小学数学竞赛：三角形等高模型与鸟头模型(一).教师版解题技巧 培优 易错 难

1、ab cd4-3-1. 三角形等高模型与鸟头模型板块一例题精讲三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积 =底 高 2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化但是，当三角形的底和高同时发生1变化时，三角形的面积不一定变化比如当高变为原来的 3 倍，底变为原来的 ，则三角形面积与原来的一3样这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化同

2、时 也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：1 等底等高的两个三角形面积相等；2 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图 s : s =a : b1 2abs1s2abc d夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图 s =s ；acd bcd反之，如果 s =s ，则可知直线 平 于acd bcd4 等底等高 两个平 四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；5 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；6 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底

3、之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成： 3 个面积相等的三角形； 4 个面积相等的三角形； 6 个面积相等的三角形【考点】三角形的等高模型 【难度】1 星 【题型】解答【解析】 如下图，d、e 是 bc 的三等分点，f、g 分别是对应线段的中点，答案不唯一：aaafgbd ecbdcbdc 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：（1） （2） （3） 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：（4）（5）【答案】答案不唯一：aaafgbd ecbdcbdc 答案不唯一：（1）（2 ）（3）（4）（5）答案不唯一：【例 2】 如图，bd 长 12

4、厘米，dc 长 4 厘米，b、c 和 d 在同一条直线上 求三角形 abc 的面积是三角形 abd 面积的多少倍？ 求三角形 abd 的面积是三角形 adc 面积的多少倍？abdc【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答【解析】 因为三角形 abd、三角形 abc 和三角形 adc 在分别以 bd、bc 和 dc 为底时，它们的高都是从 a 点向 bc 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等于是：三角形 abd 的面积 =12 高 2 =6 高三角形 abc 的面积 =（12+4）高2=8 高三角形 adc 的面积 =4 高 2 =2 高4所以，三角形 abc 的面积是三角形

5、 abd 面积的 倍；3三角形 abd 的面积是三角形 adc 面积的 3 倍【答案】43、3【例 3】 如右图， abfe 和 cdef 都是矩形， ab 的长是 4 厘米， bc 的长是 3 厘米，那么图中阴影部分的 面积是 平方厘米阴影长方形abcdaebfd c【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答【解析】 图中阴影部分的面积等于长方形 abcd 面积的一半，即 4 3 2 =6 (平方厘米)【答案】6【巩固】(2009 年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是 50 平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解

6、答【解析】 根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也 等于平行四边形面积的一半，为 50 2 =25 平方厘米【答案】25【巩固】如下图，长方形 afeb 和长方形 fdce 拼成了长方形 abcd ，长方形 abcd 的长是 20，宽是 12，则 它内部阴影部分的面积是 a bfdec【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答1【解析】 根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为 20 12 =120 2【答案】120【例 4】 如图，长方形 abcd 的面积是 56 平方厘米，点 e 、 f 、g 分别是长方形 abc

7、d 边上的中点， h 为 ad 边上的任意一点，求阴影部分的面积aehdgaehdgbfcbfc【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答【解析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用连接 bh 、 ch ae =eb ， s = aeh beh同 ， s =s ， s =s ，bfh cfh vcgh vdgh1 s = s = 56 =28 (平方厘米)2 2【答案】28【巩固】图中的 e 、 f 、 g 分别是正方形 abcd 三条边的三等分点，如果正方形的边长是 12 ，那么阴影部2 2 22 22 2 2 2 8分的面积是 a dah d6g51gee4 32bfcb

8、fc【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答【解析】 把另外三个三等分点标出之后，正方形的 3 个边就都被分成了相等的三段把 h 和这些分点以及正 方形的顶点相连，把整个正方形分割成了 9 个形状各不相同的三角形这 9 个三角形的底边分别是 在正方形的 3 个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一阴影部分被分割成了 3 个三角形，右 边三角形的面积和第1 第 2 个三角形相等：中间三角形的面积和第 3 第 4 个三角形相等；左边三角形 的面积和第 5 个第 6 个三角形相等因此这 3 个阴影三角形的面积分别是 abh 、bch 和 cdh 的三分之一，因此全部阴影的总面积就等

