初中数学几何辅助线常用方法

1、第一章 中点模型的构造当已知条件中出现一个中点时，你首先想到的辅助线的解题方法是什么？如果已知两个中点呢？ 介绍以下方法：1) 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形；2) 三角形中位线定理；3) 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线；4) 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”。例1 在abc 中，ab=5，ac=3，bc 边上的中线 ad=2，求 bc 的长.ab d c例2 已知在abc 中，ad 是 bc 边上的中线，e 是 ad 上一点，连接 be 并延长交 ac 于点 f， af=ef，求证：ac=be.afebd c变式：如图，在abc 中，

2、ad 交 bc 于点 d，点 e 是 bc 中点，ef/ad 交 ca 的延长线于点 f， 交 ab 于点 g，若 ad 为abc 的角平分线，求证：bg=cf.fgab e dc例3 在 abc 中，bac=90，点 d 为 bc 的中点，点 e、f 分别为 ab、ac 上的点，且 ed fd. 以线段 be、ef、fc 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形，还是直角三角 形，或者是钝角三角形？aefbd c例4 已知在abc 中，be、cf 分别为边 ac、ab 上的高，d 为 bc 的中点，dmef 于点 m. 求证：fm=em.afmeb d c例5 已知：abd 和ac

3、e 都是直角三角形，且abd=ace=90. 如图，连接 de，设 m 为 de 的中点，连接 mb、mc.求证：mb=mc.acemd b例6 问题一：如图（1），在四边形 abcd 中，ab=cd，e、f 分别是 bc、ad 的中点，连接 ef 并延长，分别与 ba、cd 的延长线交于点 m、n，求证：bme=cne.问题二：如图（2），在四边形 abcd 中，ab 与 cd 相交于点 o，ab=cd，e、f 分别是 bc、 ad 的中点，连接 ef，分别交 dc、ab 于点 m、n，判断omn 的形状，请直接写出结论.问题三：如图（3），在abc 中，acab，d 点在 ac 上，ab=

4、cd，e、f 分别是 bc、ad 的中点，连接 ef 并延长，与 ba 的延长线交于点 g，若efc=60，连接 gd，判断agd 的 形状并证明.mnafdaocgmnafdb e c（1）d b（2）b e c（3）例7 问题一：如图（1），abc 中，点 d 是 ab 的中点，aebc，bfac，垂足分别为点 e、f，ae、bf 交于点 m，连接 de、df. 若 de=kdf，则 k 的值为_.问题二：如图（2），abc 中，cb=ca，点 d 是 ab 的中点，点 m 在abc 的内部，且 mac=mbc. 过点 m 分别作 mebc，mfac ，垂足分别为点 e、f，连接 de、d

5、f. 求证：de=df.问题三：如图（3），若将上面的问题（二）中的条件“cb=ca”变为“cbca”，其他 条件不变，试探究 de 与 df 之间的数量关系，并证明你的结论.aaadmfdmfd fmb e cb e cb e c（1）（2） （3）例8 （2012广州）如图，在平行四边形 abcd 中，ab=5，bc=10，f 为 ad 的中点，ceab 于 e，设abc=（6090）（1） 当 =60时，求 ce 的长；（2） 当 6090时，是否存在正整数 k，使得efd=kaef？若存在，求出 k 的值；若不 存在，请说明理由第二章 角平分线模型的构造已知，p 是mon 平分线上一点

6、，角平分线的四大基本模型：（1） 若 paom 于点 a，可过点 p 作 pbon 于 b，则 pb=pa;（2） 若点 a 是射线 om 上任意一点，可在 on 上截取 ob=oa，连接 pb，则构造 opbopa； （3）若 apop 于点 p，可延长 ap 交 on 于点 b，则构造了aob 是等腰三角形,且 p 是 ab 中点；（4）若过点 p 作 pq/on 交 om 于点 q，则构造了poq 是等腰三角形。mmmaaapppo bno bno bnqmpon（1） （2） （3） （4） 例1 （1）如图， abc 中，c=90，cab 的平分线 ad 交 bc 于点 d，bc=8

7、，bd=5，那么点 d 到 ab 的距离是（ ）a3 b4 c5 d6（2）已知1=2，3=4，求证：ap 平分bac例2 (1) abc 中，ad 是a 的外角平分线，p 是 ad 上异于 a 的任意一点，请比 较 pb+pc 与 ab+ac 的大小并说明理由(2)如图，ad abc 中bac 的平分线，p 是 ad 上的任意一点，且 abac，请 比较 pb-pc 与 ab-ac 的大小并说明理由例3 已知 bad= cad ，abac ，cd ad 于点 d ，h 是 bc 的中点 .求证：1dh = ( ab -ac ) 2.adcbh例4 如图 1，bd、ce 分别是abc 的外角平

