2013考研数三真题及解析

1、2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中, 的，请将所选项前的字母填在答题纸.指定位置上（1）当x 0时，用o（x）表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（项符合题目要求23(A) x o(x ) o(x )23(B) o(x) o(x ) o(x )(C) o(x2) o(x2) o(x2)(D) o(x) o(x2) o(x2)(2)函数 f(x)凶-的可去间断点的个数为（x（x 1）1 n |x|(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3(3)设Dk是圆域D ( x, y) | x2y21位于第k象限的部分，记

2、lk (yx)dxdy k 1,2,3,4 ,Dk则（(A)Il(B)(C)I3(D)I4（4）设aj为正项数列，下列选项正确的是（）(A )若 an an 1,则(1)n 1an 收敛n 1(B)若(1)n 1an 收敛，则 anan 1n 1(C)若an收敛，则存在常数n 1P1,使 lim nPan 存在n(D)若存在常数P1，使lim nPan存在，则 nan收敛n 1(5)设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若 AB C,则B可逆，则1a12(6)矩阵aba与01a10(A)a0,b2(A) 矩阵C的行向量组与矩阵(B) 矩阵C的列向量组与矩阵(C) 矩阵C的行向量组与矩阵(D) 矩阵C的

3、行向量组与矩阵(B) a0,b为任意常数A的行向量组等价A的列向量组等价B的行向量组等价B的列向量组等价0 0b 0相似的充分必要条件为0 0(C) a 2,b0(D) a 2,b为任意常数(7)设X1, X2, X3是随机变量，且2 2X1N(0,1)，X2N(0,2 )，X3 N(5,3 ),PjP 2 Xj 2( j 1,2,3),则()(A) P|P2F3(B) P2 R B(C) P3 P 巳(D) P P3 R(8)设随机变量 X和Y相互独立，则X和Y的概率分布分别为,X0123-101F12141318P131313则 PX Y 2()(A)(B)(C)(D)112181612二

4、、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸 指定位置上（9）设曲线yf (x)和 y x2x在点（0,1）处有公共的切线，则lim nf nn n 2(10)设函数zz（x, y）由方程xz(z y)xy确定，则x(1,2)(11)x .X? X(12)微分方程1y y y 0通解为y4(13 )设 A（aj）是三阶非零矩阵，| A |为A的行列式，Aj为aj的代数余子式，若ajAj 0(i, j1,2,3),则 A（14） 设随机变量X服从标准正态分布 XN（0,1），则E（Xe2X） =。三、解答题：15 23小题，共94分.请将解答写在答题纸 指定位置上解答应写出文字

5、说明、证明过程或 演算步骤（15）（本题满分10分）当x 0时，1 cosx cos2x cos3x与axn为等价无穷小，求 n与a的值。（16）（本题满分10分）1设D是由曲线y x3，直线x a（a 0）及x轴所围成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若 Vy 10Vx，求a的值。（17）（本题满分10分）设平面内区域 D由直线x 3y, y 3x及x y 8围成计算 x2dxdy。D（18）（本题满分10分）设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P 60 ,（ p是单价，单位:1000元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求

6、：（1）该商品的边际利润。(2) 当P=50时的边际利润，并解释其经济意义。(3) 使得利润最大的定价P。(19)(本题满分10分)设函数f(x)在0,上可导，f(0) 0且 lim f(x)x2，证明(1)存在a 0，使得f(a)(2)对(1)中的a，存在1(0, a),使得 f()-a(20)(本题满分11 分)1 a1 0 ,B(21)(本题满分当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC CAB，并求所有矩阵C 。11 分)设二次型 f x1, x2, x383X3a2 ,a3bib2 。b3(I)证明二次型f对应的矩阵为2 T(II )若,正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形

7、为二次型2y122y2。(22)(本题满分11分)设X,丫是二维随机变量，X的边缘概率密度为fx3x2, 0 x 1,0, 其他.，在给定X条件下,丫的条件概率密度 fY|X3y23x0,x,其他.(1)求x,丫的概率密度x,y ；(2)丫的边缘概率密度fY(23)(本题满分11分)设总体X的概率密度为f2ex0,其中 为未知参数且大于零，X1,X2,L其它.Xn为来自总体X的简单随机样本.(1) 求的矩估计量；(2) 求的最大似然估计量0,2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案、选择题:18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中,项符合题目要求01011的，请将所

