毕业设计（论文）环型二级倒立摆LQR控制

1、环型二级倒立摆lqr控制作 者 ：系 别 ： 专 业 ：学 号 ： 指导教师 ： 日期：二零零六年五月二十日摘要控制理论发展过程中，某一理论的正确性以及实际应用中可行性，往往需要一个按其理论所设计的控制器去控制一个典型对象来验证其控制策略的效果。倒立摆就是这样一个较为理想的实验装置。倒立摆本身是一个自然不稳定体，在控制过程中能有效地反映控制中的许多问题。倒立摆的典型性在于:作为一个装置，其成本低廉，结构简单，便于模拟，数字实现不同方式控制;作为被控对象，又相当复杂，是高阶次、不稳定、非线性、强耦合系统，只有采取行之有效的控制方法方能使之稳定。本文在环型二级倒立摆系统进行数学建模的基础上得出系统

2、的状态方程, 应用线性二次型最优控制策略, 对环型二级倒立摆进行控制器的设计与仿真实验，并给出了相应的实验结果。关键词: 倒立摆；最优控制；状态方程abstractthe inverted pendulum is an ideal equipment, which enables the possibility to validate the validity and the feasibility of some control theories, the inverted pendulum is a natural unstable equipment and can effectivel

3、y reflects many matters in the control process. the model of the inverted pendulum is: as an equipment, low cost, simple machinery, easy to perform all kinds of controls in simulation and digital; as a controlled object, quite complex, high orders, instability, non-linearity, strong coupling system.

4、 we can keep it stable through some control method. inverted pendulum system is a complicated , nonlinear , unstable system of high order. in the paper, it is discussed how to model the system of double inverted pendulums by using dynamics equation and then to t transform into a control problem of l

5、inearitied system. the optimized cont rolling policy with lqr cont roller is established on the matlab platform. the relevant experiment is also provided.keywords: lqr; inverted pendulum; optimal control目录概述.当前国内外控制理论发展概述 .倒立摆系统的历史 .倒立摆控制系统的发展动向 .现代控制在倒立摆系统稳定控制中的应用 . 对倒立摆系统研究的意义 .本文的主要工作 环型倒立摆系统数学模型

6、的建立 .环型倒立摆的特点 .lagrange方程的特点 .状态空间模型 .环型二级倒立摆系统数学模型的建立 线性二次型最优控制器（lqr）的设计 .线性二次型最优控制理论 .二次型最优控制理论 .加权矩阵的选取 .系统的可控性与可观测性 .环型二级倒立摆lqr调节器的设计 .设计要求 .理论分析 .实例分析.matlab实现结束语 致谢 参考文献 附录 1 概述在现代科学技术的许多领域中，自动控制技术起着越来越重要的作用。所谓自动控制，是指在没有人直接参与的情况下，利用外加的设备或装置(称控制装置或控制器)，使机器、设备或生产过程(统称被控对象)的某个工作状态或参数(即被控量)自动地按照预定

7、的规律运行。例如，数控车床按照预定程序自动地切削工件;化学反应炉的温度或压力自动地维持恒定:雷达和计算机组成的导弹发射和制导系统，自动地将导弹引导到敌方目标;无人驾驶飞机按照预定航迹自动升降和飞行;人造卫星准确地进入预定轨道运行并回收等，这一切都是以高水平的自动控制技术为前提的。自动控制系统的优劣，将直接影响到产量、质量、成本、劳动条件和预期目标的完成。因此，自动控制愈来愈受到人们的重视，进而在控制理论和技术应用方面也获得了飞速的发展。自动控制系统有多种分类方法。例如，按控制方式可分为开环控制、反馈控制、复合控制等;按元件类型可分为机械系统、电气系统、机电系统、液压系统、气动系统、生物系统等:

8、按系统功用可分为温度控制系统、压力控制系统、位置控制系统等;按系统性能可分为线性系统和非线性系统、连续系统和离散系统、定常系统和时变系统、确定性系统和不确定性系统等:按参据量变化规律又可分为恒值控制系统、随动系统和程序控制系统等。倒立摆装置被公认为自动控制理论中的典型试验设备，是控制理论教学和科研中不可多得的典型物理模型。通过对它的研究不仅可以解决控制中的理论问题，还能将控制理论设计的三个主要基础学科:力学、数学和电学(包含计算机)进行有机的综合应用，在多种控制理论与方法的研究和应用中，特别是工程实践中，存在一种可行性的试验问题，将其理论和方法得到有效的经验，倒立摆可为此提供一个从控制理论通往