8、分线，过点 a 作 afbd，agce，垂 足分别为 f、g，连接 fg，延长 af、ag，与直线 bc 相交于 m、n（1）试说明：fg =12( ab +bc +ac )（2） 如图 2，若 bd、ce 分别是abc 的内角平分线，则线段 fg 与abc 三边又有 怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由；（3） 如图 3，若 bd 为abc 的内角平分线，ce 为abc 的外角平分线，则线段 fg 与abc 三边的数量关系是_例5 如图，在abc 中，ab=3ac，bac 的平分线交 bc 于点 d，过点 b 作 bead， 垂足为 e，求证：ad=de.acdb e例

9、6 在abcd 中，bad 的平分线交直线 bc 于点 e，交直线 dc 于点 f（1） 在图 1 中证明 ce=cf；（2） 若abc=90，g 是 ef 的中点（如图 2），直接写出bdg 的度数；（3） 若abc=120，fgce，fg=ce，分别连接 db、dg（如图 3），求bdg 的度数例7 （1）如图 1，在abc 中，abc 与acb 的角平分线相交于点 f，过点 f 作 de/bc，交 ac 于点 e，若 bd+ce=9，则线段 de 的长为_;（2）如图 2，在abc 中，bd、cd 分别平分abc 和acb，de/ab，fd/ac， 如果 bc=6，求def 的周长.aa

10、dfedbcb ef c图 1图 2例8 如图，abc 的外角acd 的平分线 cp 与内角abc 的平分线 bp 交于点 p， 连接 ap、cp，若bpc=40，求cap 的度数.apb c d第三章 弦图的构造及应用如以下图是弦图及其衍生图：例1 2002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾 股弦方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所 示）如果大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，直角三角形的较短直角边为 a，较长直角边为 b，那么 ( ab)2的值为_.例2 如图，直线 l 上有三个正方形 a，b，c，若a，c

11、 的面积分别为 5 和 11，则 b 的面积为 _例3 如图，四边形 abcd 是正方形，直线 l ，l ，l 分别通过 a，b，c 三点，且 l l l ，1 2 3 1 2 3若 l 与 l 的距离为 5，l 与 l 的距离为 7，则正方形 abcd 的面积为_.1 2 2 3例4 如图 1，abc 中，agbc 于点 g，以 a 为直角顶点，分别以 ab、ac 为直角 边，向abc 外作等腰 abe 和等腰 acf，过点 e、f 作射线 ga 的垂线，垂足分 别为 p、q（1） 试探究 ep 与 fq 之间的数量关系，并证明你的结论（2） 若连接 ef 交 ga 的延长线于 h，由（1）

12、中的结论你能判断并证明 eh 与 fh 的大小 关系吗？（3） 图 2 中的abc 与aef 的面积相等吗？（不用证明）例5 已知：如图，平面直角坐标系 xoy 中，点 a、b 的坐标分别为 a（4，0 ），b（0 ， -4），p 为 y 轴上 b 点下方一点，pb=m（m0），以 ap 为边作等腰直角三角形 apm，其 中 pm=pa，点 m 落在第四象限（1） 求直线 ab 的解析式；（2） 用 m 的代数式表示点 m 的坐标；（3） 若直线 mb 与 x 轴交于点 q，判断点 q 的坐标是否随 m 的变化而变化，写出你的结论 并说明理由例6 已知：在直角梯形 abcd 中，adbc，ab

13、bc，ad=2，bc=3，设bcd=a， 以 d 为旋转中心，将腰 dc 逆时针旋转 90至 de，连接 ae、ce（1） 当 a=45时，求ead 的面积；（2） 当 a=30时，求ead 的面积；（3） 当 0a90时，猜想ead 的面积与大小有何关系？若有关，写 ead 的 面积 s 与 a 的关系式；若无关，请证明结论例7 如图（1）至图（3），c 为定线段 ab 外一动点，以 ac、bc 为边分别向外侧作正 方形 cadf 和正方形 cbeg，分别作 dd ab、ee ab，垂足分别为 d 、e 当 c 的位1 1 1 1置在直线 ab 的同侧变化过程中，（1）如图（1），当acb=

14、90，ac=4，bc=3 时，求 dd +ee 的值；1 1（2）求证：不论 c 的位置在直线 ab 的同侧怎样变化，dd +ee 的值为定值；1 1（3）求证：不论 c 的位置在直线 ab 的同侧怎样变化，线段 de 的中点 m 为定点1例8 如 图 ， 已 知 直 线 y = x +12与 y轴 交 于 点 a ， 与 x 轴 交 于 点 d ， 抛 物 线1y = x22+bx +c与直线交于 a、e 两点，与 x 轴交于 b、c 两点，且 b 点坐标为 (1，0)。1 求该抛物线的解析式；2 动点 p 在 x 轴上移动， pae 是直角三角形时，求点 p 的坐标 p。第四章 三角形的中

