一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练

1、一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练对于一元二次方程 厂！ -T一 .：，当判别式二 心一时，_ -&士_ 4匚其求根公式为：一 丄；若两根为匸、厂，当0时，则两根的关bgX, + JCa = - X| - T J =系为： 丄；丿，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆X. += X, Xy 定理也是成立的，即当“ 丿，一时，那么工二二则是r! 1 -1.的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中， 老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程 丄根的判别式 -存有的三种

2、情况，以 及应用求根公式求出方程 ; 的两个根-，进而分解因式，即;。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的协助。、根据判别式，讨论一元二次方程的根。例1:已知关于*的方程（1）* 1有两个不相等的实数根，且关于*的方程（2） “ -二 j_- 一没有实数根，问二取什么整数时，方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1），（ 2）条件的二的取值范围中筛选符合条件的 013a 解得 -；方程（2）没有实数根,扛$ 三（一2尸一4（2&1） 01 u a f 于是，同时满足方程（1） , （2）条件的柬的取值范围是r其中，二的整数值有或“1当爪；时，方程（1）为

3、:-，无整数根;当.；-2时，方程（1）为./ I I :.,有整数根。解得：1 八一所以，使方程（1）有整数根的总的整数值是“ -三。说明：熟悉一元二次方程实数根存有条件是解答此题的基础，准确确定 0方程有两个不相等的实数根。设方程的两个根为,原方程有两个异号的实数根。说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合 起来实行确定，另外因为本题中?-?V0,所以可判定方程的根为一正一负；倘 若- o,仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。例2:已知方程叮雷 二 - I 的一个根为2,求另一个根及呸的值分

4、析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把 -=-代入原方程, 先求出喇的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与 系数的关系求出另一个根及 的值。解法一：把2 :代入原方程，得:2, _ 5x 2 + 呦2卿 + 5 = 0即二 :匚；一当1 二 -时，原方程均可化为:解得：-方程Let /-、的另一个根为4,咗的值为3或一1解法二：设方程的另一个根为乞，根据题意，利用韦达定理得:- 一 - ?心 x2-m -22 +5卞1 = 2 ,.扌把 X=-丄代入如十冷二-（一 6）二6，可得：心二d把乜=4代入心亏二阳，可得:-2m+5= 8 ,即，厂 j； 匚；一解得，

5、1r -1方程J十-:的另一个根为4, 的值为3或一1。说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。例3:已知方程 八严-汕莎- 7 有两个实数根，且两个根的平方和 比两根的积大21,求少的值。分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大 21”转化为关于喇的方程，即可求得w的值。解：方程有两个实数根，.- - I ;.解这个不等式，得叫 0设方程两根为心贝y工1 +也=2（切和x?二哄+4. + _；-. 一.二-：_ 工整理得：十 一:.说明：当求出- l_- 1 后，还需注意隐含条件;,应舍去不合题 意的二四、使用判别式及根与系数的关系解题例5：已知、V

6、是关于卞的一元二次方程I八11的两个非零实数根，问二和土能否同号？若能同号，请求出相对应的 比的取值范围；若不 能同号，请说明理由，解：因为关于兀的一元二次方程 1 有两个非零实数根,.贝有-1 _1 :： -: : - F 饥兰一2又、是方程二的两个实数根，所以由一元二次 方程根与系数的关系，可得：可+勺二一卽一 1) 无-丄/4假设厂、工：同号，贝U有两种可能:(1) 二，-(2):1 1若X 0小小,则有:；-m 0即有：也解这个不等式组，得-W2 2时方程才有实树根，此种情况不成立。丑+毛=0若心沁,乜沁,则有：花0解这个不等式组，得-;翊三一Kn 又I 【，当 -时，两根能同号说明：

7、一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的 内在联系，是分析研究相关一元二次方程根的问题的重要工具， 也是计算相关一 元二次方程根的计算问题的重要工具。 知识的使用方法灵活多样，是设计考察创 新水平试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高， 应是同学们 重点练习的内容。六、使用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题例：已知没、是方程丨的两个实数根，求厂 的值分析：本题可充分使用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根 后，再带入的方法，力求简解。解法一：因为是方程-:的实数根，所以 厂I 1 -与I .相加:/|:.:; I)=(Of3 + 用)+ 2(e

8、+Q 4 矽-二_ ：一 （变形目的是构造一 I :和）根据根与系数的关系，有:于是，得：=4 -4-F5-5= 0解法二：因为心、是方程）匚|的实数根,o? -hof+2a= a(r+ 2a = ojx(-2) + 2af = 0说明：既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解 题水平提升的重要标志，是努力的方向。相关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时， 如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简 的作用。这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考查水平， 多年来一直受到命题老师的青睐。七、使用一元二次方程根的

9、意义及判别式解题例8：已知两方程叮宀二I - r J和 11 1 - 至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。分析：当设两方程的相同根为门时，根据根的意义，能够构成关于 门和喇的 元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。解：设两方程的相同根为；工，根据根的意义,有二 讥二I _： 化 一cP - 7m +1) lSws + 7 - 0两式相减，得1 八.相乘积为当一】=时1-，方程的判别式A 二(一附)一4(翊+ 5)二(一丄)了 -4(-1 + 5) = - 一、，二匚二二，.1 -+ X = -J 2 解得：勺I ,可W M =(-血)乂-1)=忑，即0 =旋7、提示：设勺

10、二 八，由韦达定理得：I :，一二：，.: . _ - , J -. - . J ；?-* *?* *48提示：设所求的一元二次方程为;一 ，那么：-f1心二g. ：、7J二，即f斗；.、.： J :设所求的一元二次方程为：广 “-、求值题:3_11 提示：由韦达定理得：， f-i 0,十 0;于是可得不等式组:解这个不等式组得： 12、提示:(1)的判别式厶二护Aac=3 2)a_0,所以无论w取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。（2）利用韦达定理，并根据已知条件可得：解这个关于八巳的方程组，可得到：-J；-，I -，因为兀.也二丄胡一31觀一弓二（2觀一 1）（33轉）戈，所以可

11、得龙，解这个方程，可得：旳=】，3、提示：可利用韦达定理得出匸巳0,0;于是得到不等式组:十儿二胡一求得不等式组的解，且兼顾；即可得到比： ，再由.1卄二一（删一2?唧一4兀一酬旳二0 J 4可得：护一丄,接下去即可根据叭=,他2旳，得到朋二斗幷，卩：乂 = 44、答案：存有提示：因为吃3，所以可设!： 匸：（-心）；由韦达定理得:1 2 0& + 工二（4k-7 1 = 2ij + 3a二一代二加兀丸9，工;于是可得方程组:_ _1_解这个方程组得：当】时，二；当，时一二；所以;,的值有两个:11195、提示：由韦达定理得:2（3-2wa2（3-籾）6、提示：利用求根公式可分别表示出方程I.-,-. I u 1 和-9S +-4x15x1- 997?3a -4x1x1?2x19m 期=2x1 2 占三99土 J9