二次根式知识点总结与练习题大全

1、二次根式1. 二次根式：式子 a （ a 0）叫做二次根式。2. 最简二次根式：必须同时满足下列条件：1 被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；2 被开方数中不含分母；3 分母中不含根式。3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质：a（ a0）（1）（ a ）2= a （ a 0）； （2） a 2 = a =0 （ a=0）；5.二次根式的运算：-a （ a 0）（1） 因式的外移和移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的 算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的

2、 形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面（2） 二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式（3） 二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商） 仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式ab = a b （a0，b0）；b b=a a（b0，a0）（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及 多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算【典型例题】（2）、平方法当a 0, b 0时，如果a 2 b 2 ，则 a b ；如果 a 2 b 2，则a 0 a b；a -b 0 a

3、 0，b0 时，则：ab1 a b； ab1 a ”，“”，“”号）9 数 a 在数轴上的位置如图所示，化简：-a-1-2 a 2 =_10252-242=_11计算： (1- 2) 2 + ( 2 - 3) 2 + ( 3 - 4) 2+( 2004 - 2005)2=_12如果( a -5)2+b-2=0，求以 a、b 为边长的等腰三角形的周长1、判断题：下列运算是否正确.（ ）（1）(3.14 -p)2=3.14 -p（ ）（2）2 7 3 7 =6 7（ ）（3）-4 -9 =( -4) (-9) = 36 =6（ ）（4） 916 16 4 12 = 9 =3 =25 25 5 5（

4、 ）（5）16.5 =4 0.5（ ）（6）42+32=42+ 32=4 +3 =7（ ）（7）82= 2（ ）（8）3 1= 32 21、运用乘法分配律进行简单的根式运算.例 1 计算 （1）3(2 3 +27 )（2）( 54 - 6) 24(1)2( 2 + 8)(2)( 20 a +3 5 a ) 5a(3)( ab +2b a 1- - ) ab a b ab532、比较两个实数的大小.例2比较下列两个数的大小（1）6与7（2）3 2与2 31、2.8与2342、7 6与6 73、-5 6与-6 54、- 32 3与 - 33 53、二次根式的乘除混合运算.（1）30 3 2 1 2

5、 6 a 2 2 2 （2） ab 2 3 2 b b 2b 3( - a 3 b ) a 2（1）- 7 314 3 1 b 2 （2） ab ( -315 2 2 2a) ( -3 2 a )4、运用分母有理化进行计算.例3化简11 + 2+11 + 3+13 + 4+l+199 + 100分析：当分母里二次根式的被开方数都相差 1 时，如果分母有理化后则变为 1 或-1， 就可将原式变为不含分母的二次根式.思考题：计算3 -1 2 + 4 -2 3二次根式的加减1若a +b4b与3a +b是同类二次根式，则 a=_，b=_2在12，34，48，6中能与3进行加减合并的根式有_3计算： 8

6、 + 18 =_4已知长方形的长和宽分别为3，27，则它的周长是_5 在实数围分解因式：a2-4=_6 5 + 3 与 6 + 2 大小关系是_7 下列根式中与其他三个不同类的是（ ）a2b98c48d508下列各组二次根式中，可以进行加减合并的一组是（ ）a 12 与 72b 63 与 78c 8 x 3 与 22 xd18 与69下列根式合并过程正确的是（ ）a2 3 - 3 -=2 ba c +b c =a+b cc5 a +12a=a+12ad133a-143a=1123a10计算： 32 + 50 +1345 - 18 的值是（ ）a 2 +5 5b 2 +8 5c6 2 + 5d1

7、2 2 + 511若 5 3 +y=63，则 y 值为（ ）a3b1 c23d312一个等腰三角形的两边分别为 23，32，则这个三角形的周长为（ ）a32+43b62+23c6 2 +4 3 13计算：d3 2 +4 3 或 6 2 +2 3（1）212+348（2）52+8-718（3）8 1+ + 0.125 - 6 + 32 3 2（4）1432 a+6aa 2-3a218 a14如果abc 的三边 a=7 50 ，b=4 72 ，c=2 98 ，求周长 p巩固练习1. 下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ）a.24b.12c.32d.182. 下面说确的是（ ）a. 被开方数相同的