15、位线三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长 公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见例1 如图，在四边形 abcd 中，ab 与 cd 不平行，e，f 分别是 ad，bc 的中点求证： ef 12(cd-ab).例3 已知：如图，e 为 abcd 中 dc 边的延长线上的一点，且 cedc，连结 ae 分

16、别交 bc、bd 于点 f、g，连结 ac 交 bd 于 o，连结 of求证：ab2of例4 如图，已 abc 中，e 是 ab 的中点，cd 平分acb，adcd 与点 d，求证：（1）de/bc； （2）de =12(bc -ac).aedb c例5 ad 是 dabc 的中线， 是 ad 的中点，bf 的延长线交 ac 于 e 求证：ae =13ac aefb d c例6 如图所示，在 dabc 中， ab =ac ，延长 ab 到 d ，使 bd =ab ，e 为 ab 的中点， 连接 ce 、 cd ，求证： cd =2 ec 例7 已知：abcd 是凸四边形，且 acgnmaedm

17、ngb fc例8 在 dabc 中，acb =90，ac =中点，求证： ae eb 且 ae =be 12bc ，以 bc 为底作等腰直角 dbcd ，e 是 cd 的deca b例9 如图，在五边形 abcde 中， abc =aed =90， bac =ead ， f 为 cd 的 中点求证： bf =ef abec f d例10 已知，如图四边形 abcd 中， ad =bc ， e 、 f 分别是 ab 和 cd 的中点， ad 、 ef 、 bc 的延长线分别交于 m 、 n 两点 求证： ame =bne nmdfca e b例11 如右下图，在 dabc 中，若 b =2c ，

18、 ad bc ， e 为 bc 边的中点求证： ab =2 de ab d e c例12 (2009 年 大 兴 安 岭 地 区 初 中 毕 业 学 业 考 试 ) 已知：在 dabc 中， bc ac ，动点 d 绕 dabc 的顶点 a 逆时针旋转，且 ad =bc ，连结 dc 过 ab 、dc 的中点 e 、f 作直线，直线 ef 与直线 ad 、 bc 分别相交于点 m 、 n mmndf(n)cdfccfhnmda e图1b a e图2b a e图3b 如图 1，当点 d 旋转到 bc 的延长线上时，点 n 恰好与点 f 重合，取 ac 的中 点 h ，连结 he 、 hf ，根据

19、三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论 amf =bne (不需证明) 当点 d 旋转到图 2 或图 3 中的位置时，amf 与 bne 有何数量关系？请分别 写出猜想，并任选一种情况证明第五章 图形变换之轴对称最短路径问题，需考虑轴对称。几何最值问题的几种中考题型及解题作图方法如下图所 示：问题作图方法备注（1）在直线 l 上求点 p，使|pa-pb|ab最大.la（2）在直线 l 上求点 p，使|pa-pb| 最大.lb（3）在直线 l 上求点 p，使pa+pbab最小.la（4）在直线 l 上求点 p，使pa+pb 最小.lb（5）在直线 l 上求两点 m、n（mb在 左 ） ， 使

20、得 mn=a, 并 使 am+mn+nb 最小.am n（6）在射线 l 、l 上分别求点 m、1 2n，使pmn 周长最小.（7）在射线 l 、l 上分别求点 m、1 2n，使四边形 pmnq 周长最小.（8）在射线 l 上求作一点 d，2在射线 l 上求作一点 c，使得 1pd+cd 最小.l1al1pql1pll2l2l2b（9）在直线 l 上求点 p，a使 pa=pb.例1l（1）如图(a)，把矩形纸片 abcd 沿 ef 折叠，使点 b 落在边 ad 上的点 b处，点 a 落在点 a 处，则 ae、ab、bf 之间的关系是 _(a) (b)（2） 如图(b)，在矩形 abcd 中，将

21、矩形 abcd 折叠使点 d 和点 b 重合，折痕为 ef，如果 ab=4，ad=8，则 ef=_（3） 如图(c)，折叠长方形的一边 ad，使点 d 落在 bc 边的点 f 处，如果 ab=8cm，bc=10cm， 则 cf=_cm，ec=_cm.cadeb c(c) (d)（4）如图(d)，在矩形 abcd 中，将bcd 沿对角线 bd 折叠，记点 c 的对应点为 c. 如 果 ab=6cm，ad=8cm，则 ae=_cm.例2 如图， abc 中，acb=90，a=50，将其折叠，使点 a 落在边 cb 上 a 处，折痕为 cd，则adb=（ ）a40 b30 c20 d10例3 如图，