9、实践的桥梁。倒立摆系统是一种严重非线性、多变量、强耦合和绝对不稳定的系统，倒立摆系统稳定与控制的研究在国外始于60年代，我国则从70年代中期开始研究。首先根据经典控制理论与现代控制理论应用极点配置法，设计模拟控制器。国内外专家学者先后控制了单倒立摆与二级倒立摆的稳定。随着徽机的广泛应用，又陆续实现了数控二级倒立摆的稳定。此外，由于智能控制理论的兴起，相继应用模糊理论与神经网络控制了二级倒立摆的稳定。近代机械控制系统中，如直升飞机、火箭发射、人造卫星运行及机器人举重物、做体操和行走机器人步行控制等等都存在有类似于倒立摆的稳定控制问题.倒立摆系统大概可以归纳为如下几类:悬挂式倒立摆、平行式倒立摆和

10、球平衡式倒立摆系统。倒立摆的级数可以是一级、二级、三级乃至多级，倒立摆系统的运动轨道可以是水平的，还可以是倾斜的(这对实际机器人的步行稳定控制研究更有意义)。早在60年代，人们就开始了对倒立摆系统控制的研究。1966年schaefer和cannon应用bang-bang控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置。在60年代后期，作为一个典型的不稳定、严重非线性系统的例证，倒立摆系统的概念被提了出来。人们习惯于用它来检验控制方法对不稳定、非线性和快速系统的控制处理能力。因而受到了普遍的重视。1.1当前国内外控制理论发展概述自动控制自从其产生以来，广泛的应用在工业、农业、交通运输和国防各个方面，凡是控制性

11、能要求较高的场合，都离不开自动控制。现代化的机械设备、生产线、车间，甚至整个工厂都是电气化和自动化的。它们由各种电动机、电器元件、半导体器件等设备，按一定规律组成系统，对生产过程进行自动控制。自动控制是一门理论性很强的工程技术，我们把实现这种技术的理论叫做“自动理论”。在国民经济各部门中，由于广泛应用了自动控制技术，改善了劳动条件，提高了产品质量和劳动生产率。近几十年来，随着电子计算机技术的发展和应用，在宇宙航行、导弹制导以及核动力等高新技术领域中，自动控制更具有特别重要的作用。不仅如此，自动控制技术的应用范围现己扩展到生物、医学、环境、经济管理和其它许多社会生活领域中，自动控制已成为现代社会

12、活动中不可缺少的重要组成部分。控制理论研究如何改进动态系统的性能以达到所需目标，这个广义定义包含了人类活动的许多方面。控制理论试图以定量方式描绘这些问题，并集中于寻求一些精确的数学描述方法。控制理论有两个目标:了解基本控制原理:以数学表达它们，使它们最终能用以计算进入系统的控制输入，或用以设计自动控制系统。更进一步说，控制科学不仅用以处理单个动态系统，还用以处理在观察输出和系统本身带有不确定性条件下的复杂动态系统。自动控制理论是研究自动控制共同规律的技术科学。它的发展初期，是以反馈理论为基础的自动调节原理，并主要用于工业控制。第二次世界大战期间，为了设计和制造飞机及船用自动驾驶仪、火炮定位系统

13、、雷达跟踪系统以及其它基于反馈原理的军用装备，进一步促进并完善了自动控制理论的发展。到战后，己形成完整的自动控制理论体系，这就是以传递函数为基础的经典控制理论，它主要研究单输入一单输出、线性定常系统的分析和设计问题。一般处理的系统是单变量的系统，数学模型简单，基本分析和结合的方法是基于频率法、根轨迹法、相平面法等，描述系统的数学模型是微分方程或传递函数。然而经典控制理论对干非线性时变系统却难以奏效。到了50年代中期，由于空间技术的发展，现代控制理论应运而生。现代控制理论主要研究具有高性能、高精度的多变量变参数系统的最优控制问题。现代控制理论是基于系统内部描述的状态方程进行时域分析的状态空间方法

14、、最优控制、最优滤波、系统辩识和自适应控制等等。现代控制理论运用状态空间理论解决了多输入多输出问题，对象的模型采用内部模型以解析运算为主要手段，实现某个或某几个性能指标的最优。所研究的对象可以为线性定常系统，也可以为非线性时变系统。现代控制理论也要求建立系统的数学模型，但对于实际的工业系统，不是每个工业被控对象都能建立数学模型，而且随着科学技术的突飞猛进，对工业过程控制的要求越来越高，不仅要求控制的精确，而且更注重控制的鲁棒性、实时性、容错性及对控制参数的自适应和自学习能力，另外需要控制的工业过程日趋复杂，过程严重的非线性和不确定性，使许多系统无法用数学模型精确描述，这样建立在数学模型基础上的

