数值计算方法 练习题

1、数值计算方法练习题习题一1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，试指出它们有几位有效数字以及它们的绝对误差限、相对误差限。（1）；（2）；（3）；（4）（7）；（5）；（6）；2.为使下列各数的近似值的相对误差限不超过效数字？，问各近似值分别应取几位有3.设均为第1题所给数据，估计下列各近似数的误差限。（1）；（2）；（3）4.计算为什么？（1），取，利用下列等价表达式计算，哪一个的结果最好？；（2）；（3）（4）5.序列满足递推关系式若（三位有效数字），计算时误差有多大？这个计算过程稳定吗？6.求方程的两个根，使其至少具有四位有效数字（要求利用。7.利用等式变换使下列表达式的计算结果比较精

2、确。（1）；（2）（3）；（4）8.设，求证：（1）（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差增大；反向递推时误差函数减小。9.设x0,x*的相对误差为，求f(x)=lnx的误差限。10.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。11.下列公式如何才比较准确？（1）（2）12.近似数x*=0.0310,是13.计算取四个选项：位有数数字。，利用式计算误差最小。1.已知习题二，求的二次值多项式。2.令求的一次插值多项式，并估计插值误差。3.给出函数估计截断误差。的数表，分别用线性插值与二次插值求的近似值，并0.40.389420.50.47943

3、0.60.564640.70.644220.80.717364.设，试利用拉格朗日余项定理写出以为节点的三次插值多项式。5.已知，求及的值。6.根据如下函数值表求四次牛顿插值多项式，并用其计算和的近似值。xf(x)1.6152.414501.6342.464591.7022.652711.8283.030351.9213.340667.已知函数的如下函数值表，解答下列问题（1）试列出相应的差分表；（2）分别写出牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式。xf(x)0.01.000.11.320.21.680.32.080.42.520.53.008.下表为概率积分的数据表，试问：（1）（2）时，积分为

4、何值时，积分？xp0.460.4846550.470.49374520.480.50274980.490.51166839.利用程在在0.3和0.4之间的根的近似值。各点的数据（取五位有效数字），求方10.依据表10中数据，求三次埃尔米特插值多项式。表10xy00113y911.依据数表11中数据，利用基函数方法，构造四次埃尔米特插值多项式。表11xyy0001212312.在上给出的等距节点函数表，用分段线性插值求的近似值，要使截断误差不超过，问函数表的步长h应怎样选取？13.将区间分成n等分，求在上的分段三次埃尔米特插值多项式，并估计截断误差。14、给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln

5、0.54的近似值并估计误差限15、在-4x4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少?16、若，求和17、若的值，这里pn+1.互异，求18、求证19、已知的函数表求出三次newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.20、给定f(x)=cosx的函数表用newton等距插值公式计算cos0.048及cos0.566的近似值并估计误差.21.求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足22.令明是-1,1上带权称为第二类chebyshev多项式，试求的表达式，并证的正交多项式序列.23、用最小二乘法求一个形

6、如的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差.24、填空题(1)满足条件(2)的插值多项式p(x)=().,则f1,2,3,4=()，f1,2,3,4,5=().(3)设为互异节点，为对应的四次插值基函数，则()，().(4)设序列，其中是区间0,1上权函数为(x)=x的最高项系数为1的正交多项式，则()，()习题三1.给出数据如下表所示，试用最小二乘法求一次和二次拟合多项式。xy1.000.22090.750.32950.500.88260.251.439202.00030.252.56450.503.13340.753.70611.004.28362.用最小二乘法求下列不相容方程组的近似

7、解。（1）（2）3.用最小二乘法求一个形如算均方误差。的经验公式，使它与下表中的数据相拟合，并计xy1919.02532.33149.03873.34497.84.在某次实验中，需要观察水份的渗透速度，测得时间t与水的重量w的数据见下表。设已知t与w之间的关系为，试用最小二乘法确定参数a、s。t(秒)w(克)14.2224.0243.8584.59163.44323.02642.595.试构造点集上的离散正交多项式系。并利用所求的离散正交多项式系，对第二题中的数据求二次拟合多项式。6.现测量长度和米、米。试合理地决定长度和米，为了提高测量的可靠性，又测量到的值。习题四1.确定下列求积公式中的特

