09章几何光学

1、第九章 几何光学 几何光学的三 个基本定律 球面折射 透镜 放大镜 光学 显微镜 几何光学是研究光波波长趋近于零的 光传播的问题. (1)直线传播定律 (2)反射和折射定律 光在均匀的介质中沿直线传播. (3)光的独立传播定律和光路可逆原理 光在传播过程中与其他光束相遇时,各光束都各 自独立传播,不改变其传播方向.光沿反方向传 播,必定沿原光路返回. 9-1 三个基本实验定律 光轴(optical axis)：若光学系统由球面组成,它 们的球心位于同一直线上,则称为共轴球面系统, 这条直线为该光学系统的光轴.实际上,光学系 统的光轴是系统的对称轴. 物像共轭：把物放在像的位置,则其像就成在 物

2、原来的位置上. v 基本概念 一.单球面折射 9-2 球面折射 v 单球面折射定律 根据折射定律得: 1122 sinsinnini 由于OA为近轴光线,AP的长度比u、v、r 都小 得多,所以 1 12 2 nin i OIC n1 n2 v i1 i2 u r M P N A 由于 1 i 2 i 有 12 ()()nn OIC n1 n2 v i1 i2 u r M P N A 因为 、都很小,所以有 tan AP u tan AP v tan AP r (1) 这就是单球面折射公式. 代入(1)式,可得 1221 nnnn ur v 符号规则： 实物、实像的距离取正,虚物、虚像的距离取

3、负; 实际入射光线对着凸面时r取正,实际入射光线对 着凹面时r取负.此外,n1、n2,的顺序以实际入射光 的行进为准. 物高和像高垂直于光轴,向上为正,反之为负. v 单球面的焦点(focal point)、焦距(focal length) 由折射公式 高斯公式 12 1 ff u v 可知： F1 n1n2 F2 n1n2 P P f1 f2 1221 nnnn ur v 2 2 21 n fr nn v当u, 1 1 21 n ufr nn 当v, v 单球面成像放大率 横向放大率 h h tan h i u tan h i v tan tan hi hui v 由图中可看出 F1 F2

4、M P N h h i uv i 2 1 sin sin ni in 2 1 tansin tansin nii iin 1 2 nh hn u v 由折射定律知： 所以 考虑到符号法则,所以 F1 F2 M P N h h i uv i 当0时,物与像在主光轴的同一侧,为正立的 像,物与像一虚一实. 当0 时,物与像在主光轴的两侧,为倒立的 像,实物成实像,虚物成虚像. 横向放大率决定于像距与物距.物平面和像平面 上的各点放大率相同. 光焦度：是由折射球面的曲率半径和它两边介 质的折射率所决定的常量表示该球面的聚光本 领. r nn 12 单位 m1 例 一玻璃半球的曲率半径为R,折射率为1

5、.5,其 平面的一边镀银.一物高为h,放在曲面顶点前2R 处.求：(1)由曲面所成的第一个像的位置.(2)这 一光学系统所成的最后的像在哪里? 解： 1221 1 nnnn ur v (1)球面折射公式 其中RrRunn,2, 5 . 1, 1 21 得 v 即入射光线经球面折射后,成为平行光线. 2R h h (2)平行光线照在反射镜 上,仍以平行光线反射,镜 面反射的光线,再次经过 球面折射. 此时,光线自右向左进行,球面右方是物空间,折 射率为 n1=1.5,左方是像空间,折射率为 n2 =1. 代入单球面折射公式得 即最后所成的像在球面顶点左方2R处,与物体的 位置重合,由图可见是倒立

6、的. 1.511 1.5 R v 2Rv 2R h h 二.共轴球面系统 v 共轴球面系统的逐次成像 物体经过一共轴球面系统所成的像可采用逐次 球面成像法。 即先求出物体经第一个单球面折射后所成的像, 然后以此像作为第二个折射面的物。 再求出它通过第二个折射面后所成的像,以此类 推,直到求出经最后一个折射面后所成的像为止, 该像即为整个球面系统所成的像. 横向放大率为 1 23 123 1123 kk k k hhh hh hh h hh 系统总的横向放大率为各单球面的横向放大率 之乘积. 例 一玻璃球(n=1.5)的半径为10cm,一点光源置于 球前40cm处,求近轴光线通过玻璃球后所成的像