15、古典和现代控制方法将面临空前的挑战，同时也给智能控制方法的发展带来了良好的机遇。自动控制理论己经过八十余年的历程，具备了从经典到现代严谨的理论体系。自动控制概念渗入不同学科，状态空间描述方法广泛用于许多领域。自动控制理论对科技进步功不可没堪称二十世纪伟大科技成就之一。但如任何其他理论一样，也有其局限性，即仅当所研究的被控对象数学模型存在解析解时，才能求得控制律，而目前的数学只能求出线性和一些典型非线性情况的解析解。这就是说，控制理论所依赖的工具数学，限制了其应用。对于简单的被控对象，即使存在非线性，若控制要求不高，也可通过相对平衡点的小偏离线性化把所论问题规划到线性范畴，或可采用相平面等非线性

16、理论加以解决。而随着人类社会的进步，面对的被控对象日趋复杂，其非线性特性可能不符合小偏离线性化的条件，甚至难以建立数学模型，致使自动控制理论面临严峻的挑战。目前，自动控制理论还在继续发展，并且跨越学科界限，正向以控制论、信息论、仿生学为基础的智能控制理论深入。智能控制是人工智能，自动控制与计算机相结合的产物，利用人类智能实现控制目的。是被控系统的高度复杂性、高度不确定性以及人们对控制性能要求越来越高的产物。我们认为，智能控制系统具有能够处理高度非线性和复杂性的被控对象并对系统和环境的不确定性变化具有高度动态适应能力的自主系统，其本质是对动态的感知、学习和适应能力。其主要具有联想记忆和学习能力、

17、动态自适应能力和组织协调能力。现在最有潜力的控制方法主要有基于模糊逻辑的模糊控制系统，基于神经网络的神经控制系统以及基于知识的专家控制系统。1.2倒立摆系统的历史 自从20世纪50年代倒立摆系统成为控制实验室的经典工具以来，关于倒立摆控制的论述可以分为两个主要的方面: 1）理论方面:依靠计算机仿真对控制方法的可行性进行验证;2）实验方面:调查引起计算机仿真结果和实时控制之间性能差异的物理不确定性。 在理论方面，chung和litt对单轴倒立摆系统的动态进行了辨识，并分别设计了自适应自整定反馈控制器和pd反馈控制器来保持倒立摆在垂直向上方向的稳定。1989年，anderson和grantham运

18、用函数最小化和lyapunov稳定方法成功产生了一个优化反馈控制器。1992年，renders和soudak通过相平面分析，得到了一个线性控制器。1995年，任章等应用振荡控制理论，通过在倒立摆支撑点的垂直方向上加入一个零均值的高频振荡信号，改善了倒立摆系统本身的稳定性。1998年，蒋国飞等将q学习算法和bp神经网络有效结合，实现了状态未离散化的倒立摆的无模型学习控制。2001年，单波等利用基于神经网络的预测控制算法对倒立摆的控制进行了仿真。在两轴倒立摆方面，sabba把系统稳定尺度作为一个无限维不等式，从而避免了lyapunov方法。1996年，翁正新等，利用带观测器的状态反馈控制器对二轴倒

19、立摆系统进行了仿真控制。1997年，翁正新等利用同样的方法对倾斜导轨上的二轴倒立摆进行了仿真控制。2000年，刘妹琴等用进化rbf神经网络控制二轴倒立摆。1994年，sinha和joseph利用lyapunov-floquet变换得到了三轴倒立摆系统的计算机仿真模型(有三个控制输入)。2001年，李洪兴领导的模糊系统和模糊信息研究中心利用变论域自适应模糊控制的思想在国际上首次实现了四轴倒立摆的仿真;同年，肖军等提出一种基于三维模糊组合变量的控制方法，仿真结果证明了该方法的有效性。在数学模型方面，larcombe得到了在二维坐标中的简单多轴倒立摆系统的运动方程。1992年，larcombe和to

20、rsney发现了简单多轴倒立摆系统平衡状态的辨识方程。随后，larcombe把符号算法应用于两轴倒立摆系统的开环线性化动态方程，并且计算了系统的特征方程和开环极点。2001年，史晓霞等建立了二轴倒立摆的数学模型;同年，张葛祥等建立了三轴倒立摆的数学模型，并分析了系统的可控制性和可观测性，给出了智能控制算法的思路。在实验方面，单轴倒立摆系统的实验最早出现在roberge的论文中。1963年higdon和cannon提出了平行倒立摆的问题。koenigsberg和fredrick则使用了基于观测器的输出反馈控制器和状态反馈调节器。mori等设计了一个组合控制器，既可以摆起倒立摆，还可以维持它在垂直