9、于正方形面积的三分之一正方形的面积是144 ，阴影部分的面积就是 48 【答案】48【例 5】 长方形 abcd 的面积为 36， e 、 f 、 g 为各边中点， h 为 ad 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？a h de gbfca ( h) dah de ge gb f cbfc【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 （法 1）特殊点法由于 h 为 ad 边上任意一点，找 h 的特殊点，把 h 点与 a 点重合（如左上图）， 那么阴影部分的面积就是 daef 与 dadg 的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形 abcd1 1 1 1 3 3面积的 和

10、，所以阴影部分面积为长方形 abcd 面积的 + = ，为 36 =13.5 8 4 8 4 8 8（法 2）寻找可利用的条件，连接 bh 、 hc ，如右上图1 1 1可得： s = s 、 s = s 、 s = s ，而 s =s +s +s =36 ， dehb dahb dfhb dchb ddhg ddhc abcd dahb dchb dchd1 1即 s +s +s = ( s +s +s ) = 36 =18 ；dehb dbhf ddhg dahb dchb dchd1 1 1 1 1而 s +s +s =s +s ， s = be bf = ( ab ) ( bc ) =

11、 36 =4.5 dehb dbhf ddhg 阴影 debf debf所以阴影部分的面积是： s阴影【答案】13.5=18 -sdebf=18 -4.5 =13.5 【巩固】在边长为 6 厘米的正方形 abcd 内任取一点 p ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与 p 点连接,求阴影部分面积a d a (p) d a dppb cb c bc【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 （法 1）特殊点法由于 p 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设 p 点与 a 点重合，则阴1 1影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的

12、和 ，所以阴影部4 61 1分的面积为 62 ( + ) =15 平方厘米4 6（法 2）连接 pa 、 pc 由于 dpad 与 dpbc 的面积之和等于正方形 abcd 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积1之和等于正方形 abcd 面积的 ，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形 abcd 面4积的1 1 1，所以阴影部分的面积为 6 2 ( + ) =15 平方厘米 6 4 6【答案】15【例 6】 如右图，e 在 ad 上，ad 垂直 bc， ad =12 厘米， de =3 厘米求三角形 abc 的面积是三角形 ebc 面积的几倍？aebdc【考点】三角形的等高模型

13、 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 因为 ad 垂直于 bc，所以当 bc 为三角形 abc 和三角形 ebc 的底时，ad 是三角形 abc 的高，ed 是三角形 ebc 的高，于是：三角形 abc 的面积 =bc 12 2 =bc 6三角形 ebc 的面积 =bc 3 2 =bc 1.5所以三角形 abc 的面积是三角形 ebc 的面积的 4 倍【答案】4【例 7】 如图，在平行四边形 abcd 中，ef 平行 ac，连结 be、ae、cf、bf 那么与 bec 等积的三角形 一共有哪几个三角形？afdebc【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 aec、 af

14、c、 abf【答案】 aec、 afc、 abf【巩固】如图，在 abc 中，d 是 bc 中点，e 是 ad 中点，连结 be、ce，那么与 abe 等积的三角形一 共有哪几个三角形？abedc【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答【解析】 3 个， aec bed dec【解析】 【答案】3 个， aec bed、dec【巩固】如图，在梯形 abcd 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？adob c【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答【解析】 abd 与acd， abc 与 dbc， abo 与 dco【答案】 abd 与 acd，abc

15、与dbc， abo 与 dco【例 8】 如图，三角形 abc 的面积为 1，其中 ae =3 ab ， bd =2 bc ，三角形 bde 的面积是多少？abeabec cd【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】迎春杯【解析】 连接 ce ， ae =3 ab ， be =2 ab ， s =2 sv bce v acb又 bd =2 bc ， s =2 s =4 s =4 v bde v bce v abc【答案】4d【例 9】 如右图，ad =db ，ae =ef =fc ，已知阴影部分面积为 5 平方厘米，dabc 的面积是 方厘米平abde f cabde

