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文档简介

1、令 =0得nnp a -bn报童诀窍一、问题：报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进 价为 b，零售价为 a，退回价为 c，假设 abc。即报童售出一份报纸赚 a-b，退回一份赔 b-c。报童每天购进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。试为报童筹 划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。二、模型分析：购进量由需求量确定，需求量是随机的。假定报童已通过自己的经验或其他渠道掌握 了 需 求 量 的 随 机 规 律 ， 即 在 他 的 销 受 范 围 内 每 天 报 纸 的 需 求 量 为 r 份 的 概 率 是 f(r)(r=0,1,2)有了 f

2、(r),a 和 b,c 就可以建立关于购进量的优化模型。三、模型建立：假设每天购进量是 n 份，需求量是随机的，r 可以小于，等于或大于 n, ，所以报童 每天的收入也是随机的。那么，作为优化模型的目标函数，不能取每天的收入，而取长期 卖报（月，年）的日平均收入。从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期 望值，简称平均收入。记报童每天购进 n 份报纸的平均收入为 g(n), 如果这天的需求量 rn,则 r 份将全部售出。需求量为 r 的概率是 f(r),则问题归结为在 f (r),a,b,c已知时，求 n 是 g(n)最大。四、模型求解：购进量 n 都相当大，将 r 视为连续变量便于

3、分析和计算，这时概率 f(r)转化为概率密 度函数 p(r)计算dg dgdn dn=2(a-c)np(n)-(b-c)p(r)dr+(a-b)0 np (r)drp(r)dr a -b 得到 0 =p (r)dr b -c nn 应 满 足 上 式 。p (r)dr=1使 报 童 日 平 均 收 入 达 到 最 大 的 购 进 量 为0n0p(r)dr=a -ba -c根据需求量的概率密度 p(r)的图形可以确定购进量 n 在图中用 p1,p2 分别表示曲线 p(r)下的两块面积，则 1 =p b -c2on r因为当购进 n 份报纸时， p =10p (r)dr是需求量 r 不超过 n 的

4、概率；p = p(r)dr 2n是需求量 r 超过 n 的概率，既卖完的概率，所以上式表明，购进的份数 n 应使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱 a-b 与退回一份赔的 钱 b-c 之比。五、结论：当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比约大时，报童购进的份数就应该 越多。六、问题求解：利用上述模型计算，若每份报纸的购进价为元，售出价为 1 元，退回价为元，需求量 服从均值 500 份，均方差 50 份的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入 最高，最高收入是多少？当 a=1, b=, c=时p a -b 1 -0.75 5 1 = = =p b -c 0.75 -0.6 3 2需求量 r 服从 r n (500,50 2 ) 分布。对应的正态分布表得到对应概率为所以购进量为 500

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