2020-2021学年数学人教A版选修1-2课后提升训练：2.2.2　反证法含解析

1、攀上山峰，见识险峰，你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志。祝：学子考试顺利，学业有成第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法课后篇巩固提升基础巩固1.在运用反证法推出矛盾的推理过程中,可以把下列哪些作为条件使用()结论的反设;已知条件;定义、公理、定理等;原结论.a.b.c.d.解析除原结论不能作为推理条件外,其余均可.答案c2.(1)已知p3+q3=2,求证p+q2.用反证法证明时,可假设p+q2.(2)已知a,br,|a|+|b|”,故(1)错误.“两根的绝对值都

2、小于1”的反面是“至少有一个根的绝对值大于或等于1”,故(2)正确.答案d3.如果两个实数之和为正数,那么这两个数()a.至少有一个是正数b.都是正数c.一个是正数,一个是负数d.都是负数解析假设两个数都不是正数,即都是负数或者0,其和必为负数或者0,与已知矛盾,所以两个数中至少有一个是正数,故选a.答案a4.用反证法证明命题“若a+b+c0,abc0,则a,b,c三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为()a.a,b,c三个实数中最多有一个不大于零b.a,b,c三个实数中最多有两个小于零c.a,b,c三个实数中至少有两个小于零d.a,b,c三个实数中至少有一个不大于零解析“最多有一个”的否定

3、是“至少有两个”.故选c.答案c5.将“函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间-1,1上至少存在一个实数c,使f(c)0”反设,所得命题为“”.解析“至少存在一个”反面是“不存在”.答案函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间-1,1上恒小于等于06.“x=0,且y=0”的否定形式为.解析“p且q”的否定形式为“p或q”.答案x0或y07.完成反证法证题的全过程.题目:设a1,a2,a7是由数字1,2,7任意排成的一个数列,p=(a1-1)+(a2-2)+(a7-7),求证:p为偶数.证明:假设p为奇数,则均为奇数.因为7个奇数之和为奇数,故有(a1-1)

4、+(a2-2)+(a7-7)为.而(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)=(a1+a2+a7)-(1+2+7)=.与矛盾,故假设不成立,故p为偶数.解析由假设p为奇数,可知a1-1,a2-2,a7-7均为奇数,故(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)为奇数,而(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)=(a1+a2+a7)-(1+2+7)=0,矛盾,故假设不成立,故p为偶数.答案a1-1,a2-2,a7-7奇数08.已知a,b,c是互不相等的非零实数,求证:由y1=ax2+2bx+c,y2=bx2+2cx+a和y3=cx2+2ax+b确定的三条抛物线中至少有一条与x轴有两个不同的交点.证明假

5、设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点.由y1=ax2+2bx+c,y2=bx2+2cx+a,y3=cx2+2ax+b,得1=(2b)2-4ac0,且2=(2c)2-4ab0,且3=(2a)2-4bc0.同向不等式求和得4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc0,2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac0.(a-b)2+(b-c)2+(a-c)20.a=b=c.这与题设a,b,c互不相等矛盾,因此假设不成立,从而原命题得证.9.如图,已知两个正方形abcd和dcef不在同一平面内,m,n分别为ab,df的中点.用反证法证明:直线me与bn是两条异面直线.证明假设m

6、e与bn共面,则ab平面mben,且平面mben平面dcef=en.由已知两正方形不共面,得ab平面dcef.又abcd,所以ab平面dcef,而en为平面mben与平面dcef的交线,所以aben.又abcdef,所以enef,这与enef=e矛盾,故假设不成立,所以me与bn不共面,即直线me与bn是两条异面直线.能力提升1.用反证法证明命题“如果实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有有理数根,那么a,b,c中至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是()a.假设a,b,c都是偶数b.假设a,b,c都不是偶数c.假设a,b,c至多有一个是偶数d.假设a,b,c至多有两个是偶数解析“至

7、少有一个”的否定是“一个都没有”.答案b2.在abc中,若ab=ac,p是abc内的一点,apbapc,求证:bapcap.用反证法证明时应分:假设和两类.解析反证法对结论的否定是全面否定,bapcap.答案bap=capbapcap3.设a,b是两个实数,给出下列条件:a+b1;a+b=2;a+b2;a2+b22;ab1.其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是(填序号).解析若a=12,b=23,则a+b1,但a1,b2,故推不出;若a=-2,b=-3,则ab1,故推不出;若a+b2,则a,b中至少有一个大于1.用反证法证明:假设a1,且b1,则a+b2与a+b2矛盾,因此假设不成立

8、,故a,b中至少有一个大于1.故答案为.答案4.已知m是整数,且m2+6m是偶数,求证:m不是奇数.证明假设m是奇数,不妨设m=2k-1(kz),则m2+6m=(2k-1)2+6(2k-1)=4k2+8k-5=4(k2+2k)-5,因为kz,所以k2+2kz,于是4(k2+2k)是偶数,从而4(k2+2k)-5为奇数,即m2+6m是奇数,这与已知条件中的m2+6m是偶数相矛盾,因此假设错误,即m不是奇数.5.已知直线m与直线a和b分别交于a,b,且ab.求证:过a,b,m有且只有一个平面.证明如图所示,因为ab,所以过a,b有一个平面,又ma=a,mb=b,所以aa,bb,所以a,b.又am,

9、bm,所以m.即过a,b,m有一个平面.假设过a,b,m还有一个平面异于平面,则a,b,a,b,这与ab,过a,b有且只有一个平面相矛盾.因此,过a,b,m有且只有一个平面.6.设an是公比为q的等比数列.(1)推导an的前n项和公式;(2)设q1,证明数列an+1不是等比数列.(1)解设an的前n项和为sn,当q=1时,sn=a1+a1+a1=na1;当q1时,sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1,qsn=a1q+a1q2+a1qn,-得,(1-q)sn=a1-a1qn,sn=a1(1-qn)1-q,sn=na1,q=1,a1(1-qn)1-q,q1.(2)证明假设an+1是等比数列,则对任意的kn*,(ak+1+1)2=(ak