初三数学二次函数的专项培优练习题附详细答案

1、初三数学二次函数的专项培优练习题附详细答案一、二次函数1如图，在直角坐标系 xoy 中，二次函数 y=x2+（2k1）x+k+1 的图象与 x 轴相交于 o、 a 两点（1） 求这个二次函数的解析式；（2） 在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点 b，使 aob 的面积等于 6，求点 b 的坐 标；（3） 对于（2）中的点 b，在此抛物线上是否存在点 p，使 pob=90？若存在，求出点 p 的坐标，并求 pob 的面积；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=x23x。（2） 点 b 的坐标为：（4，4）。（3） 存在；理由见解析；【解析】【分析】（1） 将原点坐标代入抛物线中即可求出 k 的

2、值，从而求得抛物线的解析式。（2） 根据（1）得出的抛物线的解析式可得出 a 点的坐标，也就求出了 oa 的长，根据 oab 的面积可求出 b 点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的 b 点纵坐标代入抛物线的解 析式中即可求出 b 点的坐标，然后根据 b 点在抛物线对称轴的右边来判断得出的 b 点是否 符合要求即可。（3） 根据 b 点坐标可求出直线 ob 的解析式，由于 obop，由此可求出 p 点的坐标特 点，代入二次函数解析式可得出 p 点的坐标 pob 的面积时，求出 ob，op 的长度即 可求 bop 的面积。【详解】解：（1） 函数的图象与 x 轴相交于 o， 0=k+1， k=1。

3、这个二次函数的解析式为 y=x23x。（2）如图，过点 b 做 bdx 轴于点 d，)令 x23x=0，解得：x=0 或 3。 ao=3。 aob 的面积等于 6，12aobd=6。 bd=4。 点 b 在函数 y=x23x 的图象上， 4=x23x，解得：x=4 或 x=1（舍去）。 又 顶点坐标为：（ 1.5，2.25），且 2.254， x 轴下方不存在 b 点。 点 b 的坐标为：（4，4）。（3）存在。 点 b 的坐标为：（4，4）， bod=45，bo =4 2 +4 2 =4 2。若 pob=90，则 pod=45。 设 p 点坐标为（x，x23x）。 x = x 2 -3x。若

4、 x =x2-3x ，解得 x=4 或 x=0（舍去）。此时不存在点 p（与点 b 重合）。若x =-(x2-3x，解得 x=2 或 x=0（舍去）。当 x=2 时，x23x=2。 点 p 的坐标为（2，2）。op =22+22=2 2。 pob=90， pob 的面积为：1 1pobo= 2 24 2 2 2 =8。2如图，抛物线 y =-1 2x 2 + x +2 与 x 轴相交于 2 2a，b两点，（点 a 在 b 点左侧）与y 轴交于点 c.m, nm、n aoc( )1 2（）求a，b两点坐标.（）连结ac，若点 p 在第一象限的抛物线上，p 的横坐标为 t，四边形abpc的面积为

5、s.试用含 t 的式子表示 s，并求 t 为何值时，s 最大.（）在（）的基础上，若点 g , h 分别为抛物线及其对称轴上的点，点 g 的横坐标为m，点 h 的纵坐标为 n，且使得以 件的 的值.a, g , h , p四点构成的四边形为平行四边形，求满足条【答案】（） a( - 2,0), b (2 2,0)；（） s =-22(t - 2) 2 +4 2(0 t 2 2) ,当 t =2 时，s =4 2最大；（）满足条件的点 的值为： m =-2 3, n = ，或 2 4m =5 2 15 3 2 1 , n =- ，或 m =- , n =2 4 2 4【解析】【分析】（）令 y=

6、0，建立方程求解即可得出结论；（）设出点 p 的坐标，利用 s=s +s梯形ocpqpqb，即可得出结论；（）分三种情况，利用平行四边形的性质对角线互相平分和中点坐标公式建立方程组即 可得出结论【详解】解：（）抛物线 y =-1 2x 2 + x +2 ， 2 2令 y =0 ，则 -1 2x 2 + x +2 =0 ， 2 2解得： x =- 2 或 x =2 2 ， ( )( ) a - 2,0 , b 2 2,0（）由抛物线 y =-x 2 + x +2 ，令 x =0 ， y =2 ， c 0,2 2 2，如图 1，点 p 作 pq x 轴于 q， p 的横坐标为 t， 设p (t,p

