2020-2021学年数学新教材人教B版选择性必修第三册教案：第5章 5.3 5.3.2　等比数列的前n项和 Word版含解析

1、5.3.2等比数列的前n项和学 习 目 标核 心 素 养1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用(重点)2.理解等比数列前n项和的性质(易混点)3.会用错位相减法求数列的和(难点)1.通过等比数列前n项和公式的学习，培养直观想象的素养.2.借助错位相减法求数列的和的方法，提升数学运算素养.计算机已经成为现代生活不可缺少的一部分，而且计算机也在不断更新换代，同时，计算机病毒也在不断升级某种计算机病毒用两分钟就将病毒由一台计算机传给两台，这两台又用两分钟各传给未感染的另外两台计算机，如此继续下去问题：如果病毒按照上述方式共传播了30分钟，那么受该病毒感染的计算机共有多少台？1等比数列的前n项和公式思

2、考：等比数列求和应注意什么？提示公比q是否等于1.2等比数列前n项和的性质若sn表示数列an的前n项和，且snaqna(aq0，q1)，则数列an是等比数列拓展：若数列an是公比为q的等比数列，则snmsnqnsm.在等比数列中，若项数为2n(nn)，则q.sn，s2nsn，s3ns2n成等比数列1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)求等比数列an的前n项和时可直接套用公式sn来求()(2)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为snna.()(3)若某数列的前n项和公式为snaqna(a0，q0且q1，nn)，则此数列一定是等比数列()(4)求数列n2n的前n项和可用错

3、位相减法()答案(1)(2)(3)(4)2已知正项等比数列an中，a11，a516，则数列an的前7项和为()a63 b64 c127 d128c由题意可知，a5a1q4，即q416，又q0，q2.s7127，故选c.3已知等比数列an中，q2，n5，sn62，则a1_.2q2，n5，sn62，62，即62，a12.4(教材p40练习at3改编)在等比数列an中，a12，s326，则公比q_.3或4s326，q2q120，q3或4.等比数列前n项和公式基本量的运算【例1】在等比数列an中(1)若q2，s41，求s8；(2)若a1a310，a4a6，求a4和s5.解(1)法一：设首项为a1，q2

4、，s41，1，即a1，s817.法二：s41，且q2，s8(1q4)s4(1q4)1(124)17.(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得即a10,1q20，得，q3，即q，a18.a4a1q3831，s5.1解答关于等比数列的基本运算问题，通常是利用a1，an，q，n，sn这五个基本量的关系列方程组求解，而在条件与结论间联系不很明显时，均可用a1与q列方程组求解2运用等比数列的前n项和公式要注意公比q1和q1两种情形，在解有关的方程组时，通常用两式相除约分的方法进行消元1在等比数列an中，其前n项和为sn.(1)s230，s3155，求sn；(2)已知s41，s817，求an.解(1)由题

5、意知解得或从而sn5n1或sn.(2)设an的公比为q，由s41，s817知q1，所以得，解得q2，所以或所以an或an.等比数列前n项和的性质及应用【例2】已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为sn，s2n，s3n，求证：sssn(s2ns3n)证明法一：设此等比数列的公比为q，首项为a1，当q1时，snna1，s2n2na1，s3n3na1，ssn2a4n2a5n2a，sn(s2ns3n)na1(2na13na1)5n2a，sssn(s2ns3n)当q1时，sn(1qn)，s2n(1q2n)，s3n(1q3n)，ss2(1qn)2(1q2n)22(1qn)2(22qnq2n)又s

6、n(s2ns3n)2(1qn)2(22qnq2n)，sssn(s2ns3n)法二：根据等比数列性质，有s2nsnqnsnsn(1qn)，s3nsnqnsnq2nsn，ssssn(1qn)2s(22qnq2n)，sn(s2ns3n)s(22qnq2n)sssn(s2ns3n)等比数列前n项和的性质是在等比数列的通项公式、前n项和公式及等比数列的性质的基础上推得的，因而利用有关性质可以简化计算，但通项公式、前n项和公式仍是解答等比数列问题的最基本的方法.2在等比数列an中，已知sn48，s2n60，求s3n.解法一：因为s2n2sn，所以q1，由已知得得1qn，即qn，将代入得64，所以s3n64

7、63.法二：an为等比数列，且公比不等于1，sn，s2nsn，s3ns2n也成等比数列，(s2nsn)2sn(s3ns2n)，s3ns2n6063.错位相减法求和探究问题1由项数相等的等差数列n与等比数列2n相应项的积构成新的数列n2n是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前n项和sn的表达式是什么？提示由等差数列及等比数列的定义可知数列n2n既不是等差数列，也不是等比数列该数列的前n项和sn的表达式为sn121222323n2n.2在等式 sn121222323n2n两边同乘以数列2n的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求sn的问题转化为等比数列的前n项和问题吗？提

8、示在等式sn121222323n2n，两边同乘以2n的公比可变形为2sn122223324(n1)2nn2n1，得：sn1212223242nn2n1(2122232n)n2n1.此时可把求sn的问题转化为求等比数列2n的前n项和问题我们把这种求由一个等差数列an和一个等比数列bn相应项的积构成的数列anbn前n项和的方法叫错位相减法【例3】设数列an的前n项和为snn2n，数列bn的通项公式为bnxn1(x0)(1)求数列an的通项公式；(2)设cnanbn，数列cn的前n项和为tn，求tn.思路点拨由an完成第(1)问；由题设知an为等差数列，bn为等比数列，因此可用错位相减法求tn.解(

9、1)an即an当n1时，an2n也成立，an2n，即数列an的通项公式为an2n.(2)由an2n，bnxn1且cnanbn可得cn2nxn1，tn24x6x28x32nxn1，则xtn2x4x26x38x42nxn.，得(1x)tn22x2x22xn12nxn.当x1时，(1x)tn22nxn，tn.当x1时，tn24682nn2n.tn错位相减法的适用范围及注意事项(1)适用范围：它主要适用于an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和.(2)注意事项：利用“错位相减法”时，在写出sn与qsn的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1q)sn的表达式.利用此法时要

10、注意讨论公比q是否等于1的情况.3._.令sn，则sn，由得，sn，得sn2.1在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”2前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q1和q1时是不同的公式形式，不可忽略q1的情况3一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列且公比为q，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法的方法求解1在公比为整数的等比数列an中，a1a23，a34，则an的前5项和为()a10 b. c11 d12c设公比为q(qz)，则a1a2a1a1q3，a3a1q24，求解可得q2，a11，则an的前5项和为11.2已知等比数列an的公比q2，前n项和为sn，则()a3 b4 c. d.c易知等比数列an的首项为a1，则.3等比数列an中，公比q2，s544，则a1_.4由s544，解得a14.4在数列an中，an1can(c为非零常数)，且前n项和为sn5nk，则实数k_.1法一：当n1时，a1s15k，当n2时，ansnsn1(5nk)(5n1k)5n5n145n1.由题意知an为等比数列，a15k4，k1.法二：由题意，an是等比数列，a15k，a2s2s120，a3s3s2100，由a