8、二次根式一定是同类二次根式 b.8与80是同类二次根式c.2与150不是同类二次根式 d. 同类二次根式是根指数为 2 的根式3. 与 a 3b 不是同类二次根式的是（ ）a.ab2b.bac.1abd.ba34. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ）a.0.2bb.12 a -12bc.x2-y2d.5ab25. 若1 p x p 2，则4 -4 x +x 2 +x 2 +2 x +1化简的结果是（ ）a.2 x -1b.-2x +1c. 3 d. -36. 若 3 的整数部分为 x ，小数部分为 y ，则3 x -y的值是（ ）a.3 3 -3b.3c. 1 d. 37. 下列式子中正确的

9、是（ ）a.5 + 2 = 7b.a2-b2=a -bc.a x -b x =(a-b)xd.6 + 82= 3 + 4 = 3 +2( )2000( ) 1 7 +4 3 7 -4 3 - 3 5 -11 + 21 + 3 1 - 2 1 - 38. 在8, 12, 18, 20 中，与 2 是同类二次根式的是 。9.若最简二次根式a +12 a +5与3b +4 a是同类二次根式，则a =_, b =_。10. 一个三角形的三边长分别为8cm , 12 cm , 18 cm，则它的周长是 cm。11. 若最简二次根式3 2 4a 2 +1 与 6a2 32-1是同类二次根式，则 a =_

10、。12. 已知x =3 + 2, y = 3 - 2 ，则 x 3 y +xy3=_。13. 已知x =33，则x2-x +1 =_。14.3 -2 g 3 +2)2001=_。15. 计算：.1 1 22 12 +3 1 - 5 - 483 3 3.48 - 54 2 + 3 - 3 1 + 3 .( )( )( )2.( )2( )2( )2( )22 2 16. 计算及化简：.1 1 a + - a -a a .a -b a +b -2 ab -a - b a - b17. 已知：x, y为实数，且y =x -1 + 1 -x +3，化简：y -3 - y 2 -8 y +16。二次根式

11、的混合运算一、填空1、计算：(-2.5)2=_; ( -126)2=_ .2、化简：614= ，2 5 33= 。3、二次根式2 x -1x -2有意义时的 x 的围是。4、若( x -2) 2 =( x -2) 2，则 x 的围是 。5、一个等腰直角三角形的腰长为 4，则这个等腰三角形的面积为 。6、代数式3 -4 -x2的最大值是_ 。( )7、计算：- 24 a ( - 3a ) =_ ， 2 6 = 。8、把-4 3的根号外的因式移到根号得 。9若3 -x+x -3有意义，则x-2=_10若20 m是一个正整数，则正整数 m 的最小值是_111分母有理化:(1) =_;(2)3 211

12、210=_;(3) =_.2 512已知 x=3，y=4，z=5，那么yz xy的最后结果是_13化简x4 +x 2 y 2=_（x0）14a-a +1a 2化简二次根式号后的结果是_15在实数围分解因式2x227_，4x41_42设 a，b，c 为abc 的三边长，则 ( a -b -c ) 2 |abc|_43若 0a1，化简 ( a +1a1) 2 -4 _，a _a 346当 ab0（b）a 0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）axy（y0） b xy （y0） cxyy（y0） d以上都不对33把（a-1）-1a -1中根号外的（a-1）移入根号得（ ）aa -1b1 -a

13、c-a -1d-1 -a34在下列各式中，化简正确的是（ ）a53=3151 1b =2 22ca 4 b=a2bdx 3 -x 2=xx -135化简-3 227的结果是（ ）a-23b-23c-63d-236已知 a13 +2, b = 3 -2 ，则 a 与 b 的关系是（ ）aabbabca1 1dab b37计算（ 5 - 3 ）（ 5 3 ）（ 2 6 ）2的结果是（ ）a7 b72 3c74 3d64 338当 x5 时， ( x -5)2的值是（ ）1 - 3 - 1 + 3ax5 b5xc5xd5x39若 x 2 +6 x +9 x3，则 x 的取值应为（ ）ax3 bx3