7、 )，s =s+s+s1 1 ( ) 1 ( )v aocv pqb梯形ocpq22 2t - 2 2 2 2a - 2,02 - 2 = m +, 2 +0 =- m + m +2 +n22 2 2 2 2 2m - 2 = 2 + , - m+ m +2 +0 = n +2 1 2p =- t 2 + t +2, pq = p，bq =2 2 -t , oq =t2 2= 2 2 + 2 +p t + 2 2 -t p 2 2 21 1= 2 +t + pt + 2 p - pt = 2 p +t + 22 2= 2 1 2 - t + t +2 +t + 2=-22( )2+4 2(0

8、t 2 2) ， 当t =2 时，s =4 2最大；（）由（）知， t = ( ) p 2,2 ，2 ， 抛物线y =-1 2 2 x 2 + x +2 的对称轴为 x =2 2 2， 1 2 2 设 g m, - m 2 + m +2 ,h , n 以 a, g , h , p 四点构成的四边形为平行四边形， ( )， 当 ap 和 hg 为对角线时，12()1 2 1 ( ) 1 1 2 ， m =-2 3, n = ，2 4当ag和 ph 是对角线时，1 ( )1 2 11 2 2 1 ( ) 2 2 2 2 2 2 2， 1( )5 2 15 m = , n =- ，2 4 ah 和

9、pg 为对角线时，1 2 1 ( )1 1 2 -2 + = m + 2 , - m 2 + m +2 +2 2 2 2 2 2 2= n +0 ， 2m =-3 2 1, n = ，2 4即：满足条件的点 m、 n 的值为：m =-2 3 5 2 15, n = ，或 m = , n =- ，或 m =- 2 4 2 43 2 1, n =2 4【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，梯形的面积 公式，平行四边形的性质，中点坐标公式，用方程的思想解决问题是解本题的关键3如图，抛物线 yax2bx（a0）过 a（4，0），b（1，3）两点，点 c、b 关于抛

10、物线 的对称轴对称，过点 b 作直线 bhx 轴，交 x 轴于点 h（1） 求抛物线的表达式；（2） 直接写出点 c 的坐标，并求 abc 的面积；（3） 点 p 是抛物线上一动点，且位于第四象限，是否存在这样的点 p，使 abp 的面积 abc 面积的 2 倍？若存在，求出点 p 的坐标，若不存在，请说明理由；（4） 若点 m 在直线 bh 上运动，点 n 在 x 轴正半轴上运动，当以点 c，m，n 为顶点的三 角形为等腰直角三角形时，请直接写出此 cmn 的面积【答案】（1）yx24x；（2）c（3，3），面积为 3；（3）p 的坐标为（5，5）；（4）52或 5【解析】试题分析：（1）利

11、用待定系数法进行求解即可；（2）先求出抛物线的对称轴，利用对称性即可写出点 c 的坐标，利用三角形面积公式即可 求面积；abp abc abcabpbpq abh12（3） 利用三角形的面积以及点 p 所处象限的特点即可求；（4） 分情况进行讨论，确定点 m、n，然后三角形的面积公式即可求.16a +4b =0试题解析：（1）将 a（4，0），b（1，3）代入到 yax2bx 中，得 a +b =3a =-1得 ，b =4 抛物线的表达式为 yx24x（2） 抛物线的表达式为 yx24x， 抛物线的对称轴为直线 x2，解又 c，b 关于对称轴对称， c（3，3） bc2，abc12233（3）

12、存在点 p作 pqbh 于点 q，设 p（m，m24m）2s ， 3， 6abp s梯形ahqp 61 1 1（m1）（3m24m） 33 （3m1）（m24m） 2 2 2整理得 m25m0，解得 m 0（舍），m 5， 点 p 的坐标为（5，5）5（4）或 52提示：当以 m 为直角顶点，则cmn52；当以 n 为直角顶点，cmn5；当以 c 为直角顶点时，此种情况不存在【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求解析式，三角形面积、直角三 角形的判定等，能正确地根据题意确定图形，分情况进行讨论是解题的关键.4温州茶山杨梅名扬中国，某公司经营茶山杨梅业务，以 3 万元/吨的价格买入

