1-2Newton插值

1、 4 3 2 1 第二节第二节 Newton插值法插值法 插值法 Newton插值法的基本思路插值法的基本思路 Newton插值法的构造插值法的构造 均差以及均差以及Newton插值多项式插值多项式 差分以及差分以及Newton前插、后插公式前插、后插公式 ).(. )()()( : 10 102010 nn n xxxxa xxxxaxxaaxN 构造多项式构造多项式 是是待待定定系系数数其其中中., 210n aaaa ),.2 , 1 , 0()(:nkfxN kkn 使其满足使其满足 ? k a 思考题思考题 一、牛顿插值公式的基本思路一、牛顿插值公式的基本思路 二、牛顿插值多项式的构

2、造二、牛顿插值多项式的构造 ), 1 , 0()(njfxN jjn 由由插插值值条条件件 ,)()( .)( 101011 0000 fxxaaxNxx faxNxx n n 时时，当当 时时，当当 . 01 01 100 xx ff afa 不不难难推推得得 21202202102 )()()(fxxxxaxxaaxN n 时，时，当当 2 xx )()()()()( 10102010 nnn xxxxaxxxxaxxaaxN 12 2 01 01 02 02 xx a xx ff xx ff :的的一一般般表表达达式式依依次次递递推推可可得得 k a 引入记号：引入记号： , 10 01

3、 01 xxf xx xfxf xff kk 12 1020 210 , , xx xxfxxf xxxf 12 01 01 02 02 xx xx ff xx ff 1 110210 10 ,.,., ,., kk kkk k xx xxxfxxxxf xxxf 牛顿插值多项式的构造 不难看出不难看出 00 xfa , 101 xxfa , 2102 xxxfa 01 01 xx xfxf 12 1020 , xx xxfxxf :的的一一般般表表达达式式依依次次递递推推可可得得 k a ), 1 , 0(nk 1 110210 10 ,.,., ,., kk kkk kk xx xxxfx

4、xxxf xxxfa 牛顿插值多项式的构造 商商）阶阶均均差差（均均差差也也称称为为差差的的为为kxf)( 1 110210 10 ,.,., ,., kk kkk k xx xxxfxxxxf xxxf 12 1020 210 , ,: xx xxfxxf xxxf 二二阶阶均均差差 ., )( )()( ,2 0 0 0 0 的一阶（均差）的一阶（均差）关于点关于点 为函数为函数称称定义定义 k k k k xx xf xx xfxf xxf - - = 三、新概念三、新概念-均差及其性质均差及其性质 .,.,1 , 0),(nixfxf ii 的的零零阶阶差差商商。关关于于称称为为 ii

5、 xxfxf)( 特别地 均差及其性质 差商的基本性质差商的基本性质 1差商具有线性差商具有线性 )()()( 2211 xgkxgkxf 若若即即 ,.,.,., 1022101110kkk xxxgkxxxgkxxxf 则则 2差商可表示为函数值的线性组合，即差商可表示为函数值的线性组合，即 k ij j xxxxxxxx xf k kj j xjjjj j xxf 0 )()()( )( 0 1 10 , n m n ij j ji i n i in i xx xf x xf 0 0 0 1 )( )( )( )( 差商的基本性质 ,2 210 xxxfk时时，如如： 12 1020 ,

6、 xx xxfxxf 12 01 01 02 02 xx xx xfxf xx xfxf )( )( )( 1202 2 2101 1 2010 0 xxxx xf xxxx xf xxxx xf 其余可用数学归纳法证明其余可用数学归纳法证明 此性质也说明此性质也说明差商与节点的排列顺序无关差商与节点的排列顺序无关 差商的基本性质 3差商具有对称性差商具有对称性 , 012010 xxxfxxxxfxxf kkk 即即 0 1101 10 ,.,. ,., xx xxxfxxf xxxf k kk k 建建 议议 用此形式记忆用此形式记忆! 由由k阶差商的定义及性质阶差商的定义及性质2可得：可

7、得： 差商的基本性质 :, ,)( 阶阶均均差差与与导导数数关关系系如如下下则则 阶阶导导数数，且且节节点点上上存存在在在在若若 nbaxx nbaxf n 0 3 ., ! )( , )( 0 ba n f xxf n n 4 差商的基本性质 根据差商定义，可以得出满足插值条件根据差商定义，可以得出满足插值条件 ), 1 , 0()(niyxN iin 的插值多项式的插值多项式 )(xN n )(,)()( 000 xxxxfxfxf )(, 110100 xxxxxfxxfxxf )(, 221021010 xxxxxxfxxxfxxxf )(, , 0 10110 nn nn xxxxx