8、定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式具有的代数精度。（1）；（2）；（3）；（4）；2.用辛甫生公式求积分的值，并估计误差。3.分别用复化梯形法和复化辛甫生法计算下列积分：（1），8等分积分区间；（2），4等分积分区间；（3），8等分积分区间；（4），6等分积分区间。4.用复化梯形公式求积分差不超过e（不计舍入误差）？，问将积分区间a,b分成多少等分，才能保证误5.导出下列三种矩形公式的项（1）；（2）；（3）提示：利用泰勒公式。6.用龙贝格公式计算下列积分，要求相邻两次龙贝格值的差不超过。（1）；（2）；7.根据等式以及当n=3,6,12时的三个值，利用外推算法求的近似值。8

9、.分别用下列方法计算积分，并比较结果精度（积分准确值。（1）复化梯形法，n=16；（2）复化辛甫生法，n=8；（3）龙贝格算法，求至r2；（4）三点高斯勒让德公式；（5）五点高斯勒让德公式。9.试确定下面求积分式的待定参数，使其代数精度尽可能高。10.已知f(x)的值见表6-13。用三点公式求函数阶导数值，并估计误差。在x=1.0,1.1,1.2处的一11.用二阶三点公式求函数在x=1.2处的二阶导数值（利用数表6-13）。xf(x)1.00.250001.10.226761.20.2066112.用中点公式的外推算法求二次。在x=2处的一阶导数值，取h=0.8开始，加速13、分别用复合梯形公

10、式及复合simpson公式计算下列积分.14、用simpson公式求积分，并估计误差15、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.(1)(2)(3)16、计算积分，若用复合simpson公式要使误差不超过，问区间要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间应分为多少等分?17、用romberg求积算法求积分，取.18、用三点gauss-legendre求积公式计算积分.19、用三点gauss-chebyshev求积公式计算积分.习题五1.用列主元素法解下列方程组(1)；(2)；(3)对(1)(2)两题观察每步消元结果的系数矩阵有何特点，右

11、下方矩阵是否对称，列主元在何处，消元过程是否符合上题结论。2.用追赶法解下列方程组（1）（2）3.求第1题及第2题中系数矩阵a的lu分解，并用此分解法解对应的线性方程组。4.给定5、用gauss消去法求解下列方程组.，求及。6、用列主元消去法求解方程组并求出系数矩阵a的行列式deta的值.7、用doolittle分解法求习题5(1)方程组的解.8、下述矩阵能否作doolittle分解，若能分解，分解式是否唯一?9、用追赶法解三对角方程组ax=b，其中10、用平方根法解方程组11、设，证明12、设13、设为计算a的行范数，列范数及f-范数和2范数.上任一种范数，是非奇异的，定义，证明14、求下面

12、两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计.，即，即15、是非题（若是在末尾（）填+,不是填-）：题目中（1）若a对称正定,（2）定义（3）定义（4）只要,则是上的一种向量范数（）是一种范数矩阵（）是一种范数矩阵（），则a总可分解为a=lu,其中l为单位下三角阵，u为非奇上三角阵（）（5）只要，则总可用列主元消去法求得方程组的解（）（6）若a对称正定,则a可分解为（）（7）对任何都有（8）若a为正交矩阵，则，其中l为对角元素为正的下三角阵（）（）习题六1.对下列方程组考察用雅可比迭代法与高斯塞德尔迭代法是否收敛？若收敛，写出其迭代格式；若下收敛，能否将方程变形，使之用雅可比迭代法或高斯塞德尔迭代法

13、时收敛？（1）；（2）；（3）；（4）；2.试分析用雅可比迭代法和塞德尔迭代法连续迭代5次求线性方程组的解（取初值）3.用雅可比迭代法解下列方程组。（1）（2）取，并判别此迭代是否收敛？4.用塞德尔迭代法解方程组。取，并判别此迭代是否收敛？5.证明对于任意的矩阵a，序列6.方程组收敛于零矩阵.(1)考查用jacobi法和gs法解此方程组的收敛性.(2)写出用j法及gs法解此方程组的迭代公式并以为止.7.设方程组计算到证明:解此方程的jacobi迭代法与gauss-seidel迭代法同时收敛或发散.8.下列两个方程组ax=b，若分别用j法及gs法求解，是否收敛?9.设，deta0，用,b表示解方