16、 f c【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】2008 年，四中考题1 1【解析】 连接 cd 根据题意可知， ddef 的面积为 ddac 面积的 ， ddac 的面积为 dabc 面积的 ，所3 21 1 1以 ddef 的面积为 dabc 面积的 = 而 ddef 的面积为 5 平方厘米，所以 dabc 的面积为2 3 65 16=30 (平方厘米)【答案】30【巩固】图中三角形 abc 的面积是 180 平方厘米，d 是 bc 的中点，ad 的长是 ae 长的 3 倍，ef 的长是 bf 长的 3 倍那么三角形 aef 的面积是多少平方厘米？v abd v a

17、bcv abev abdv abev zcy v dcbv zcyv dcby abcdaefbdc【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答s bd 1【解析】 v abd ， v abc 等高，所以面积的比为底的比，有 v abd = = ,s bc 2v abc1 1 ae 1所以 s = s = 180 =90 (平方厘米)同理有 s = s = 90 =30 (平方厘米)， 2 2 ad 3sv afefe 3= s = 30 =22.5 (平方厘米)即三角形 aef 的面积是 22.5 平方厘米 be 4【答案】22.5【巩固】如图，在长方形 abcd 中，y 是 bd

18、 的中点， z 是 dy 的中点，如果 ab =24 厘米， bc =8 厘米，求 三角形 zcy 的面积dczyab【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答1 1 1【解析】 y 是 bd 的中点， z 是 dy 的中点， zy = db ， s = s ，2 2 41 1 1又 abcd 是长方形， s = s = s =24 (平方厘米)4 4 2【答案】24【巩固】如图，三角形 abc 的面积是 24，d、e 和 f 分别是 bc、ac 和 ad 的中点求三角形 def 的面积afebdc【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答【解析】 三角形 adc 的面

19、积是三角形 abc 面积的一半 24 2 =12 ，三角形 ade 又是三角形 adc 面积的一半12 2 =6 三角形 fed 的面积是三角形 ade 面积的一半，所以三角形 fed 的面积 =6 2 =3 【答案】3【巩固】如图，在三角形 abc 中， bc =8 厘米，高是 6 厘米，e、f 分别为 ab 和 ac 的中点，那么三角形 ebf 的面积是多少平方厘米？aefb【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】 f 是 ac 的中点 s =2sv abc v abf同理 s =2sv abf vbefc22 s =s 4 =8 6 2 4 =6 (平方厘米)vb

20、ef vabc【答案】6【例 10】 如图所示， a 、 b 、 c 都是正方形边的中点 cod aob 大 15 平方厘米 aob 的面积为 平方厘米。caoebd【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】走美杯，5 年级，决赛，第 8 题，10 分【解析】 s -s =s -s =s =15cm ，所以， s =7.5cm 。dcod dabo dbcd dabd dabd dabo【答案】7.5【例 11】 如图 abcd 是一个长方形，点 e、f 和 g 分别是它们所在边的中点如果长方形的面积是 36 个平 方单位，求三角形 efg 的面积是多少个平方单位dgcd

21、gceafbe fa b【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答【解析】 如右图分割后可得， s =s 2 =s 4 =36 4 =9 （平方单位）vefg 矩形defc 矩形abcd【答案】9【巩固】如图，长方形 abcd 的面积是 1 ， m 是 ad 边的中点， n 在 ab 边上，且 2 an =bn .那么，阴影部 分的面积是多少？amdamdnb cnb c【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】迎春杯，决赛1【解析】 连 接 bm ，因为 m 是中点所以 abm 的面积为 又因为 2 an =bn ，所以 bdc 的面积为41 1 1 1 1