21、向上方向上的平衡。1992年simth和blackburn利用高频垂直振荡获得稳定的倒置状态；同年，ostertag和carvalho- ostertag开发了一个带摩擦力补偿的稳定模糊控制器。wei等利用bang-bang非线性控制器摆起了倒立摆并稳定在垂直向上方向。1996年，张乃尧等实现了倒立摆的双闭环模糊控制。1998年，王佳斌用b-p网络控制倒立摆。对于二轴倒立摆，sturegeon和loscuttof认为只有全阶观测器才能实现它的稳定;但furuta等，证明了这种结论的错误性并在1978年利用一个线性函数观测器稳定了同一系统。1980年，furuta等控制了倾斜导轨上的同一系统，并

22、能保持小车的正确定位。zu-ren等在1984年运用部分状态和线性函数观测器结构，在模拟计算机上应用了同一算法，1987年他们使用离散二次性能指标修改了这一控制器。1993年，van der linden和lambrechts在运用h二理论设计倒立摆的控制器时考虑了干摩擦。yamakita等运用学习控制方法成功摆起了二轴倒立摆系统，而且在1994年他们运用这相同的控制方法使倒立摆在四种平衡状态中互相切换。1995年，程福雁等利用参变量模糊控制对二轴倒立摆进行实时控制，取得了较好的效果。1999年，李岩等运用基于pd控制的专家智能控制本实现了二级倒立摆的稳定控制。2000年，林红等利用最优反馈调

23、节器使其在倒立位置保持平衡，并在锯齿波信号的作用下有规律地移动，直止无限远处。在三轴倒立摆方面，furuta和meier等分别利用带函数观测器和降阶观测器的lqr方法设计了反馈控制器。1999年，李德毅利用云控制方法有效地实现了单电机控制的一、二、三轴倒立摆的多种不同动平衡姿态，并给出了详细试验结果;同年，张飞舟等采用相平面分析法并结合人的控制经验，实现了一、二、三轴倒立摆的拟人智能控制。2000年，杨亚炜等利用拟人智能控制成功实现了在倾斜导轨上三轴倒立摆的稳定，并可以控制三轴倒立摆沿水平或倾斜导轨自由行走。1.3倒立摆控制系统的发展动向倒立摆的运动与杂技顶杆表演类似，杂技顶杆表演是人们熟悉的

24、演艺，不仅是其技艺的精湛。更重要的是其物理机制与控制系统的稳定性密切相关。它深刻地揭示了自然界一种基本的规律，即一个自然不稳定的被控对象，通过控制手段可使之具有良好的稳定性。这一规律己成为当今航空航天器设计的基本思想，即牺牲飞行器的自然稳定性来确保它的机动性。不难理解，当今高速飞行器外形的选择无不与其控制手段有关。综上所述，不难看出杂技演员顶杆的物理机制可简化成一个倒置的物理摆，也就是我们常称之为的倒立摆或称一级倒立摆系统。倒立摆系统是一种非线性、多变量和绝对不稳定的动态系统。近代机械控制系统中，如直升飞机、火箭发射、人造卫星运行及机器人举重物、做体操和行走机器人步行控制等等，都存在有类似于倒

25、立摆的稳定控制问题。自从倒立摆的概念被首次正式提出以来，倒立摆的控制一直是控制领域及相关领域经久不衰的研究课题。纵观倒立摆控制的研究历史，大致有两种发展趋势。一方面是传统的小车式倒立摆的级数逐渐增加。倒立摆装置的研究最初始于上个世纪的五十年代，麻省理工大学(mit)电机工程系设计出单级倒立摆的实验设备。由此演绎，渐渐产生了二级、三级和多级倒立摆。目前为止，国内已经实现了四级小车式倒立摆实际物理系统的控制。另一方面是倒立摆的外形结构呈现了多样化，不断出现新型的倒立摆，如旋转式倒立摆、环形倒立摆平面倒立摆等。目前倒立摆控制算法的研究已进行得比较深入。早期的倒立摆控制方法主要是传统的控制方法，如pd