13、杨梅，包 装后直接销售，包装成本为 1 万元/吨，它的平均销售价格 y（单位：万元/吨）与销售数量 x（2x10，单位：吨）之间的函数关系如图所示（1）若杨梅的销售量为 6 吨时，它的平均销售价格是每吨多少万元？最大值（2） 当销售数量为多少时，该经营这批杨梅所获得的毛利润（w）最大？最大毛利润为多 少万元？（毛利润销售总收入进价总成本包装总费用）（3） 经过市场调查发现，杨梅深加工后不包装直接销售，平均销售价格为 12 万元/吨深加工费用 y（单位：万元）与加工数量 x（单位：吨）之间的函数关系是 y12x+3（2x10）当该公司买入杨梅多少吨时，采用深加工方式与直接包装销售获得毛利润一样？

14、该公司买入杨梅吨数在 些？范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大【答案】（1）杨梅的销售量为 6 吨时，它的平均销售价格是每吨 10 万元；（2）当 x8 时，此时 w 40 万元；（3）该公司买入杨梅 3 吨；3x8【解析】【分析】（1）设其解析式为 ykx+b，由图象经过点（2，12），（8，9）两点，得方程组，即可 得到结论；（2）根据题意得，w（y4）x（1 1x+134）x x2+9x，根据二次函数的性质 2 2即可得到结论；（3）根据题意列方程，即可得到结论；根据题意即可得到结论 【详解】（1）由图象可知，y 是关于 x 的一次函数 设其解析式为 ykx+b， 图象经过点

15、（2，12），（8，9）两点，2k +b =12 8k +b =9，解得 k12，b13， 一次函数的解析式为 y12x+13，当 x6 时，y10，答：若杨梅的销售量为 6 吨时，它的平均销售价格是每吨 10 万元；121 2（2）根据题意得，w（y4）x（1 1x+134）x x2+9x， 2 2当 xb2 a9 时，x9 不在取值范围内， 当 x8 时，此时 w最大值12x2+9x40 万元；（3）由题意得：1 1x2+9x9x（ x+3） 2 2解得 x2（舍去），x3，答该公司买入杨梅 3 吨；当该公司买入杨梅吨数在 3x8 范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润 大些故答案

16、为：3x8【点睛】本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大解题关键是理清售价、成本、利润 三者之间的关系5如图，已知抛物线a，且与 y 轴交于点 c（0，5）。的图象与 x 轴的一个交点为 b（5，0），另一个交点为（1） 求直线 bc 与抛物线的解析式；（2） 若点 m 是抛物线在 x 轴下方图象上的动点，过点 m 作 mn y 轴交直线 bc 于点 n， 求 mn 的最大值；（3） 在（2）的条件下，mn 取得最大值时，若点 p 是抛物线在 x 轴下方图象上任意一 点，以 bc 为边作平行四边形 cbpq，设平行四边形 cbpq 的面积为 s abn 的面积为 s ，且 s =6s

17、，求点 p 的坐标。【答案】（1）（2）（3） p 的坐标为（1，12）或（6，5）或（2，3）或（3，4）【解析】1 21 2【分析】（1）由 b（5，0），c（0，5），应用待定系数法即可求直线 bc 与抛物线的解析式。 （2）构造 mn 关于点 m 横坐标的函数关系式，应用二次函数最值原理求解。（3）根据 s =6s 求得 bc 与 pq 的距离 h，从而求得 pq 由 bc 平移的距离，根据平移的性质求得 pq 的解析式，与抛物线 【详解】联立，即可求得点 p 的坐标。解：（1）设直线 bc 的解析式为，将 b（5，0），c（0，5）代入，得，得 。 直线 bc 的解析式为。将 b（5

18、，0），c（0，5）代入 抛物线的解析式 。，得 ，得 。（2） 点 m 是抛物线在 x 轴下方图象上的动点， 设 m。 点 n 是直线 bc 上与点 m 横坐标相同的点， n。 当点 m 在抛物线在 x 轴下方时，n 的纵坐标总大于 m 的纵坐标。 mn 的最大值是 。（3）当 mn 取得最大值时，n。的对称轴是，b（5，0）， a（1，0）。 ab=4。由勾股定理可得，。设 bc 与 pq 的距离为 h，则由 s =6s 得：，即 。如图，过点 b 作平行四边形 cbpq 的高 bh，过点 h 作 x 轴的垂线交点 e ，则bh=，eh 是直线 bc 沿 y 轴方向平移的距离。易得 beh