14、程组ax=f的j法及gs法收敛的充分必要条件.10.用sor方法解方程组(分别取=1.03,=1,=1.1)精确解，要求当时迭代终止，并对每一个值确定迭代次数.11.对上题求出sor迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速度，并求j法与gs法的渐近收敛速度.若要使次?12.填空题那么j法gs法和sor法各需迭代多少(1)要使应满足（）.(2)已知方程组，则解此方程组的jacobi迭代法是否收敛（）.它的渐近收敛速度r(b)=（）.(3)设方程组ax=b,其中代矩阵是（）.(4)用gs法解方程组件是a满足（）.(5)给定方程组时sor迭代法收敛.其j法的迭代矩阵是（）.gs法的迭，其中a为实数，方法收敛

15、的充要条,a为实数.当a满足（），且02习题七1.判断下列方程有几个实根，并求出其隔根区间。（1）（3）2.方程使其误差不超过；（2）；（4）在区间（3，4）中有一实根，若用二分法求此根，问应将区间对分几次？并请用二分法求此根。3.下列方程各有一实根，判别能否直接将其写成迭代格式而后求解？如不能，将方程变形，给出一个收敛的迭代格式。（1）4.求方程；（2）的隔根区间，对方程的下列四种等价变形，判断各迭代格式的收敛性，选一种收敛最快的迭代格式，求出具有四位有效数字的近似根。（1）（4）5.考察方程6.用牛顿法求出的方程表2-6（2）（3）有几个根，选择合适的迭代格式求这些根，允许误差根的迭代结果

16、见表2-6，试估计所求根的重数。k01xk0.750.7527011xkxk0.0027023450.7547950.7563680.7575520.75844410.002080.001570.001180.0008897.用二分法求方程8.求方程并建立相应迭代公式.的正根，使误差小于0.05.在=1.5附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，(1)，迭代公式.(2),迭代公式.(3)，迭代公式.试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根.9.设方程的迭代法(1)证明对,均有,其中为方程的根.(2)取=4,求此迭代法的近似根，使误差不超过,并列出各次迭代值

17、.(3)此迭代法收敛阶是多少?证明你的结论.10给定函数，设对一切x,存在，而且.证明对的任意常数,迭代法均收敛于方程的根.11.用steffensen方法计算第12题中(2)、(3)的近似根，精确到12用newton法求下列方程的根，计算准确到4位有效数字.(1)(2)13.应用newton法于方程在=2附近的根.在=1附近的根.,求立方根的迭代公式，并讨论其收敛性.321230,a=141a=1411031.已知矩阵习题八411214试用格希哥林圆盘确定a的特征值的界。2.设x=(x1,x2,.,x3)t是矩阵a属于特征值l的特征向量，若x=xi，nl-aaiii试证明特征值的估计式j=1

18、232a=10343613.用幂法求矩阵的强特征值和特征向量，迭代初值取y621a=231ij.(0)=(1,1,1)t。4.用反幂法求矩阵111最接近6的特征值和特征向量，迭代初值取y(0)=(1,1,1)t。5.设arnn非奇异，a的正交分解为a=qr，作逆序相乘a1=rq，试证明（1）若a对称则a1也对称；（2）若a是上hessenberg阵，则a1也是上hessenberg阵。a=6.设矩阵1112（1）任取一非零向量作初始向量用幂法作迭代，求a的强特征值和特征向量；（2）用qr算法作一次迭代，求a的特征值；（3）用代数方法求出a的特征值和特征向量，将结果与（1）和（2）的结果比较。2

19、01a=02-17.设矩阵1-11（1）用householder变换化a为对称三对角阵a1。（2）用平面旋转阵对a1进行一步qr迭代计算出a2。8.用带位移的qr方法计算下列矩阵的全部特征值。121421(1)a=010,(2)a=0233100119.设arnn，且已知其强特征值l1和对应的特征向量x(1)，（1）证明：若构造householder阵h使hx=ke（常数k0,e=(1,0,.,0)trn），(1)11hah=1则必有l0xa1其中a1r(n-1)(n-1),xr1(n-1)，且a的其余n-1个特征值就是a1的特征值。3-2为例，已知l=4,x(1)=(2,1)t，用以上方法构

20、造h阵，并求出a（2）以32a=1的第二个特征值l2。10.对以下的实对称阵用qr方法求其全部特征值。3104-11(1)a=142,(2)a=021-13-21-23习题九1.取步长h=0.1，分别用欧拉法与改进的欧拉法解下列初值问题（1）；（2）准确解：（1）；（2）；2.用四阶标准龙格库塔法解第1题中的初值问题，比较各法解的精度。3.用欧拉法计算下列积分在点处的近似值。4.求下列差分格式局部截断误差的首项，并指出其阶数。（1）（2）（3）（4）5.用euler法解初值问题位).6.用改进euler法和梯形法解初值问题确解相比较.7.证明中点公式(7.3.9)部截断误差主项.取步长h=0.

