)，该城区总体重金属污染情况 是 Cu的污染频率最大，达到 72.41%，其次是 Cd和 Zn，是 60.5%和 52.66%；其余 5 种 重金属元素污染频率的大小顺序为 As，Pb，Hg，Cr 和 Ni 。而对于每个功能区来说( 表 )：生活区几乎没有 Ni 污染，其他重金属元素均属于 1 等级，即轻度 - 中等污染；工业区没有 Ni 污染和 Cr 污染，但 Cu和 Hg 属于中等污染； 山区几乎不受这 8中重金属元素污染；交通区同样基本不受 Ni 污染，

11、但 Cu污染较多， 公园绿地区没有 Ni 污染和 Cu污染, 其他重金属污染程度较轻。具体排序如下： 表污染程度生活区工业区山区交通区公园绿地区重CuCuCuCuCuZnHgCrZnHgCdZnPbCdCdPbCdNiHgAsHgPbCdPbPbCrAsAsCrZn轻AsCrZnAsCrNiNiHgNiNi表污染程度AsCdCrCuHgNiPbZn工业区工业区生活区工业区工业区工业区工业区工业区公园绿地区交通区交通区交通区交通区生活区交通区交通区生活区生活区工业区生活区生活区交通区生活区生活区交通区公园绿公园绿公园绿公园绿公园绿公园绿公园绿地区地区地区地区地区地区地区山区山区山区山区山区山区山

12、区山区为了评价该城区不同区域的综合污染程度， 现将各个区域的 8 种重金属地积累指数 的平均值再做算术平均处理，即1I geo(生活区)(Igeo1(As)+Igeo1(Cd)+ I geo1(Zn)=0.28968881I geo ( 工业区 )(I geo 2(As)+I geo2 (Cd)+ I geo2 (Zn)=0.6467581I geo (山区)(I geo3 (As)+I geo3 (Cd)+ I geo3 (Zn)=0.07313881I geo (交通区)(I geo4 (As)+ I geo4 (Cd)+ I geo4 (Zn)=0.35683881I geo (公园绿地

13、区 )(I geo5 ( As)+ I geo5 (Cd)+ I geo5 (Zn)=0.1731638该城区各个区域污染程度及排序如下：工业区 交通区 生活区 公园绿地去 山区5.2 问题（ 2）的建模与求解近年来，随着工业发展、废弃物排放，土壤重金属污染已经成为一个世界性问题。 大量的研究证实，土壤重金属污染不但损害土壤自身的理化性质，而且影响作物的产量 与品质，并通过食物链进入人体危害人体健康。城市土壤由于生产、生活、和商业等不 同土地利用的特点不同，重金属污染具有其特定的空间分布特征，不同的功能区土壤中 不同重金属浓度有着一定的差异。一般来说，工业区重金属污染最为严重。从上一问的分析计

14、算中， 可以看到该城市土壤重金属的浓度的空间分布特征及污染 程度，下面针对不同功能区的土壤重金属浓度状况进行分析，解释污染原因如下：1）生活区生活区是人口密集的功能区，该区域土壤中 Cr 的含量多于其他区域， Cu、Hg和 Zn 的含量也偏高。这是由于城市生活垃圾中电池、废电灯、废旧电器等各种金属制品或镀 金属制品中金属离子的溶出对重金属污染有直接的贡献， 垃圾中最常见的重金属污染主 要就是 Cu、Hg、Zn 和 Cr。2）工业区工业区的土壤是受重金属污染最严重的功能区，除了 Cr 和 Ni ，其他重金属在土壤 中的含量都较高。工业能源大都以煤、石油类为主，它们是环境中Hg、Pb、Cd、As

15、等重金属污染的主要来源。在采矿、选矿、冶炼、锻造、加工、运输等工业生产过程中会 产生大量的重金属污染。排放的废水、废渣等直接进入水体及土壤中，废气中的重金属 经沉降也进入土壤等环境中，从而使得环境中重金属浓度严重超标。3）山区山区的土壤重金属浓度是最低的，几乎不受重金属污染。这是由于山区海拔较高， 一般不会有人类活动，且生物多样性丰富，植被对重金属的吸收，微生物对重金属的分 解，都使得山区土壤中重金属含量偏低。4) 交通区工业区的土壤是受重金属污染较严重的功能区，仅次于工业区。 Cu，Cd， Zn 和 Pb 的含量都相对较高。这是由于城市离不开交通运输，汽车尾气排放、轮胎添加剂中含有 大量的

16、Cu，Cd， Zn和 Pb。随着交通的发展，汽车的普及化，这些重金属对土壤的污染 会更加严重。5) 公园绿地区公园绿地区的土壤中重金属浓度也比较低， 相对而言， Cu的能读偏高。 从该城市功 能区分布图 可看出公园绿地区周围分布着一些工厂，工业污染扩散，导致公园绿地区土 壤收到少量重金属污染。整体来看5.3 问题( 3)的建模与求解5.3.1 问题分析重金属污染物的传播主要有以下途径：1. 大气中重金属废气的沉降；2. 农药、化肥和塑料薄膜的使用；3. 污水灌溉，污泥堆肥；4. 含重金属废弃物得堆积；5. 金属矿山酸性废水的污染。从 25 可以看出重金属污染的范围基本以污染源为中心，在其周围分

