2020-2021学年数学新教材苏教版必修第一册教学案：第3章 3.2.2　基本不等式的应用 Word版含解析

1、3.2.2基本不等式的应用学 习 目 标核 心 素 养1熟练掌握利用基本不等式求条件最值和多元最值(重点)2会利用基本不等式求参数的取值范围(重点)3会用基本不等式求解简单的实际应用题(重点、难点)1由基本不等式求最值，提升数学运算素养2借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养一养殖场想用栅栏围成一个长、宽分别为a、b的矩形牧场，现在已有材料能做成l km的栅栏，那么如何设计才能使围成的矩形牧场面积最大？1利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整

2、体代换法等(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值2应用基本不等式解简单的实际应用题(函数类)(1)合理选择自变量，建立函数关系；(2)寻找利用基本不等式的条件(和或积为定值)(3)解题注意点设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值在求函数的最值时，一定要在使实际问题有意义的自变量的取值范围内求解1已知a0，b0，ab2，则y的最小值是()a b4 c d5cab2，12(当且仅当，即b2a时，等号成立)故y的最小值为2若x0，a0 且a为正常数，且x的最小值为4，则a 4因为x0，a0所以x224，解得a43直角

3、三角形abc的斜边ab4，则abc的面积的最大值为4设直角三角形abc的另外两条直角边分别为a，b则a2b24216，所以abc的面积sab4当且仅当ab2时取等号利用基本不等式求条件最值或多元最值【例1】(1)已知a0，b0,2ab1，则的最小值为()a4 b6 c8 d9(2)设ab0，则a2的最小值是()a1b2 c3 d4(3)若正数x，y满足x26xy10，则x2y的最小值是()a b c d(1)c(2)d(3)a(1)法一(“1”的代换)：因为 a0，b0,2ab1，所以(2ab)442 8，当且仅当b2a时取等号，故选c法二 (消元法)：因为2ab1，所以b12a，又 a0，b

4、0，所以 所以8，当且仅当2a12a，即a，b时取等号 故选c(2)因为ab0，所以ab0，a2ab0，则a2(a2ab)ab2 2 4，当且仅当a2ab且ab，即a，b时取等号故选d(3)法一(消元法)：因为正数x，y满足x26xy10, 所以y 由即解得0x1所以x2yx2，当且仅当，即x，y时取等号故x2y的最小值为 故选a法二(配凑法)：因为正数x，y满足x26xy10, 所以x(x6y)1，所以2x(x6y)2，因为x，y均为正数，所以3(x2y)2x(x6y)22，当且仅当2xx6y，即x，y时取等号故x2y的最小值为 故选a1基本不等式常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符

5、号；(3)拆补项常见形式有yax(积定)型和yax(bax)(和定)型2多元最值问题，可以通过消元，转化为一元最值问题来处理，注意消元后的变量的范围3两次同时应用或两次应用基本不等式求最值时，多个等号必须同时取到1已知0x1，则x(33x)取最大值时x的值为()a b c da0x0，则x(33x)3x(1x)3，当且仅当x1x，即x时取等号2已知正数x，y满足x22xy30，则2xy的最小值是_3由题意得y，2xy2x3，当且仅当xy1时，等号成立3已知x0，y0，且满足1，求x2y的最小值解x0，y0，1，x2y(x2y)1010218，当且仅当即时，等号成立，故当x12，y3时，(x2y

6、)min18利用基本不等式求参数取值范围【例2】(1)已知函数yx2的值构成的集合为(，04，)，则a的值是()a b c1 d2(2)已知函数y(ar)，若对于任意的xn*，y3恒成立，则a的取值范围是(1)c (2) (1)由题意可得a0，当x0时，f(x)x222，当且仅当x时取等号；当x0时，f(x)x222，当且仅当x时取等号，所以解得a1 故选c(2) 对任意xn*，y3，即3恒成立，即a3设zx，xn*，则zx4，当x2时等号成立，又x2时z6，又x3时za，故a的取值范围是求解含参数不等式的求解策略(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围(2

7、)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化.4已知不等式(xy)9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()a2 b4 c6 d8b对任意的正实数x，y，(xy)1a1a2(1)2(x，y，a0)，当且仅当yx时取等号，所以(xy)的最小值为(1)2，于是(1)29恒成立所以a4，故选b5已知正数x，y满足x2(xy)恒成立，则实数的最小值为_2依题意得x2x(x2y)2(xy)，即2(当且仅当x2y时取等号)，即的最大值为2又，因此有2，即的最小值为2利用基本不等式解决实际问题【例3】如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，

8、一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？解设每间虎笼长x m，宽y m，则由条件知，4x6y36，即2x3y18设每间虎笼面积为s，则sxy法一：由于2x3y22，所以218，得xy，即smax，当且仅当2x3y时，等号成立由解得故每间虎笼长为45 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大法二：由2x3y18，得x9yx0，0y6，sxyyy(6y)0y0s当且仅当6yy，即y3时，等号成立，此时x45故每间虎笼长为45 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：

9、(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案6某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为56048x(单位：元)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用)解设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为每平方米的平均综合费用y56048x56048当x取最小值时，y有

10、最小值x0，x230当且仅当x，即x15时，上式等号成立当x15时，y有最小值2 000元因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少1利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正二定三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用基本不等式的三个条件，需要通过1的代换、配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用基本不等式的情境2不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，基本不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到，若取不到，必须利用函数值随着自变量变化的规律性求函数的最值1若实数a，b满足，则ab的最小值为()a b2 c2 d4c因为，所以a0，b0，由2 2 ，得ab2(当且仅当b2a时取等号)，所以ab的最小值为2应选c2已知a0，b0，若不等式恒成立，则m的最大值为()a9 b12 c18 d24b因为a0，b0，由，得m(a3b)6又62612，当且仅当，即a3b时等号成立，m12，m的最大值为12应选b3把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是()a cm2 b4 cm2c3 cm2 d2 cm2d设两段长分别为x cm，(12x)cm，则s2，当且仅当x12x，即x6时取等号故两个正三角形