5曲线在一点附近的结构

1、作者：王幼宁第二章曲线的局部微分几何5 曲线在一点附近的结构对无逗留点的曲线，本节将具体说明由 Frenet 公式可确定其在一点附 近的许多性质曲线的局部规范形式按照 Taylor 展开式的 基本思想 ，曲线的位置向量函数在所指定的任意 点邻近都可以用适当次数的多项式向量函数来 逼近对于 C3 弧长 s参数化曲线 C: r r(s) ，任取其上一点 P0: r(s0) ，不妨设 s0 0 ，则有 Peano余项 形式的 Taylor 展开式(5.1)2sr(s) r(0) sr (0) 2 r (0)s33s r (0)o(s3) ，其中余项 o(s3) 是 s3 的高阶无穷小向量 若 C 无

2、逗留点，则上式可用Frenet 标架表出 事实上，记r(0); T(0), N(0), B(0) r0; T0 , N0 , B0 ， (0) 0， (0) 0， 则易知有(5.2) r(0) T0 , r (0) 0N0 , r (0)(0)N0 0 0T0 0B0 此式说明： 通过对线性无关向量组 r (s), r (s), r (s) 进行规范的 Schmidt 正交化，所得到的标准单位正交基实际上就是 Frenet 标架基向量组 T(s), N(s), B(s) 同时，取 r0; T0 , N0 , B0 为 E3 的一个新的单位正交右手标 架，所建立的新直角坐标系坐标记为 (x*,

3、y*, z*) ，则此时曲线 C 的参数方 程转化为r* r*(s) (x*( s), y*( s), z*( s) x*( s)T0 + y*( s)N0 + z*( s)B 0 ，其中 r*(s) r(s)x*(5.3)y*z*r0 由此，将 (5.2) 式代入 (5.1) 式， 260 s3 ox*(s3)20 s26(0 ) s3 oy*(s3) ，0 0 3 306 0 s3 oz* (s3)C 的分量形式即为其中余项 ox* ( s3), oy*(s3), oz*(s3) 分别是 s3 的高阶无穷小此式称为曲线 C 在 点 P0 处的 标准展开 或局部规范形式 ，或称为 Bouqu

4、et 公式 作者：王幼宁曲线的局部近似曲线对于挠曲线，其 局部规范形式的主要部分 确定了一条三次多项式曲线(5.4) C*: r*(s) (s , 02s , 0 60 s ) 直接计算 表明，其位置向量的导向量函数在P0 点与曲线 C 具有相同的取值进一步， 曲线 C* 与曲线 C 在 P0 点具有相同的 Frenet 标架以及相同的 曲率值和挠率值 （参见习题 ）；这说明它们的几何行为在 P0 点附近也是很 接近的曲线 C* 称为曲线 C在 P0点的局部 近似曲线 注意， 曲线 C* 与 曲线 C 的弧长参数并不一定一致 （ 参见习题 ），只是上述各取值相同之处 一定包含着所考虑的点 P0

5、 而已但无论如何， 从逼近的角度去看，近似曲 线的局部形状已经足以反映出原有挠曲线的局部形状为观察 近似曲线 （5.4） 在 P0 点附近的图形 ，可以通过观察其 向 Frenet 标架坐标面上的投影曲 线的图形而进行，从而得到其基 本特征 向密切平面上的投影曲 线为抛物线(5.5)02 y* x* 2 ， y*2 x* ，z* 0 ；向从切平面的投影曲线为立方抛物线(5.6)z*y*0 0 x*36 x*向法平面的投影曲线为半立方抛物线右旋上升”穿过法平面和密切平面而去图2-9示意了 当 0 0 时，近似曲线和原曲线都是从密切平面“下方”曲线和原曲线都是从密切平面“上方”“右旋下降”穿过法平

6、面和密切平 面而去 此时曲线的局部基本状况分别类似于右旋上升的圆柱螺线和右旋 下降的圆柱螺线并且， (5.3) 式和 (5.4) 式说明 主法向量总是指向原曲线 和近似曲线 “凹”的一侧，曲线局部也总是落在这一侧三曲线的切触为了比较两条曲线 在某个局部的接近程度 ，通常为了方便而将所考虑 的一对对应点视为两条曲线的公共点如果还想知道这两条曲线的位置差 异程度，那么，引进所谓切触及其阶数的概念将是方便的设相交于点 P0 的曲线 C: r(s) 和曲线 C*: r*(s) 同时以 s 为弧长参数 ， 并且不妨设 OP0 r(s0) r*( s0) ，则两条曲线上的 点的对应关系规定为取相 同的参数

7、值 ，几何意义即为对应点到公共交点P0 的弧段具有相同的有向长度此时， 对应点之间在 E3 中的距离 若为它们 到交点 P0 的弧段长度 的高 阶无穷小，即(5.8)lsims r(s) r*(s) 0 ，s s0s s0则称两条曲线 C和 C* 在点 P0切触若正整数 n使(5.9)lsims r( s(s) rs0*()ns)s s0(s s0)lsims0 r (ss) sr0)*(n+s1)则称两条曲线 C 和 C* 在点 P0 有 n 阶切触 (或 n 阶密切 )(5.3) 式和 (5.4) 式说明 挠曲线及其近似曲线有至少二阶切触作者：王幼宁从 (5.1) 式和 (5.2) 式还可

8、以看到， 相切的两条曲线若在切点具有相同 的非零曲率值和相同的有向密切平面，则它们在切点有 至少 二阶切触 由 此， 密切平面上存在以曲率半径为半径的圆周与原曲线有 至少 二阶切触 ； 称该圆周为原曲线在切触点的 曲率圆周 ，称曲率圆周的圆心为原曲线的 曲 率中心 曲线与曲面的接近程度也可以用 同样的方法 进行考察习题 对于以 (5.3) 式确定的无逗留点的 C3 弧长 s 参数化曲线 C: r r(s) ，以 (5.4) 式确定 了曲线 C* 试证：参数 s不一定是 C* 的弧长参数，但在点 s 0 处C* 和 C具有 相同的曲率和挠率 已知两条正则曲线关于一张平面对称，并且按对称关系确定了点点对应试证： 在对应点，这两条曲线具有相同的曲率和符号相