21、1，计算到x=0.3(保留到小数点后4取步长h=0.1,计算到x=0.5，并与准是二阶的，并求其局8.用四阶r-k方法求解初值问题9.对于初值问题10.(1)用euler法求解，步长h应取在什么范围内计算才稳定?11.(2)若用梯形法求解，对步长h有无限制?12.(3)若用四阶r-k方法求解，步长h如何选取?13.用四步四阶的adams显式方法求解初值问题取h=0.1.取步长h=0.2.14.用形如15.试确定参数的线性二步法解，使方法具有尽可能高的阶数，并求出局部截断误差主项.习题一1.（1）5，；（2）2，；（3）4，；（4）5，；（5）1，；（6）2，；（7）6，2.；3.（1）；（2）

22、；（3）4.第（3）个结果最好5.不稳定。从计算到时，误差约为6.，7.（1）；（2）；（3）；（4）。9.求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，有已知x*的相对误差满足故，而，即10.直接根据定义得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，11.要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。（1）（2）12.3位13.习题二1.2.；，介于x和0，1决定的区间内；，当时。3.0.54667，0.000470；0.54714，0.0000294.5.1，06.，7.向前插值公式向后插值公式8.（1）；（2）9.0.337648910.11.12

23、.13.14、解仍可使用n=1及n=2的lagrange插值或newton插值,并应用误差估计。线性插值时，用0.5及0.6两点，用newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次newton插值误差限故，15、解：用误差估计式，令因得16、解：由均差与导数关系于是17、解：，由均差对称性可知当有而当pn1时于是得18、解：只要按差分定义直接展开得19、解：根据给定函数表构造均差表当n=3时得newton均差插值多项式n3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3)由此可得f(0.23)n3(0.23)=0.

24、23203由余项表达式可得由于20、计算式，用n=4得newton前插公误差估计其中计算时用newton后插公式（5.18)误差估计得这里仍未0.56521、解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处可先造它满足使，显然p(x)=x2(2-x)+ax2(x-1)2由p(2)=1求出a，于是，再令22、解：因23、解：本题给出拟合曲线数，即，故法方程系法方程为解得最小二乘拟合曲线为均方程为24、解答：（1）（2）（3）（4）习题三1.，2.（；1）（2），其中c为任意常数3.4.，5.，6.，。1.（1）精度为3；（2），3；习题四，代数，代数精度为（3），或，代数精度2；（4），代数

25、精度为3。2.，3.（1），；（2）；（3），；（4），4.，5.（1）；（2）；（3）6.（1），7.3.1415800728.（1）1.099768；（2）1.09862；（3）1.098612；（4）1.098039；（5）1.098609.10.，11.0.260012.0.35355413、解本题只要根据复合梯形公式及复合simpson公式（6.13）直接计算即可。对出，取n=8,在分点处计算f(x)的值构造函数表。按复合梯形公式求，按复合simpson公式求得，积分14、解：直接用simpson公式得估计误差，因，故15、解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。

26、（1）令代入公式两端并使其相等，得解此方程组得，于是有再令，得故求积公式具有3次代数精确度。（2）令代入公式两端使其相等，得解出得而对（3）令不准确成立，故求积公式具有3次代数精确度。代入公式精确成立，得解得，得求积公式对故求积公式具有2次代数精确度。16、解：由simpson公式余项及得即对梯形公式同样，取n=6，即区间分为12等分可使误差不超过，由余项公式得即取n=255才更使复合梯形公式误差不超过17、解：本题只要对积分果如下表所示。使用romberg算法（6.20），计算到k3，结于是积分，积分准确值为0.71327218、解：本题直接应用三点gauss公式计算即可。由于区间为，所以先做变换于是本题精确值19、解：本题直接用gauss-chebyshev求积公式计算即于是，因n=2,即为三点公式，于是，即故习题五1.（1）；（2）；（3）2.（1）(1.2,1.4,1.6,0.8)t；（2）(1.5,2,1,1)t3.对第1题中的系数矩阵（1）对第2题中的系数矩阵；（2）（1）（2）4.8，5；6，85.解本题是gauss消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。故6.解：先选列主元，2行与1行交换得消元3行与2行交换消元回代得解行列式得7