19、 是等腰直角三角形，x eh=。 直线 bc 沿 y 轴方向平移 6 个单位得 pq 的解析式：或 。当当时，与，解得时，与，解得联立，得或 。此时，点 p 的坐标为（1，12）或（6，5）。 联立，得或 。此时，点 p 的坐标为（2，3）或（3，4）。综上所述，点 p 的坐标为（1，12）或（6，5）或（2，3）或（3，4）。6如图，已知抛物线y =ax 2 +bx +c ( a 0)的对称轴为直线x =-1，且抛物线与 轴交于 a、 b 两点，与 y 轴交于 c 点，其中 a(1,0) ， c (0,3) .（1）若直线y =mx +n经过 b 、 c 两点，求直线 bc 和抛物线的解析式

20、；（2）在抛物线的对称轴x =-1上找一点 m ，使点 m 到点 a的距离与到点c的距离之和最小，求出点 m 的坐标； （3）设点 p 为抛物线的对称轴 坐标.x =-1上的一个动点，求使 dbpc 为直角三角形的点 p 的【答案】（1）抛物线的解析式为y =-x2 -2 x +3，直线的解析式为y = x+ 3.（2）m ( -1,2)；（3） p 的坐标为( -1, -2)或( -1,4)或 ( -1,3 + 17 3 - 17) 或 ( -1,2 2) .【解析】分析：（1）先把点 a，c 的坐标分别代入抛物线解析式得到 a 和 b，c 的关系式，再根据 抛物线的对称轴方程可得 a 和

21、b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出 a，b，c 的 值即可得到抛物线解析式；把 b、c 两点的坐标代入直线 y=mx+n，解方程组求出 m 和 n 的 值即可得到直线解析式；（2）设直线 bc 与对称轴 x=-1 的交点为 m，此时 ma+mc 的值最小把 x=-1 代入直线 y=x+3 得 y 的值，即可求出点 m 坐标；（3）设 p（-1，t），又因为 b（-3，0），c（0，3），所以可得 bc2=18，pb2=（-1+3）2+t2=4+t2，pc2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意 t值即可求2 2 2 2 2出点 p 的坐标详解：

22、（1）依题意得： b- =-12 aa +b +c =0a =-1 ，解得： b =-2，c =3c =3 抛物线的解析式为 y =-x2-2 x +3. 对称轴为x =-1，且抛物线经过a (1,0)， 把b (-3,0)、c(0,3)分别代入直线y =mx +n，-3m+n =0 得 n =3m =1 ，解之得： ，n =3 直线y =mx +n的解析式为y =x +3.（2）直线bc与对称轴x =-1的交点为 m ，则此时ma +mc的值最小，把x =-1代入直线y =x +3得y =2，m (-1,2).即当点 m 到点 a 的距离与到点 c 的距离之和最小时 m 的坐标为(-1,2)

23、.（注：本题只求 m 坐标没说要求证明为何此时 ma +mc 的值最小，所以答案未证明ma +mc的值最小的原因）.（3）设p (-1,t)，又b (-3,0)，c(0,3)，bc 2 =18 ，pb2=(-1+3)+t2 =4 +t 2 ， pc 2 =(-1)+(t-3)=t2-6t +10，若点 b 为直角顶点，则 bc2+pb2=pc2，即：18 +4 +t2=t2-6t +10 解得：t =-2，若点 c 为直角顶点，则 bc 2 +pc 2 =pb 2 ，即：18 +t 2 -6t +10 =4 +t 2 解得：t =4，若点 p 为直角顶点，则 pb2+pc2=bc2，即： 4

24、+t2+t2-6t +10 =18 解得：t =13 + 172， t =23 - 172.综上所述 p 的坐标为(-1,-2)或(-1,4) 3 + 17 3 - 17 或 -1, 或-1, . 2点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函 数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考 压轴题7已知，m，n 是一元二次方程 x2+4x+3=0 的两个实数根，且|m| n|，抛物线 y=x2+bx+c 的图象经过点 a（m，0），b（0，n），如图所示（1） 求这个抛物线的解析式；（2） 设（1）中的抛物线与 x 轴的另一个交

25、点为抛物线的顶点为 d，求出点 c，d 的坐标， 并判 bcd 的形状；（3） 点 p 是直线 bc 上的一个动点（点 p 不与点 b 和点 c 重合），过点 p 作 x 轴的垂线， 交抛物线于点 m，点 q 在直线 bc 上，距离点 p 为 2 个单位长度，设点 p 的横坐标为 t， pmq 的面积为 s，求出 s 与 t 之间的函数关系式【答案】（1）y =x2-2 x -3；（2）c（3，0），d（1，4） bcd 是直角三角形； 1 3- t 2 + t (0t3) 2 2（3） s =1 3t 2 - t (t0或t3)2 2【解析】试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法