22、 1 5 = ，又因为 bdc 面积为 ，所以阴影部分的面积为：1 - - = .4 3 12 2 12 2 12【答案】512【例 12】 如图，大长方形由面积是 12 平方厘米、24 平方厘米、36 平方厘米、48 平方厘米的四个小长方形 组合而成求阴影部分的面积22adefab12cm236cm212cmm36cm2n24cm248cm224cmc d48cm2【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答12 1 24 1【解析】 如图，将大长方形的长的长度设为 1，则 ab = = ， cd = = ，12 +36 4 24 +48 31 1 1 1 1所以 mn = - =

23、 ，阴影部分面积为 (12 +24 +36 +48) =5(cm2) 3 4 12 2 12【答案】5【例 13】 图中 abcd 是个直角梯形(dab=abc=90)，以 ad 为一边向外作长方形 adef，其面积为 6.36 平方厘米。连接 be 交 ad 于 p，再连接 pc。则图中阴影部分的面积是()平方厘米。fapedb c(a)6.36 (b)3.18 (c)2.12 （d）1.59【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛，第 5 题【解析】 如图,连接 ae，bd。因为 adbc，则：pdcs = + = + = = 阴影 epd pdc e

24、pd pdb eda= ,又 abed，则： = ,所以， pdb ead ebd1 1= 6.36 =3.18 （平方厘米）2 2fapedb c说明：答案和直角梯形形状无关，可以让 bc 边趋近 ad 边，直到和 ad 边重合，此时，p 与 a 重合， pe 是 adef 的对角线，所以，阴影部分的面积是 adef 面积的一半，等于 3.18 平方厘米。【答案】 3.18【例 14】 如图， bc 是半径为 6 的圆 o 上的弦，且 bc 的长度与圆的半径相等， a 是圆外的一点， oa 的长 度为 12 ，且 oa 与 bc 平行，那么图中阴影部分的面积是 。（ =3.14 ）b coa

25、oo【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】学而思杯，6 年级，第 11 题【解析】 由于 oa 与 bc 平行，如果连接 ob 、 oc ， dabc 的面积是等于 dobc 的面积，于是把求阴影部分 的面积转化为扇形 boc 的面积。如图1 ，连接 ob 、 oc 。由于 oa 与 bc 平行，根据面积比例模型，dabc 是等边三角形，那么 boc 为 60，扇形 boc 的面积为 p6 60360=18.84 。【答案】18.84【巩固】在下图中，a 为半径为 3 的0 外一点。弦 bca0 且 bc=3。连结 ac。阴影面积等于c b.( p =3.14)o【考

26、点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】走美杯，6 年级，决赛，第 3 题，10 分【解析】 d 为 oa 与圆 0 的交点，连接 oc，ob，bd(见下图).c baodacbod，cb=od=3， 四边形 cbdo 是平行四边形 cob 是等边三角形. svcab= svcob阴影面积等于扇形 cob 的面积， s阴影= s扇形cob=r2603601p=323.14 =4.71.6【答案】4.71【例 15】 如图，三角形 abc 中， dc =2 bd ，ce =3 ae ，三角形 ade 的面积是 20 平方厘米，三角形 abc 的面积是多少？aebdc【考点】

27、三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 ce =3 ae ， ac =4 ae ， s =4 s ；vadc vade又 dc =2 bd ， bc =1.5dc ， s =1.5s =6 s =120 (平方厘米)v abc v adc v ade【答案】120【例 16】 如图，在三角形 abc 中，已知三角形 ade 、三角形 dce 、三角形 bcd 的面积分别是 89，28，26那 么三角形 dbe 的面积是 ddbebda e c【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】希望杯，复赛，六年级【解析】 根据题意可知， s =s +s =89 +