17、布，在 1 中， 我们暂不考虑该城市的风向以及风速，还有污染源所处的海拔高度等因素，设排放的废 弃自然扩散，由于重金属分子的相对分子质量较大，故会较快沉降，在污染源周围形成 污染，但范围会相对大一些。由以上的传播特性，我们可以看出，重金属污染严重的地 区，在其附近定会存在污染源。由于线性综合指标往往是不能直接观测到，但它能反映事物的本质，故我们采用统 计学中的因子分析，将多个变量转化为少数几个线性不相关的综合指标，用较少的有代 表性的因子来说明多个变量提取的主要信息。因此因子分析在成因、来源问题分析上是 较有效的。我们通过 SPSS对数据进行因子分析，对得到的因子用 MATLAB做等高线图，得

18、到每 个因子和其对应坐标的分布图， 由以上分析的金属传播特性可知， 在最大污染程度附近， 可以找到其对应的污染源。5.3.2 建模与求解设总体 x (X1,X2,.,Xp) ，其均值向量 E(x) 和协方差矩阵 V ( ij )p p都存在。 建立因子模型的一般形式X11a11F1 a12F2a1mFm1X22a21F1 a22F2a2mFm2X p p ap1F1 ap2F2apmFm p其中 m p，F1,F2,.,Fm为初始变量的公共因子， i为变量 Xi的特殊因子。下面通过 SPSS 11.0 软件对本问题进行因子分析：1)描述性统计输出。下表所示的是关于 8个初始变量( As,Cd,

19、Cr,Cu,Hg,Ni,Pb,Zn )的 描述性统计量，包括均值、标准差和分析用到的取值个数 (N) 。描述统计量均值标准差分析 NAs5.67653.02429319Cd302.3962224.98760319Cr53.509770.00179319Cu55.0167162.91510319Hg299.71131629.53978319Ni17.26189.94142319Pb61.740950.05776319Zn201.2026339.23254319初始变量的相关性检验。如下表，可见， Cr 和 Ni 的相关性最大，为 0.716 ，其次是 Pb 和 Cd，相关系数为 0.660 ，且

20、上面两组的 Sig 值很小，而其他元素之间的相关性并不是 很好。从成因上来分析，相关性好的元素可能在成因和来源上有一定的联系。2)相关矩阵ascdcrcuhgni相关 as1.000.255.189.160.064.317cd.2551.000.352.397.265.329cr.189.3521.000.532.103.716cu.160.397.5321.000.417.495hg.064.265.103.4171.000.103ni.317.329.716.495.1031.000pb.290.660.383.520.298.307zn.247.431.424.387.196.436Si

21、g. (单侧)as.000.000.002.126.000cd.000.000.000.000.000cr.000.000.000.033.000cu.002.000.000.000.000hg.126.000.033.000.033ni.000.000.000.000.033pb.000.000.000.000.000.000zn.000.000.000.000.000.0003）KMO检验和 Bartlett 球形检验。如下表所示， KMO检验用于研究变量之间的偏相关 性，一般 KMO统计量大于 0.7 就可以接受，本题中得 KMO值为 0.778 ，可以接受。Bartlett 球形检验统

22、计量的 Sig0.01 ，由此否定了相关矩阵为单位的零假设， 即认为各变量之间 存在着显著的相关性。KMO和 Bartlett 的检验取样足够度的Kaiser-Meyer-Olkin 度量。.778Bartlett的球 形近似卡方905.711度检验df28Sig.0003）变量的共同度。如下表所示，本题中 As的共同度为 0.993 ，表示 6 个公共因子能够 解释 As 的方差的 99.3%，其他变量共同度的解释类似。公因子方差初始提取as1.000.993cd1.000.938cr1.000.853cu1.000.930hg1.000.989ni1.000.882pb1.000.872z

23、n1.000.994提取方法：主成份分析。4）方差解释表。 如下表所示， 前6 个公因子解释的累计方差已将达到 93.156%，故而提 取这 6个公因子就能够比较好的解释原有 8 个变量所包含的信息了。解释的总方差5）特征值碎石图。下图所示的是 初始特征值（也就是方差贡献）的碎石图。观察发现， 第6个7）旋转前后的因子载荷阵。旋转成份矩阵成份123456ni.859.095.175.224.226.059cr.822.180.321.200.036-.006cd.189.907.089.177.114.165pb-.003.674.528.313.184.080cu.315.130.841.1

24、45.052.288zn.191.188.138.939.112.092as.095.102.048.093.981.020hg-.008.109.167.073.020.972提取方法 : 主成分分析法。旋转法 : 具有 Kaiser 标准化的全体旋转法 a. 旋转在 7 次迭代后收敛。已知因子载荷是变量与公共因子的相关系数，对一个变量来说，载荷绝对值较大的因子与它的关系更为密切，也更能代表这个变量。按照这一观点，第 1 公因子更能代表Ni，Cr 浓度这两个变量因素；第 2 公因子更能代表 Cd，Pb这两个变量因素；第 3到第6 个公因子依次更合适代表 Cu， Zn，As， Hg的浓度。8）因子得