22、正方形纸片 abcd 的边长为 1，m、n 分别是 ad、bc 边上的点，将纸片的 一角沿过点 b 的直线折叠，使 a 落在 mn 上，落点记为 a，折痕交 ad 于点 e，若 m、n 分别是 ad、bc 边的中点，则 an=_；若 m、n 分别是 ad、bc 边的上距 dc 最近的 n 等分点（n2，且 n 为整数），则 an=_（用含有 n 的式子 表示）例4 在四边形 abcd 中，ab=30，ad=48，bc=14，cd=40,abd+bdc=90，求 四边形 abcd 的面积.abdc例5 （1）如图(a)，正方形 abcd 的边长为 4，e 是 bc 边的中点，p 是对角线 bd

23、上一 个动点，则 pe+pc 的最小值是_.（2）如图(b)，若将（1）中的正方形改成菱形且abc=60，其他条件均不变，则 pe+pc 的最小值是_.(a) (b)例6 （2012广东）如图，在矩形纸片 abcd 中，ab=6，bc=8 bcd 沿对角线 bd 折叠，使点 c 落在 c处，bc交 ad 于点 g；e、f 分别是 cd 和 bd 上的点，线段 ef 交 ad 于点 h， fde 沿 ef 折叠，使点 d 落在 d处，点 d恰好与点 a 重合（1） 求证 abgdg；（2） 求 tanabg 的值；（3） 求 ef 的长例7 （2012德州）如图所示，现有一张边长为 4 的正方形

24、纸片 abcd，点 p 为正方形 ad 边上的一点（不与点 a、点 d 重合）将正方形纸片折叠，使点 b 落在 p 处，点 c 落在 g 处，pg 交 dc 于 h，折痕为 ef，连接 bp、bh（1） 求证：apb=bph；（2） 当点 p 在边 ad 上移动时 pdh 的周长是否发生变化？并证明你的结论； （3）设 ap 为 x，四边形 efgp 的面积为 s，求出 s 与 x 的函数关系式，试问 s 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由第六章 图形变换之旋转旋转是中考压轴题中的常见题型，什么时候需要构造旋转？怎么构造旋转图形呢？ 构造旋转的条件：等线段，共顶点。构

25、造旋转图形的解题方法：遇中点，旋 180，构造中心对称；遇 90，旋 90，造垂直；遇 60，旋 60，造等边；遇等腰，旋顶角.例1 如图，设 p 为等边三角形 abc 内一点，且 pa=5，pb=4，pc=3，求bpc 的度数.apb c例2 如图，e、f 分别是正方形 abcd 的边 bc、cd 上一点，且eaf45 求证：bedfef例3 如图 abc 是边长为 3 的等边三角形 bdc 是等腰三角形，且bdc=120. 以 d 为顶点作一个 60角，使其两边分别交 ab 于点 m，ac 于点 n，连接 mn.（1）证明：mn=bm+cn; （2）求amn 的周长.amnbcd例4 如图

26、，在abc 中，m 是 bc 的中点，e、f 分别在 ac、ab 上，且 memf，试 说明 efac，d、e 分别为 ab、ac 上两点且 bd=ce. 求证：debc.aedcb例2 （1）如图（a），在正方形 abcd 中，ab、bc、cd 三边上分别有点 e、g、f， 且efdg. 求证：ef=dg.（2）如图（b），在正方形 abcd 中，e、f、g、h 分别是 ab、bc、cd、da 边上的点， 且egfh. 求证：eg=fh.aedfaeh dgbg cb f c(a) (b)例3 在abc 中，点 p 为 bc 的中点.aacb pcbpdeacbpde(a)(b) (c)（1

27、）如图（a），求证：ap 12( ab +ac );（2）延长 ab 到 d，使得 bd=ac，延长 ac 到点 e，使得 ce=ab，连接 de. 如图（b），连接 be，若bac=60，请你探究线段 be 与线段 ap 之间的数量 关系。写出你的结论，并加以证明。 请在图（c）中证明：bc 12de.例4 在 abc 中，c=90，d、e 分别为 cb、ca 延长线上的点，be 与 ad 的交 点为 p.（1） 如图 a，若 bd=ac，ae=cd，求ape 的度数；（2） 如图 b，若 ac = 3 bd , cd = 3 ae ，求ape 的度数.123cbcap dabpdee(a)

28、 (b)例5 已知：如图（a），abc 为边长为 2 的等边三角形，d、e、f 分别为 ab、ac、bc 的中点，连接 de、df、ef. 将bdf 向右平移，使点 b 与点 c 重合； ade 向下 平移，使点 a 与点 c 重合，如图（b）.（1）设ade bdf efc 的面积分别为 s 、s 、s ，则 s +s +s _ 3（用1 2 3“”填空）（2）已知：如图（c），aob=cod=eof=60，ad=cf=be=2， abo、cdo、efo 的面积分别为 s 、s 、s ；问：上述结论是否成立？若成立，请证明；若不1 2 3成立，请说明理由。fad eb f cs3s1s2bas1cso2s3