28、28 =117 ，dadc dade ddce所以 bd : ad =s : s =26 :117 =2 :9 ，dbdc dadc那么 s : s =bd : ad =2 : 9 ，ddbe dade2 2 2 7故 s =89 =(90 -1) =20 - =19 9 9 9 9【答案】 1979【例 17】 如图，梯形 abcd 被它的一条对角线 bd 分成了两部分三角形 bdc 的面积比三角形 abd 的面积 大 10 平方分米已知梯形的上底与下底的长度之和是 15 分米，它们的差是 5 分米求梯形 abcd 的面积adadhb cbec【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型

29、】解答【关键词】小数报【解析】 如右图，作 ab 的平行线 de三角形 bde 的面积与三角形 abd 的面积相等，三角形 dec 的面积就 是三角形 bdc 与三角形 abd 的面积差(10 平方分米)从而，可求出梯形高(三角形 dec 的高)是： 2 10 5 =4 (分米)，梯形面积是：15 4 2 =30 (平方分米)【答案】30【例 18】 图中 v aob 的面积为15cm2，线段 ob 的长度为 od 的 3 倍，求梯形 abcd 的面积 adobc【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 在 vabd 中，因为 s =15cm 2 ，且 ob =3od ，

30、所以有 sv aob因为 vabd 和 vacd 等底等高，所以有 s =s v abd v acdv aod=sv aob3 =5cm2从而 s =15cm 2 ，在 vbcd 中，s =3s =45cm 2 ，所以梯形面积：15 +5 +15 +45 =80（cm 2） vocd vboc vocd【答案】80【例 19】 如图，把四边形 abcd 改成一个等积的三角形ddaabcabcdaod dboc dabd2 2【考点】三角形的等高模型 【难度】4 星 【题型】解答【解析】 本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等我们可 以利用三角形等积变形的

31、方法，如右上图把顶点 a 移到 cb 的延长线上的 a处，v abd 与 vabd 面 积相等，从而 v adc 面积与原四边形 abcd 面积也相等这样就把四边形 abcd 等积地改成了三角 形 v adc问题是 a位置的选择是依据三角形等积变形原则过 a 作一条和 db 平行的直线与 cb 的延长线交于 a点具体做法： 连接 bd；2 过 a 作 bd 的平行线，与 cb 的延长线交于 a3 连接 ad，则 v acd 与四边形 abcd 等积【答案】具体做法： 连接 bd；2 过 a 作 bd 的平行线，与 cb 的延长线交于 a3 连接 ad，则 v acd 与四边形 abcd 等积d

32、aabc【例 20】 一个长方形分成 4 个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的 15% ，黄色三角形面积是21cm2问：长方形的面积是多少平方厘米？黄红红绿【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】华杯赛，初赛【解析】 黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿 色三角形的面积和为长方形面积的 50% ，而绿色三角形面积占长方形面积的15% ，所以黄色三角形 面积占长方形面积的 50% -15% =35% 已知黄色三角形面积是 21cm2，所以长方形面积等于 21 35% =60 （ cm2）【答案】60【例 21】 o

33、 是长方形 abcd 内一点，已知 dobc 的面积是 5cm2，doab 的面积是 2cm2，求 dobd 的面积是多少？adopb c【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答1 1【解析】 由 于 abcd 是长方形，所以 s +s = s ，而 s = s ，所以 s +s =s ，daod dboc abcd dabd abcd则 s =s +s ，所以 s =s -s =5 -2 =3cm dboc doab dobd dobd dboc doab【答案】32【例 22】 如右图，过平行四边形 abcd 内的一点 p 作边的平行线 ef 、gh ，若 dpbd 的面积为

34、 8 平方分米， 求平行四边形 phcf 的面积比平行四边形 pgae 的面积大多少平方分米？2()bcfe abhgdbcp dabpdbdp2 2dbpddbocabcd4ag d ag deppef fb h c bh c【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 根据差不变原理，要求平行四边形 phcf 的面积与平行四边形 pgae 的面积差，相当于求平行四边 形 bcfe 的面积与平行四边形 abhg 的面积差如右上图，连接 cp 、 ap 1由于 s +s =s +s +s = s ，所以 s -s =s dbcp dadp dabp dbdp dadp abc