8、f xxxfxxxxf 四、牛顿插值公式四、牛顿插值公式 将上组等式中第二式代入第一式有：将上组等式中第二式代入第一式有： )()()(, )(,)()( 1 11010 0100 xRxNxxxxxxxf xxxxfxfxf 可验证可验证 是满足插值条件的一次多项式，而是满足插值条件的一次多项式，而 )( 1 xN )( 1 xR为一次插值的为一次插值的余项余项。 再将第三式代入再将第三式代入)()()( 1 1 xRxNxf )()( )()(,)( ,)(,)()( 2 2 21021010 2100100 xRxN xxxxxxxxxxfxxxx xxxfxxxxfxfxf 牛顿插值公

9、式 其中其中)()()(, 2210210 xRxxxxxxxxxxf 为二次插值的为二次插值的余项余项 类似地，将各式逐次代入前一公式，可得类似地，将各式逐次代入前一公式，可得 )()()()(, )()(, )(,)(,)()( 100 11010 102100100 xRxNxxxxxxxxxf xxxxxxxxxf xxxxxxxfxxxxfxfxf n nnn nn ), 1 , 0(0)(nixR i n 由由 可知可知 是满足插值条件的是满足插值条件的n次多项式，称为次多项式，称为 牛顿插值多项式牛顿插值多项式。 )(xN n 牛顿插值公式 为为牛牛顿顿插插值值余余项项)(xRn

10、 根据满足给定插值条件的插值多项式之存在唯一性根据满足给定插值条件的插值多项式之存在唯一性 可知可知)()(xLxN nn 阶阶导导数数时时，上上有有在在故故当当1),()( nbaxf)()(xRxR n n )( )!1( )( )(,.,)( 1 )1( 110 x n xxxxxfxR n n nnn f 即即 由此可得差商的另一性质由此可得差商的另一性质 ! )( ,., )( 10 n xxxf f n n 使使则则存存在在 阶阶导导数数且且上上有有在在设设 , ,)()4( 10 ba baxxxnbaxf n 牛顿插值公式 说明每增加一个结点，说明每增加一个结点，Newton插

11、值多项式只增加插值多项式只增加 一项，克服了一项，克服了 Lagrange插值的缺点。实际计算时可插值的缺点。实际计算时可 利用差商表利用差商表 )()(,)()( 10101kkkk xxxxxxxxfxNxN .)()(设设计计计计算算量量省省，且且便便于于程程序序比比xLxN nn 牛顿插值公式牛顿插值公式 与拉格朗日插值公式的比较与拉格朗日插值公式的比较 牛顿插值公式 均差计算表均差计算表 一阶均差一阶均差二阶均差二阶均差三阶均差三阶均差四阶均差四阶均差 k x )( k xf 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x )( 0 xf )( 1 xf )( 2 xf )( 3 x

12、f )( 4 xf )( 5 xf , 10 xxf , 21 xxf , 32 xxf , 43 xxf , 54 xxf , 210 xxxf , 321 xxxf , 432 xxxf , 543 xxxf , 3210 xxxxf , 4321 xxxxf , 5432 xxxxf , 43210 xxxxxf , 54321 xxxxxf 牛顿插值公式 的的近近似似值值。算算插插值值多多项项式式，并并由由此此计计 次次牛牛顿顿求求的的函函数数表表给给出出 )596. 0( 4,)( f xf .出出均均差差表表首首先先根根据据给给定定函函数数表表造造 例例2.2 解析解析 ,8 .

13、065. 055. 04 . 003134. 0 65. 055. 04 . 019733. 0 55. 0)4 . 0(28. 04 . 0116. 141075. 0 4 xxxx xxx xxxxN i x i f 一阶均差一阶均差二阶均差二阶均差三阶均差三阶均差四阶均差四阶均差五阶均差五阶均差 1.11600 1.186000.28000 1.275730.358930.19733 1.384100.433480.213000.03134 1.515330.524920.228630.03126-0.00012 一阶均差一阶均差二阶均差二阶均差三阶均差三阶均差四阶均差四阶均差五阶均差五阶均差 0.40 0.41075 0.55 0.57815 0.65 0.69675 0.800.88811 0.90 1.02652 1.05 0.25382 牛顿插值公式 ,8 . 065. 0