7、. o p1p2 n=1.5 n=1n=1 I I1 40cm 60cm 20cm11.4cm 解得 v1=60cm 1 11.51.5 1 4010 v 解：对于第一折射面, n1=1,n2=1.5,u1=40cm, r=10cm, 代入单球面折射公式可得 若没有第二折射面,第一折射面所成的像I1应在P1点右侧 60cm处.由于I1在第二折射面后面(右侧),因此I1对于第二 折射面是一个虚物,物距为u2 40cm,这时n1=1.5,n2=1, r 10cm,代入单球面折射公式可得 o p1p2 n=1.5 n=1n=1 I I1 40cm 60cm 20cm 11.4cm 10 5 .111

8、 40 5 .1 2 v 解得 v2=11.4cm 因此最后所成的实像在玻璃球后11.4cm处. v 共轴球面系统的基点 一对节点 F1 F2 B1B2 H1 H2 A1A2 (1) (2) (3) N1N2 一对主点 一对焦点 (1) (2) (3) 作图法求像 F1 F2 B1B2 H1 H2 A1A2 N1N2 透镜(lens)是由两个共轴 折射面系统组成,两个折 射面之间是均匀透明介 质.透镜两折射面与主光 轴交点的距离 d 称为透 镜的厚度. 当d0时,两球面顶点重合为一点,称为光心. 若透镜的厚度与焦距相比可以忽略时,则称其为 薄透镜,厚度不可忽略者为厚透镜. 9-3 透镜 双凸平

9、凸弯凸 根据几何形状透镜分为二类： 一类中间厚边缘薄的叫凸透镜. 一类中间薄边缘厚的叫凹透镜. 双凹平凹弯凹 根据透镜对光线的作用也分为二类： 会聚透镜 发散透镜 对第一折射面 00 11 nnnn ur v 对第二折射面 00 12 nnnn r vv 一.薄透镜 v 薄透镜公式 0 012 1111 () nn unrr v 两式相加得 若透镜处在空气中,这时n0=1,则上式可简化为 12 1111 (1)()n urr v OI1 I n0n0 n u=u1 u2=- v1 v2= v 可以证明,两个焦距相等,其值为 薄透镜的成像公式 1 0 012 11nn f nrr fu 111

10、v 透镜的焦距越短,它对光线的会聚或发散的本领 越强,通常用焦距的倒数来表示透镜的会聚或发 散的本领,称为透镜的焦度,用表示, f 1 当焦距以米为单位时,焦度的单位为屈光度(D). 在眼镜业中,焦度的单位是度,它们之间的关系 是1屈光度等于100度. v 薄透镜的横向放大率： 01 01 () nhn hnun u vv v v 解：先假设光线从凸面入射,这时 r1=30cm, r2=, n=1.50, 代入焦距公式 中可得 cm60cm) 1 30 1 )(15 . 1 ( 1 f 由此可见,不管光线从那一面入射,焦距都为60cm,第一焦 距和第二焦距相等. 再假设光线从平面入射,这时r1

11、= ,r2 30cm, n=1.50,代入 焦距式中可得 cm60cm) 30 11 )(15 . 1 ( 1 f 例 求平薄透镜在空气中的焦距,设透镜的折射 率为1.50. r=30cm 由两个或两个以上的薄透镜组成的共轴系统叫 做薄透镜组. 透镜组的成像可依次应用薄透镜成像公式来解 决,即先求出第一透镜所成的像,将这像作为第 二透镜的物(实物或虚物),再求出第二透镜所成 的像,依次类推,得出最后一个透镜的像,便是透 镜组的像. v 薄透镜的组合 两个薄透镜密切接触时,物距u 和像距v 的关系, 如图所示,物体O通过第一透镜成像于I1,相应的 物距u和像距v1的关系为 11 111 fu v