35、d dbcp dabp dbdp而 sdbcp1 1= s ， s = s ，所以 s -s =2 s -s =2 s =16 (平方分米) bcfe dabp abhg【答案】16【例 23】 如右图，正方形 abcd 的面积是 20 ，正三角形 dbpc 的面积是15 ，求阴影 dbpd 的面积apdapdb c【考点】三角形的等高模型 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】 连接 ac 交 bd 于 o 点，并连接 po 如下图所示，ob c可得 po / / dc ，所以 ddpo 与 dcpo 面积相等(同底等高)，所以有：s +s =s +s =s ，dbpo dcpo dbpo

36、dpdo dbpd1 1因为 s = s = 20 =5 ，所以 s =15 -5 =10 4 4【答案】10【巩固】如右图，正方形 abcd 的面积是12 ，正三角形 dbpc 的面积是 5 ，求阴影 dbpd 的面积apdapdb cob c【考点】三角形的等高模型 【难度】4 星 【题型】解答【解析】 连接 ac 交 bd 于 o 点，并连接 po 如右上图所示，可得 po / / dc ，所以 ddpo 与 dcpo 面积相等(同底等高)，所以有:s +s =s +s =s ，dbpo dcpo dbpo dpdo dbpd1因为 s = s =3 ，所以 s =5 -3 =2 dbo

37、c abcd dbpd【答案】2【例 24】 在长方形 abcd 内部有一点 o ，形成等腰 daob 的面积为 16，等腰 ddoc 的面积占长方形面积的 18% ，那么阴影 daoc 的面积是多少？dcod daob abcdabcd22 2 2 2dcoa b【考点】三角形的等高模型 【难度】4 星 【题型】解答【解析】 先算出长方形面积，再用其一半减去 ddoc 的面积(长方形面积的 18% )，再减去 daod 的面积，即 可求出 daoc 的面积1 1根据模型可知 s +s = s ，所以 s =16 （ -18%）=50 ，2 2又 daod 与 dboc 的面积相等，它们的面积

38、和等于长方形面积的一半，所以 daod 的面积等于长方 1形面积的 ，4所以 sdaoc=sdacd-sdaod-sdcod=12s -25%s -18%s =25 -12.5 -9 =3.5 abcd abcd abcd【答案】3.5【例 25】 如右图所示，在梯形 abcd 中， e 、 f 分别是其两腰 ab 、 cd 的中点， g 是 ef 上的任意一点，已知 dadg 的面积为15cm 是cm 22，而 dbcg 的面积恰好是梯形 abcd 面积的720，则梯形 abcd 的面积a da degfegfb cbc【考点】三角形的等高模型 【难度】4 星 【题型】解答【关键词】陈省身杯

39、，六年级【解析】 如果可以求出 dabg 与 dcdg 的面积之和与梯形 abcd 面积的比，那么就可以知道 dadg 的面积占 梯形 abcd 面积的多少，从而可以求出梯形 abcd 的面积如图，连接 ce 、 de 则 s =s ， s =s ，于是 s +s =s daeg ddeg dbeg dceg dabg dcdg dcde要求 dcde 与梯形 abcd 的面积之比，可以把梯形 abcd 绕 f 点旋转180，变成一个平行四边形如 下图所示：1从 中 容 易 看 出 dcde 的 面 积 为 梯 形 abcd 的 面 积 的 一 半 ( 也 可 以 根 据 s = s ，dbe

40、c dabc1 1 1 1s =s = s ， s +s = s + s = s 得来)daed dafd dadc dbec daed dabc dadc abcd1 7 3那么，根据题意可知 dadg 的面积占梯形 abcd 面积的 1 - - = ，所以梯形 abcd 的面积是2 20 20315 =100cm202小结：梯形一条腰的两个端点与另一条腰的中点连接而成的三角形，其面积等于梯形面积的一半， 这是一个很有用的结论本题中，如果知道这一结论，直接采用特殊点法，假设 g 与 e 重合，则 dcde22222222的面积占梯形面积的一半，那么 dadg 与 dbcg 合起来占一半【答案