14、cx3 dx340当 a0 时，化简| a | + a 2 a2的结果是（ ）a1 b1 c0 d2a41已知：x 2 + 3 ，y 2 - 3 ，则代数式 xy 的值为（ ）a4 b2 3计算题c 6d 210、132+0 . 32-1911、( )2 ( )212、( 6 -12) ( 24 + 223)13、( 3 +1)214、52 +12 215、8 + 32 + 18 - 243322 216、3 2 （2 12 4183 48 ） 17、（ a b + ab - ab ) ab18、（7 3 2 7 ） 19、（ 5 3 2 ）（ 5 3 2 ）20、（x2 xy y）（ x y

15、 ） 21、（x y ）（ x y ）化简：（ ab -aba + ab) ab -ba -b解答题1、当 x 是多少时，2 x +3+1x +1在实数围有意义？2、已知 y=2 -x+x -2x+5，求 的值y3、已知 a、b 为实数，且a -5+210 -2 a=b+4，求 a、b 的值4. 若-3x2 时，试化简x-2+( x +3)2+x2-10 x +25。5已知9 -x 9 -x =x -6 x -6x 2 -5 x +4，且 x 为偶数，求（1+x） 的值x 2 -16若 x、y 为实数，且 y=x2-4 + 4 -x x +22+1，求x +y g x -y的值2227已知：x

16、25 - 3，求 x2x1 的值8已知：x13 + 2，y 3 2 ，求 3 x -5 xy +3 y 的值9已知 a2b24a2b50，求a +b3b - a的值10当|x2|1 时，化简 ( x -3) |1x|11、在实数围分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-312、当 x 是多少时，2 x +3+1x +1在实数围有意义？13、已知 y=2 -x+x -2+5，求xy的值14、已知 a、b 为实数，且a -5+210 -2 a=b+4，求 a、b 的值15. 若-3x2 时，试化简x-2+( x +3)2+x 2 -10 x +25。16已知9 -x 9 -x

17、 =x -6 x -6x 2 -5 x +4，且 x 为偶数，求（1+x） 的值x 2 -1217若 x、y 为实数，且 y=x2-4 + 4 -x x +22+1，求x +y g x -y的值已知：x25 - 3，求 x2x1 的值20已知：x13 + 2，y 3 2 ，求 3x2-5 xy +3 y2的值21已知 a2b24a2b50，求a +b3b - a的值22当|x2|1 时，化简 ( x -3) |1x|【综合训练】21化简：（1） 72 =_ _；（2） 25-242=_ _ （3） 6 12 18 =_ _；（4）75 x3y2( x 0, y 0) =_ _； （5）20-4

18、 =_。2.)化简(-4)2=_。3.计算4的结果是.2 2 -2 44. 化简：（1）9的结果是 ；（2）12 - 3的结果是 ；（3）5 2 - 8= ； （4）5x-2x=_ _；（5） 3 （5 3 ）=_； （6） ； （7）_； （8） 5计算8 -2的结果是6a、6 b、36的倒数是 。 7. 下列计算正确的是a b c8.下列运算正确的是dc、2 d、2a、1.6 =0.4b、(-1.5)2=-1.5c、- 9 =3d、4 2=9 39已知等边三角形 abc 的边长为3 +3，则abc 的周长是_；10. 比较大小：10。11使 x -2 有意义的 x的取值围是 12.若式子x

19、 +5在实数围有意义,则 x 的取值围是a.x-5 b.x-5 c.x-5 d.x-5 13. 函数中，自变量的取值围是 14.下列二次根式中， x 的取值围是 x 2 的是a、 2x b、 x+2 c、 x2 d、 15.下列根式中属最简二次根式的是1x2a.a2 +1b.12c.8d.2716下列根式中不是最简二次根式的是a10b8c6d217下列各式中与是同类二次根式的是a2 b c d 18下列各组二次根式中是同类二次根式的是a 12 与12b18与 27c3 与13d45与 5419.)已知二次根式与是同类二次根式，则的值可以是a、5 b、6 c、7 d、820若x =a - b ,