8、选项前的字母填在答题纸指定位置上(1)当 X0时，用o(x)表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是(23(A) X o(x ) o(x )23(B) o(x) o(x ) o(x )(C) o(x2) o(x2) o(x2)(D) o(x) o(x2) o(x2)【答案】D【解析】o(x) o(x2) o(x)，故D错误。(2)函数 f(x)|x|x 1x(x 1)1 n |x|的可去间断点的个数为(A)0(B) 1(C) 2(D) 3【答案】C【解析】由题意可知f (x)的间断点为0, 1。又lim f (x)x 0limx 0xX 1x(x 1)ln xlimx 0xln xe 1x(

9、x 1)ln xlim xlnxx 0 x(x 1)ln xlim f (x)x 0limx 0(x)x 1x(x 1)ln( x)limx 0xln( x) ex(x 1)ln( x)lim xln( x) 1x 0 x(x 1)ln( x)lim f (x)x 1xm1xX 1x(x 1)ln xxln xe 1x(x 1)ln xxln xx(x 1)ln x!im1f(x)!im1(x)x 1x(x 1)ln( x)!im1xln( x) ex(x 1)ln( x)xln( x)x(x 1)ln( x)故f (x)的可去间断点有2个。(3)设Dk是圆域D(x, y)|xy21位于第k象

10、限的部分，记Ik(y x)dxdyDkk 123,4 ,则(A)I1(B)(C)I3(D)I4【答案】B【解析】令xr cos,yr sin，则有Ik (yDkx)dxdy1rdr0(r sinrcos )d 2(cos3sin故当k 2时,，此时有丨20.故正确答案选(4)设an为正项数列,F列选项正确的是(A)右anan1,则(1)n 1an 收敛n 1(B)(1)n 1an 收敛，则 anan 1(C)an收敛，则存在常数1,使 limnan存在(D)若存在常数P 1，使limnpn an存在，则an收敛1【答案】D【解析】根据正项级数的比较判别法，当P 1时,收敛，且 lim nnPa

11、n存在，则nan与1丄同P1 n敛散，故an收敛n 1(5)设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若 AB C，且C可逆，则()(A )矩阵C的行向量组与矩阵 A的行向量组等价(B)矩阵C的列向量组与矩阵 A的列向量组等价(C) 矩阵C的行向量组与矩阵 B的行向量组等价(D) 矩阵C的行向量组与矩阵 B的列向量组等价 【答案】(B)【解析】由C AB可知C的列向量组可以由 A的列向量组线性表示，又 B可逆，故有CB，从而A的列向量组也可以由C的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为B )。(6)矩阵(A) a 0,b2(B) a0,b为任意常数(C) a2,b0(D) a2, b为任意

12、常数【答案】(B)1 a 1【解析】由于 aba1为实对称矩阵,11aa 1故一定可以相似对角化，从而相似的充分必要条件为的特征值为2,b,0。(b)(2) 2a2，从而a 0,b为任意常数00相似的充分必要条件为(7)设 X1,X2,2 2Xa是随机变量，且 X1N(0,1)，X2N(0,2 )，X3 N(5,3 ),Xj2( j 1,2,3),则()(A) R P2F3(B) P2 R P3(C) P3 R 巳(D) R P3F2【答案】(A )【解析】由 Xi : N 0,1 ,X2 :N 0,22 ,X35,32 知,P1 PX12P XiP2 PX22P X2故 P1P2 .由根据X

13、3 :N 5,32Pip2p3，故选(A)的概率分布分别为,X0i23-101p1111P1112433333及概率密度的对称性知,(8)设随机变量 X和Y相互独立，则 X和Y则 PX Y2()(A)(B)(C)(D)112181612【答案】(C)【解析】1,Y2,Y0 P X3,Y，又根据题意X,Y独立,1-，选(C).6二、填空题:14小题，每小题4分，24分,请将答案写在答题纸指定位置上(9)设曲线f (x)和 y x2x在点(0,1)处有公共的切线，则lim nfn【答案】【解析】x 在(1,0)处的导数是 y(1) 1，故 f (1) 1, f(1)lim nf(nd)f(1 三)

14、f(1)lim n 2n22nn 2f(1) ( 2)(10)设函数zz(x, y)由方程(z y)xxy 确定，则I (1,2)xn 2【答案】221 n2【解析】原式为exln(z y) xy,左右两边求导得:xyl n(z y) x 丄y,令 x 1,y 2z y得 z0,Zx 2(1 In 2)(11)求iIn x(1 x)2dx【答案】In 2【解析】ln x1ln xd()1 xln x +1 x1ln xx+ln1 x1 x(12 dx x)x(1dx x)ln xln xxln xx2dxlim+ ln+ lnln 21(1 x)x1 x1 x1 x1x x 1、 1(12 )