41、】100【例 26】 如图所示，四边形 abcd 与 aegf 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等fa bgd e cfa bgd e c【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等 高的平行四边形面积的一半证明：连接 be (我们通过 abe 把这两个看似无关的平行四边形联系在一起)1在平行四边形 abcd 中， = ab ab 边上的高，abe1 = s abe wabcd1同理， = s ，平行四边形 abcd 与 aegf 面积相等abe y aegf【答案】证明：连接 be

42、(我们通过 abe 把这两个看似无关的平行四边形联系在一起)在平行四边形 abcd 中， 1= s abewabcdabe=12ab ab 边上的高，同理，abe1= s ，平行四边形 abcd 与 aegf 面积相等 y aegf 【巩固】如图所示，正方形 abcd 的边长为8 厘米，长方形 ebgf 的长 bg 为10 厘米，那么长方形的宽为几厘米？eeababffdgcdgc【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 本 题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等 ( 长方形和正方形可以看作特殊的平 行四边形)三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半

43、证明：连接 ag (我们通过 abg 把这两个长方形和正方形联系在一起)1在正方形 abcd 中， = ab ab 边上的高，abg1= s (三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半) abg wabcd1同理， = s abg efgb 正方形 abcd 与长方形 efgb 面积相等 长方形的宽 =8 8 10 =6.4 (厘米) 【答案】6.4【例 27】 如图，正方形 abcd 的边长为 6，ae1.5，cf2长方形 efgh 的面积为 hadegbfc【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】走美杯，5 年级，决赛，第 8 题，10 分，6 年级，决赛，

44、第 9 题，10 分【解析】 连接 de，df，则长方形 efgh 的面积是三角形 def 面积的二倍。三角形 def 的面积等于正方形 的面积减去三个三角形的面积：66-(61.5+4.54+26)2=16.5，所以长方形的面积为 33。【答案】33【例 28】 如图，abcd 为平行四边形，ef 平行 ac，如果 v ade 的面积为 4 平方厘米求三角形 cdf 的面 积d cfd cfaebaeb【考点】三角形的等高模型 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】 连结 af、ce s =s ； s =s ； v ade v ace vcdf v acf又ac 与 ef 平行， s =sv

45、 ace v acf s =s =4 (平方厘米) v ade vcdf【答案】4【巩固】如右图，在平行四边形 abcd 中，直线 cf 交 ab 于 e ，交 da 延长线于 f ，若 =1 ，求befade的面积cb cbed afed a f【考点】三角形的等高模型 【难度】4 星 【题型】解答【解析】 本 题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等 ( 或夹在一组平行线之间的三角形面积 相等)和等量代换的思想连接 ac ab cd ， s =sade ace同理 ad bc ， s =s acf abf又 s =s +s ， s =s +s ， s =s ，即 s =s =1

46、acf ace aef abf bef aef ace bef bef ade【答案】1【例 29】 梯形 abcd 中，ae 与 dc 平行， sdabe=15 , sdbcf=.adfbec【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】走美杯，初赛，六年级，第 4 题【解析】 连结 de，因为 ae 与 dc 平行，根据蝴蝶定理易知 sddef=sdcef，同样可知 sdabf=sddef，所以sdabf=sdcef，那么 s =s =15dabe dbcf。【答案】15【例 30】 图中两个正方形的边长分别是 6 厘米和 4 厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 4 4 2 =8 【答案】8【例 31】 如图，有三个正方形的顶点 d 、g 、k 恰好在同一条直线上，其中正方形 gfeb 的边长为 10 厘米， 求阴影部分的面积d cd cgfpg fpooqhkqhka b e a be【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 对于这种几个正方形并