20、 y = a + b，则 xy 的值为a2 ab2 bca +bda -b21.若a -2 + b -3 =0 ，则 a2-b =22如图，在数轴上表示实数 15 的点可能是a点pb点qc点md点n23.计算：（1） （2）（3） （4）24.先将x -2 x 化简，然后自选一个合适的 x 值，代入化简后的式子求值。 x -2 x3 -2 x 225.若，则的取值围是a b c d26.如图，数轴上两点表示的数分别为 1 和，点关于点的对称点为点，则点所表示的数是ab c d1. 使式子x -4巩固训练21.1 二次根式有意义的条件是 。2. 当_时，x +2 + 1 -2 x有意义。2222

21、23. 若-m +1m +1有意义，则 m 的取值围是 。4. 当 x _ 时，(1-x)是二次根式。5. 在实数围分解因式：x 4 -9 =_, x 2 -2 2 x +2 =_。6. 若4 x2=2 x，则x的取值围是 。7. 已知(x-2)=2 -x ，则 x 的取值围是 。8. 化简：x 2 -2 x +1 (xp 1)的结果是 。9. 当1 x p 5时，(x -1)+x -5 =_。10. 把a -1a的根号外的因式移到根号等于 。11. 使等式(x+1)(x-1)=x -1g x +1成立的条件是 。12. 若a -b +1与a +2b +4互为相反数，则(a-b)2005=_。

22、13. 在式子x2(x f 0), 2, y +1(y =-2), -2x(x p 0),33, x2+1, x +y中，二次根式有（ ）a. 2 个 b. 3 个 c. 4 个 d. 5 个 14. 下列各式一定是二次根式的是（ ）a.-7b.3 2 mc.a2+1d.ab15. 若2 p a p 3，则(2-a)- (a-3)等于（ ）a.5 -2 ab.1 -2 ac.2 a -5d.2 a -116. 若a =(a2+4)4，则a =（ ）322a.a2 +4 b. a 2+2c.(a2+2)2d.(a2+4)217. 若 a 1 ，则(1-a)化简后为（ ）a.(a-1)a -1b.

23、(1-a)1 -ac.(a-1)1 -ad.(1-a)a-1x18. 能使等式 =x -2xx -2成立的x的取值围是（ ）a.x 2b.x 0c.x f 2d.x 219. 计算：(2a-1)+(1-2a)2的值是（ ）a. 0 b.4 a -2c.2 -4 ad.2 -4 a或4 a -220. 下面的推导中开始出错的步骤是（ ）q 2 3 = 223 = 12 (1)-2 3 =(-2)3=12 l (2) 2 3 =-2 3 l l l l l l(3) 2 =-2l l l l l l l l (4)a.(1)b.(2)c.(3)d.(4)21. 若x -y +y2-4 y +4 =

24、0，求xy的值。22. 当a取什么值时，代数式2 a +1 +1取值最小，并求出这个最小值。23. 去掉下列各根式的分母：(1).32 y2 x(xf 0 )(2).x5x -1 (x+1)(xf 1)24. 已知x 2 -3 x +1 =0 ，求 x2+1x 2-2的值。25. 已知 a, b 为实数，且1 +a -(b-1)1 -b =0 ，求 a2005-b2006的值。21.2 二次根式的乘除1. 当 a 0 ， b p 0 时， ab3=_。2. 若2m +n -2和33 m -2n +2都是最简二次根式，则m =_, n =_。3. 计算：2 3 =_; 36 9 =_。)( )24. 计算：(48 -3 27 3 =_。5. 长方形的宽为 3 ，面积为 2 6 ，则长方形的长约为 （精确到 0.01）。6. 下 列各式不是最简二次根式的是（ ）a.a 2 +1b.2 x +1c.2b4d.0.1y7. 已知xy f 0，化简二次根式x-yx 2的正确结果为（ ）a.yb.-yc.- yd.- -y8. 对于所有实数a, b，下列等式总能成立的是（ ）a.a + b =a +bb.a2 +b 2 =a +bc.(a2+b 2 )2=a2+b 2d.(a+b)2=a+b9. -2 3 和 -3 2