15、微分方程y y y 0通解为y 41x【答案】e2 C1x C2211-x【解析】特征方程为一0,(二重根)，所以通解为y e2 C1x C242(13)设A(aj)是三阶非零矩阵，| A |为A的行列式，Aij为的代数余子式，若aj Aj 0(i,j1,2,3),则 A【答案】 1 【解析】Aai1Ai1ai2A2ai3Ai332320aijj 1aiji 1由aj Aj 0可知，A A*a2j A2 ja3j A3jt*2从而有A A A A ,故A =-1.(14)设随机变量X服从标准正态分布 XN(0,1)，则E(Xe2X) =【答案】2e2【解析】由X : N 0,1及随机变量函数的

16、期望公式知E Xe2X三、解答题:x2122x 1 x12 x 2 2 42xe -= e 2 dxxe2 dx 2e .94分.请将解答写在答题纸 指定位置上解答应写出文字说明、证明过程或15 23小题，共演算步骤（15）（本题满分10分）当 x 0 时，1 cosx cos2xcos3x与axn为等价无穷小，求 n与a的值。【解析】因为当x 0时，1cosx cos2x cos3x与axn为等价无穷小所以讪1 cosx cos cos3x 1x 0n ax又因为:1 cosx cos2x cos3xcosx cosx cosx cos2x cosx cos2x cosx cos2x cos

17、3xcosx cosx(1 cos2x) cosx cos2x(1 cos3x)1 cosx cos2x cos3x limx 0n axlimx1 cosx cosx(1 cos2x) cosx cos2x(1 cos3x)nax1 cosx 叫 x 0 ax1 22x o(x )2 lim(x 0nax所以n(16)且丄2a（本题满分设D是由曲线ycosx(1 cos2x)nax1 2 2?(2x)2 o(x2)cosx cos2x(1 cos3x)naxnax1 (3x)2 o(x2)2 n )ax42a10 分)1x3，直线x a(a周所得旋转体的体积，若Vy【解析】由题意可得:1a2

18、0(x3) dx0）及x轴所围成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴，y轴旋转10Vx，求a的值。Vy 21ax x3dx07a3 7因为:Vy10VX10 - a5（17）（本题满分10分）a 77设平面内区域D由直线x 3y, y3x及x y 8围成.计算 x2dxdy。D2【解析】x dxdyDx2dxdyD1x2dxdyD222 3x0 x dx x dy32X2dXdy4163(18)(本题满分10 分)设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P 60，(P是单价，单位:1000元，Q是销量，单位：件)(1)(2)(3)已知产销平衡，求:该商品的边际利润。

19、当P=50时的边际利润， 使得利润最大的定价 P。并解释其经济意义。【解析】(I)设利润为I，则丨PQ (20Q6000)40Q工 60001000边际利润l 40 500边际利润为20，50时，销量每增加一个，利润增加Q60401000P 50 时,(II )当经济意义为：当P(III)令 I 0,得 Q20000，此时 P(19)(本题满分10分)设函数f(x)在0,上可导,f(0)0且 lim f (x)x20证明(1)存在a使得f(a)(2)对(1)中的a，存在(0, a),使得 f(【答案】(I)证明：lim f (x)x2, X,当 xX时,有 f (x)f (x)在0, X上连续

20、，根据连续函数介值定理，存在a 0,X，使得f(a)(II)f(x)在0, a上连续且可导，根据拉格朗日中值定理,f (a)f(0)f( )a1,(0, a)，(0,a),使得 f(20)(本题满分11分)1设 A 1 a ,B1 0，当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC CA B，并求所有矩阵C 。【解析】由题意可知矩阵 C为2阶矩阵，故可设 CX3X2X4，则由ACCAB可得线性方程组:X? ax30axj x2 ax4 X! X3 x41x2 ax3 b01a001011a10a1011010111000001a0b0000从而有Ck1k2k11k1k2(21)(本题满分11分)1x1k

21、|k2 10，故有X2k1,其中K、k2任意0X3k10X4k2设二次型 f x1, x2, x322 81X182X283X32biX16x2b3X3，记a182bib2 。01a001011110111a10a1a10a101a01 a1011101a0001a0001a0b01a0b01a0b1011101a01 a00001 a0000b 1a由于方程组(1)有解,故有1 a0,b1a0，即 卩 a1,b0,从而有a3b3(I)证明二次型f对应的矩阵为(II )若正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型 2y；。【答案】(4&a2 2b|b2 )X1X22. 2、 2 2. 2、 2 2. 2、 2f (2a1bi )X1(2a2b)X2(2a