微分中值定理的推广及应用

1、微分中值定理的推广及应用摘要：微分中值定理是微分学的基本定理，在高等数学解题中有着广泛的应用，本文将给出经过推广以后的广义微分中值定理，并通过多种方法对其证明，把微分中值定理中的闭区间推广到无限；开区间推广到无限区间；在证明过程中，通过引进参数函数将广义微分中值定理中的无限区间转化为有限区间，然后再利用微分中值定理的结论对其证明，从而达到证明无限区间上广义微分中值定理的目的。最后通过几个例子来说明广义微分中值定理在实际解题中的应用。关键词：微分中值定理 推广 应用一、引言 广义微分中值定理包括广义Rolle定理，广义形式Lagrange pge定理，广义Cauch中值定理。在广义微分中值定理的

2、证明过程中，我对每个定理的证明都给出了两种证明方法，虽然这两种方法表面看起来大同小异，但它是通过引进不同的参数函数证明所得，尢其在对广义形式Lagrange 中值定理证明中，这两种方法证明出来的结果不相同，但形式相同，这就是为什么我要把Lagrange 中值定理的推广称为广义形式Lagrange 中值定理的缘故。二、广义微分中值定理（一）广义Rolle定理引理1 若函数f(x)在有限区间内可导，且，则至少存在一点，使得 证明 则由题意可知：在上连续，在内可导，且=，由Rolle定理，则至少存在一点，使得 F()=0 而时，证毕注意：若将开区间换成半开半闭区间或，同样有，使F()=0，其证明与引

3、理的证明类似。定理 若函数f(x)满足条件：在区间上连续；在区间内可导；那么至少存在一点，使得 证法（一） 令，即，当,令，则，显然g(t)在(0,1)内可导，由引理可知,至少存在一点(使得g()=0，记，有g()=，而故()=0,即在（a,）内至少有一点，使得()=0， 证毕 证法（二） 取b0maxa,0, 注意:若将定理1中的区间,则当定理2 如果函数满足条件： 在区间 (二)广义形式Lagrange中值定理证明 作辅助函数F(x),使则F(x)在上连续,在内可导,由Lagrange中值定理定理3 如果函数f(x)满足条件: 定理4 如果函数f(x)满足条件: 注意: 在定理3和定理4的

4、证明过程中,由于作的参数函数不同,最后得到的f()不同。定理3中x(t) 定理4中x(t)对于同一个命题，由于函数x(t)的不同，而导致了整个命题的结果不同，这说明广义Lagrange定理的结果不唯一，但通过观察可以发现它们都含有一个关于的形式函数F()，且F()0，为此，我们把它称之为广义形式Lagrange中值定理。 我们都知道有限区间的Langrange中值定理可以推导出一些相关的推论，那么无限区间上的广义Langrange中值定理是否也有呢？回答当然是肯定的。推论1 若函数f(x)在（a，+）上可导，且 (三)广义Cauchy中值定理引理3 如果函数f(x)和F(x)满足条件： 都在有

5、限区间(a，b)内可导； 定理5 如果函数 f(x) 和 F(x) 满足条件：在区间上连续；在区间内可导；对,有 ；那么在)内至少有一点,使得: 证法（一） 令即当 显然 g(t)，G(t) 在(0,1)内可导,由引理3可知，在(0,1)内至少有一点，使得记即在 证毕 定理6 如果函数f(x)和F(x)满足条件：123 由以上证明可以发现：三大广义微分中值定理都是该定理的特殊形式，该定理是广义微分中值的一般形式，为此，我们把该定理称为一般形式的广义微分中值定理。三、广义微分中值定理的应用广义微分中值定理在数学分析解题中有着很重要的应用，尤其是在无限区间上证明存在性问题，解决不等式问题等方面有着广泛的应用，下面通过几个例子来说明广义微分中值定理在实际解题中的应用。 设不恒为常数的函数 则在参考文献：1 刘玉琏，数学分析M，北京：高等教育出版社，2003.2 同济大学应用数学系，高等数学M，北京：高等教育出版社，2002 3 (日)暂江诚夫，微积分讲解M，毛正中泽，成都：四川人民出版社，1984.4 TM菲赫金哥尔茨,微积分学教程M.叶彦谦等译.北京人民教育出社1980.5 游兆永,高等数学解题方法和技巧M,西安：陕西科学技术出版社,1981.6 北京邮电大学数学教研室，高等数学M,北京：北京邮电在学出版社,2003.7 费定辉等,基