26、求出抛物线解析式；（2） 先解方程求出抛物线与 x 轴的交点，再判断 boc bed 都是等腰直角三角形， 从而得到结论；（3） 先求出 qf=1，再分两种情况，当点 p 在点 m 上方和下方，分别计算即可试题解析：解（1） x2+4 x +3 =0 ，x =-11，x =-32， m，n 是一元二次方程x 2 +4 x +3 =0 的两个实数根，且|m|n|， m=1，n=3， 抛物线y =x2-2 x -3的图象经过点 a（m，0），b（0，n），1 -b +c =0 b =-2 ， ， 抛物线解析式为 c =-3 c =-3y =x 2 -2 x -3；（2）令 y=0，则 x2-2 x

27、 -3 =0 ，x =-1， x =3 1 2， c（3，0），y =x2-2 x -3 = ( x -1)-4， 顶点坐标 d（1，4），过点 d 作 dey 轴，2 ob=oc=3， be=de=1， boc 和bed 都是等腰直角三角形， obc= dbe=45， cbd=90， bcd 是直角三角形；（3）如图， b（0，3），c（3，0）， 直线 bc 解析式为 y=x3， 点 p 的横坐标为 t，pmx 轴， 点 m 的横坐标为 t， 点 p 在直线 bc 上，点 m 在抛物线上， p（t，t3），m（t， t2-2t -3 ），过点 q 作 qfpm， pqf 是等腰直角三角形，

28、 pq=2， qf=1当点 p 在点 m 上方时，即 0t3 时，pm=t3（ t 2 -2t -3 ）= -t2 +3t ， s=1 1pmqf=2 2( -t21 3 +3t ) = - t + t2 2，如图 3，当点 p 在点 m 下方时，即 t0 或 t3 时，pm= t2-2t -3 （t3）= t2-3t ， s=1 1pmqf= （ t2 22-3t ）=1 3t 2 - t2 2综上所述，s=1 3- t 2 + t (0 t 3) 2 21 3t 2 - t (t 0或t 3) 2 2考点：二次函数综合题；分类讨论8如图 1，抛物线c : y =ax2+bx经过点a( -4

29、,0) 、 b ( -1,3)两点， g 是其顶点，将抛物线 c 绕点 o 旋转 180o ，得到新的抛物线 c mm2o2c（1）求抛物线 c 的函数解析式及顶点 g 的坐标；（2）如图 2，直线l : y =kx -125经过点 a， d 是抛物线c上的一点，设 d 点的横坐标为m（m -2），连接 do 并延长，交抛物线 c于点 e ，交直线 l于点 m ，de =2 em ，求 的值；（3）如图 3，在（2）的条件下，连接 ag 、 ab ，在直线 de 下方的抛物线 c 上是否存在点 p ，使得dep =gab？若存在，求出点 p 的横坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y =-

30、x2 -4 x，顶点为：g( -2,4)；（2） 的值为3；（3）存在，点p 的横坐标为： -【解析】【分析】7 + 73 73 -7 或4 4（1）运用待定系数法将a( -4,0)、b ( -1,3)代入 y =ax +bx中，即可求得a和b的值和抛物线c解析式，再利用配方法将抛物线c解析式化为顶点式即可求得顶点g的坐标；（2）根据抛物线c绕点o旋转 180o，可求得新抛物线 c的解析式，再将a( -4,0)代入y =kx -125中，即可求得直线l解析式，根据对称性可得点 e 坐标，过点 d 作dh / / y轴交直线l于 h ，过 e 作ek / / y轴交直线l于 k ，由 de =2

31、 em ，即可得me 1=md 3，再证明 dmekdmdh ，即可得 dh =3 ek，建立方程求解即可；（3）连接 bg ，易证 dabg 是 rt d， abg =90 ，可得tan dep =tan gab =13，在 x 轴下方过点o作 oh oe，在 oh上截取1oh = oe = 2 3，过点 e 作et y轴于 t ，连接 eh 交抛物线 c 于点 p ，点 p 即为所求的点；通过建立方程组求解即可 【详解】（1）将a( -4,0) 、 b ( -1,3)代入 y =ax +bx16a -4b =0 中，得 a -b =3a =-1 解得 b =-4 抛物线 解析式为： y =