12、 u1=u v1=- u2 v2=v L1L2 I1I O 得 或 21 1111 ffu v fu 111 v 式中表示 f 透镜组的等效焦距.如果用1、2和 分别表示第一透镜、第二透镜和透镜组的焦度, 则有 =1+2. 对于第二个透镜,u2=-v1(虚物), 故有 21 111 f vv u1=u v1=- u2 v2=v L1L2 I1I O v 薄透镜成象作图法 根据焦点和光心的特征,对于一个发光物点可找 到三条特殊光线. (1)过物方焦点的入射光,其折射光线平行于主 光轴. (2)平行于主光轴的入射光,其折射光线过像方 焦点. (3)过光心的入射光线,其折射光线不发生偏折. 我们可以

13、利用透镜的三条特殊光线作图,确定物 体通过透镜后像的性质和位置. 根据上述三条特殊光线： (1)平行主光轴的光 线,经过透镜后过焦 点F2. (2)通过透镜光心的 光线,方向不变. (3)过F1焦点的光线, 经过透镜后平行主光 轴. v 凸透镜的特殊光线 主光轴 O 光心 凸透镜符号 焦点F1 焦点F2 根据上述三条特殊光线： (1)平行主光轴的光线, 经过凹透镜后反向延 长线过焦点F2. (2)通过凹透镜光心的 光线,方向不变. (3)过F1焦点的光线, 经过凹透镜后平行主 光轴. v 凹透镜的特殊光线 主光轴 O 光心 凹透镜符号 焦点F1焦点F2 例 两个透镜L1和L2组成共轴透镜组,两

14、者的焦距 分别为f1=15.0cm与f2=25.0cm,它们之间的距离d =70.0cm,若一物体在L1前20.0cm处,求此透镜组所 成的像在何处？像的大小和性质. 解：对于薄透镜L1, 其物距和焦距分别为 u1=20.0cm, f1=15.0cm, 代入薄透镜公式得 0 .15 11 0 .20 1 1 v 解得 v1=60.0cm 对于薄透镜L2,其物距和焦距分别为u2=10.0cm, f2=25.0cm,代入薄透镜公式得 0 .25 11 0 .10 1 2 v 解得 v2 16.7cm 12 6016.7 5.01 2010 成一放大的虚像. F1 F1 L1 L2 F2F2 例 上

15、例中若两透镜间的距离d=45.0cm,求此透镜 组所成的像又在何处？ 解：根据上例,第一透镜成像情况不变,对于第二薄透镜, 其物距u215.0cm,是一虚物,将u2代入薄透镜公式可得 解得 此透镜组所成的像为一实像,位于第二薄透镜9.40cm处. 成像光路如图所示. 0 .25 11 0 .15 1 2 v F1 F1 L1 L2 F2F2 v2=9.40cm 二.柱面透镜 柱面透镜(cylindrical lens)又 叫做圆柱镜,简称柱镜,它的 表面是圆柱面的一部分,柱 面透镜的横截面和球面透镜 的截面一样,对于同一水平 面上入射的光束有会聚和发 散作用. 在垂直方向的截面就像一块平板玻璃

16、,对于在 垂直平面上入射的光束不改变行进方向,所以, 一个点光源发出的光线经柱面透镜后所成的 像就变成一条平行于透镜纵轴的直线,如图所 示. B B2 2 A A2 2 B B1 1 A A1 1 B B3 3 A A3 3 I I2 2 I I1 1 I I3 3 眼睛 眼睛是一个由折射率不 同的角膜、水状液、晶 状体、玻璃状液等多种 媒介组成的比较复杂的 共轴球面系统,古尔斯特 兰德(AGullsttand)计算 了这一系统的光学参数, 根据这些参数可以设计 出和眼睛屈光力相似的 模型眼. v 眼的光学系统 古尔斯特兰德 (Allvar Gullstrand, 18621930) 瑞典著名

17、眼科学专家, 因在眼睛屈光学方面 的杰出贡献,1911年获 诺贝尔生理学及医学 奖. v 简约眼：生理学上把眼睛简化为一个单球 面折射系统,称为简约眼. f1= 15mm f2 =15mm 5mm F2 F1 C n=1.33 r 眼睛最大调节时能看清的 物点到眼睛之间的距离称 为近点. 视 力 正 常 者 的 近 点 约 为 1012cm. 眼睛不调节时能看清的物 点到眼睛之间的距离称为 远点. 视力正常者的远点在无穷 远处,即平行光进入眼睛后 刚好会聚于视网膜上. 在光照适宜的条件下,不致引起眼睛过分疲劳的 距离大约是25cm,称为明视距离. v 眼睛能够改变焦度的本领叫做调节. v 视角

18、(viewing angle)：从物体上两点发出到眼 节点N的光线所夹的角度. N A B v 视力(vision) (即眼的分辨本领)： 最小视角：刚能分辨的两物点对眼的视角. 1 视力 能分辨的最小视角 式中最小视角以分()为单位. 屈光不正是指眼在不使用调节时,平行光线经过 眼的屈光作用后,不能在视网膜上形成清晰的物 像,而是在视网膜前或后方成像.屈光不正包括近 视、远视和散光. v 眼睛的屈光不正与矫正 近视眼 模糊的像清晰的像凹透镜凹透镜 轴性近视：是指眼轴较长而眼的屈光力正常. 屈光性近视：是指眼轴正常但眼的屈光力增强. 远视眼 清晰的像 模糊的像 凸透镜 远视眼形成的原因主要是：

19、眼轴过短如小眼球; 眼轴正常而屈光系统的屈光力过弱,如角膜的弧 度过平以及屈光指数偏低等. 散光眼 散光眼是指眼球的不同经线,甚至在同一经线上, 具有不同屈光力的一种屈光状态,因此,散光眼 不能将外界射入眼内的光线焦合在一个焦点上, 而是形成焦线,因而不能清晰成像,犹如眼球不 是一个球形而是一个橄榄球形. 老花眼: 老花眼是因年老后晶体硬化或部分硬化,对光感 调节不足,致近处物体的像不能成在在视网膜上, 而落在视网膜后面,而看不清楚近物. 清晰的像凸透镜 模糊的像 例 一近视眼的远点在1米处,问应配戴多少度的 眼镜,才能使其看清远方的物体. 解：戴上眼镜后无限远的物体应成一虚像于近 点处,即镜

20、前1米处,所以v 1m. 由薄透镜成像公式得 111 1f 度100D1 所以应配戴100度的近视镜. 例 一远视眼的近点在1.2m处,今欲看清眼前 12cm 处的物体,问应配戴多少度的眼镜. 解：12cm处的物体通过眼镜在近点处成一虚象, 即镜前1.2m处,所以u 0.12m, v 1.2m. 由薄透镜成像公式得 111 0.121.2f 度750D5 . 7 所以应配戴750度的远视镜. 位于主轴上的物点所发 出的宽光束由透镜折射 后,并不会聚于一个像点 而是成为弥漫的圆斑. 三.透镜的像差 v 球面像差 O I I O I 用一个光阑遮去透镜边 缘部分的光线,或者采用 凸凹透镜进行合理的组 合,就可以消除或部分消 除球面像差. v 色像差 色像差是由于非单色光的 物光束因透镜材料的折射 率随波长而变,使不同颜 色的物点成像于不同位置 上所形成的像差. 通常是将折射率不同的会 聚透镜和发散透镜组合起 来使一个透镜的色散被另 一透镜所抵消. 为了观察清楚微小物体或物体的细节,需要把物 体移近眼睛,以增大物体对眼睛的视角,使物体 在