32、-x2-4 x，配方，得：y =-x2 -4 x =-(x +2) 2+4， 顶点为：g(-2,4)；（2） 抛物线 c 绕点 o 旋转180o ，得到新的抛物线 c 新抛物线c 的顶点为：g(2, -4)，二次项系数为： a =1 新抛物线c的解析式为：y =( x -2) 2 -4 =x 2 -4 xo将a( -4,0) 代入 y =kx -12 12 3 中，得 0 =-4k - ，解得 k =- ，5 5 5 直线l解析式为 y =-3 12x -5 5，d ( m, -m2-4 m )， 直线do的解析式为y =-(m +4) x，由抛物线 c 与抛物线 c 关于原点对称，可得点 d

33、 、v 关于原点对称，e ( -m, m2+4 m)如图 2，过点 d 作dh / / y轴交直线 l 于 h ，过 e 作ek / / y轴交直线 l 于 k ，则3 h (m, - m -512 3 12 ) ， k (-m, m - )5 5 5，3 12 17 12 dh =-m2 -4m -(- m - ) =-m2 - m +5 5 5 5，ek =m23 12 17 12 +4m -( m - ) =m 2 + m +5 5 5 5， de =2 emme 1 =md 3，dh / / y 轴， ek / / y dh / / ek轴dmekdmdhek me 1= =dh md

34、 3，即 dh =3 ek -m2-17 12 17 12 m + =3(m 2 + m + )5 5 5 5解得：m =-3， m =- 1 225，m 0，故该抛物线开口向上，顶点 a的坐标为(1,-1)；（2）设抛物线“不动点”坐标为(t,t)，则 t =t2-2t ，即可求解；新抛物线顶点 b 为“不动点”，则设点b (m,m )，则新抛物线的对称轴为： x =m ，与 x 轴的交点c (m,0)，四边形oabc是梯形，则直线 x =m 在 y 轴左侧，而点a (1,-1)，点b(m,m)，则m =-1，即可求解.【详解】(l)a =1 0，抛物线 yx22x 的开口向上，顶点 a 的

35、坐标是(1，1)，抛物线的变化情况是：抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，右侧的部分是上升的. (2)设抛物线 yx22x 的“不动点”坐标为(t，t).则 tt22t，解得 t 0，t 3.所以，抛物线 yx22x 的“不动点”的坐标是(0，0)、(3，3). 新抛物线的顶点 b 是其“不动点”， 设点 b 的坐标为(m，m) 新抛物线的对称轴为直线 xm，与 x 轴的交点为 c(m，0) 四边形 oabc 是梯形， 直线 xm 在 y 轴左侧. bc 与 oa 不平行 oc ab.又 点 a 的坐标为(1，一 1)，点 b 的坐标为(m，m)，m1. 新抛物线是由抛物线 yx22x 向左平移

36、 2 个单位得到的， 新抛物线的表达式是 y(x1)21.【点睛】本题为二次函数综合运用题，涉及到二次函数基本知识、梯形基本性质，此类新定义题 目，通常按照题设顺序，逐次求解即可.11如图，在平面直角坐标系 xoy 中，抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 a(-1，0) 、b(3，0) 两 点，且与 y 轴交于点 c.（1） 求抛物线的表达式；（2） 如图，用宽为 4 个单位长度的直尺垂直于 x 轴，并沿 x 轴左右平移，直尺的左右 两边所在的直线与抛物线相交于 p、 q 两点（点 p 在点 q 的左侧），连接 pq，在线段 pq 上方抛物线上有一动点 d，连接 dp、dq.若点 p 的横坐

37、标为-12， dpq 面积的最大值，并求此时点 d 的坐标；直尺在平移过程中 dpq 面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请 说明理由.【答案】（1）抛物线 y=-x2+2x+3；（2）点 d（3 15，2 4）； pqd 面积的最大值为 8【解析】分析：（1）根据点 a、b 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）（i）由点 p 的横坐标可得出点 p、q 的坐标，利用待定系数法可求出直线 pq 的表达 式，过点 d 作 de y 轴交直线 pq 于点 e，设点 d 的坐标为（x，-x2+2x+3），则点 e 的坐标为（x，-x+54），进而即可得出 de 的长度，利用三角形的面积公式可得出dpq=- m -1 4q p72x2+6x+ ，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；2（ii）假设存在，设点 p 的横坐标为 t，则点 q 的横坐标为 4+t，进而可得出点 p、q 的坐 标，利用待定系数法可求出直线 pq 的表达式，设点 d 的坐标为（x，-x2+2x+3），则点 e 的坐标为（x，