26、控制和基于线性模型的状态反馈控制。e.eastuood等在1967年和bryson等在1970年先后应用状态状态反馈方法对倒立摆模型进行控制，并取得成功;1975年shozo mori应用此方法和硬件状态观测器对悬挂式倒立摆模型控制成功;继而1987年kac.check等实现了对球平衡模型的控制。之后随着一些控制理论的发展和完善，许多特殊的控制方法逐渐被应用到倒立摆系统上。随着鲁棒控制理论的提出与发展，尤其是自从1981年，zames在其论文中引入范数作为目标函数对系统进行优化设计，标志着控制理论的诞生以来，各种鲁棒控制算法逐渐被应用在倒立摆系统上。其中基于数学模型进行仿真研究的有:翁正新等利

27、用鲁棒状态反馈控制器对二级倒立摆和倾斜导轨上的倒立摆进行了控制；楼顺天等利用时变不确定性关联系统的鲁棒自适应控制方法对互耦双倒立摆系统实现了控制；刘珊中等利用状态反馈和kalman滤波相结合的方法实现了二级倒立摆的控制。对实际倒立摆系统实现控制的有；一级倒立摆的实物控制，钟瑞麟等利用基于lmi的状态反馈设计原理实现了二级倒立摆的控制；薛安克等基于鲁棒lq控制实现了一级倒立摆的控制及最优控制实现了二级倒立摆的控制。从倒立摆鲁棒控制的文献中可以看出，基于各种鲁棒控制原理设计的控制器最终都是得到一组状态反馈系数，这对控制器本身并没有变化，只是给同样的控制器赋予了不同的含义，并用不同的方式得到控制器的

28、参数而已。随着模糊控制的发展，其相应控制理论在二十世纪八十年代末开始应用于倒立摆系统。起初是单纯的模糊控制，由于模糊控制的控制规则较多，导致相应控制器的参数太多而无法很好地选取。在神经网络理论及遗传算法等渐渐成熟起来时，倒立摆的控制过程中往往是结合几种算法进行设计得到其控制器。例如基于神经网络中的bp网络、 rbf网络、 hopfield网络、模拟退火算法、遗传算法等设计的模糊控制算法，大大减小了模糊控制器设计的复杂度。当前，倒立摆的控制规律可总结如下:1）pid控制，通过对倒立摆物理模型的分析，建立倒立摆的动力学模型，然后使用状态空间理论推导出其非线性模型，再在平衡点处进行线性化得到倒立摆系

29、统的状态方程和输出方程，于是设计出pid控制器实现其控制。 2）状态反馈控制，通过对倒立摆物理模型的分析，建立倒立摆的动力学模型，然后使用状态空间理论推导出状态方程和输出方程，应用状态反馈和kalman滤波相结合的方法，实现对倒立摆的控制。3）利用云模型实现对倒立摆的控制，用云模型构成语言值，用语言值构成规则，形成一种定性的推理机制。这种拟人控制不要求给出被控对象精确的数学模型，仅仅依据人的经验、感受和逻辑判断，将人用自然语言表达的控制经验，通过语言原子和云模型转换到语言控制规则器中，就能解决非线性问题和不确定性问题。4）神经网络控制，已经得到证明，神经网络(neural network，nn

30、)能够任意充分地逼近复杂的非线性关系，nn能够学习与适应严重不确定性系统的动态特性，所有定量或定性的信息都等势分布贮存于网络内的各种神经元，故有很强的鲁棒性和容错性；也可将q学习算法和bp神经网络有效结合，实现状态未离散化的倒立摆的无模型学习控制。5）遗传算法(genetic algorithms ga)，高晓智在michine的倒立摆控制boxes方案的基础上，利用ga对每个box中的控制作用进行了寻优，结果表明ga可以有效地解决倒立摆的平衡问题。6）自适应控制，主要是为倒立摆设计出自适应控制器。7）模糊控制，主要是确定模糊规则，设计出模糊控制器实现对倒立摆的控制。8）使用几种智能控制算法相

31、结合实现倒立摆的控制，比如模糊自适应控制，分散鲁棒自适应控制等等。9）采用遗传算法与神经网络相结合的方法，首先建立倒立摆系统的数学模型，然后为其设计出神经网络控制器，再利用改进的遗传算法训练神经网络的权值，从而实现对倒立摆的控制，采用ga学习的nn控制器兼有nn的广泛映射能力和ga快速收敛以及增强式学习等性能。1.4现代控制在倒立摆系统稳定控制中的应用在古典控制理论中，主要考察系统输出与输入的关系，因而整个理论是基于传递函数来分析与设计系统的理论。而传递函数是从系统的外部观察系统时得出的系统数学模型的一种描述，不涉及系统内部的动态过程，因而传递函数被称为系统的外部描述模型。从能否完全揭示系统的

32、全部运动状态来论，传递函数显然有其不足之处。在现代控制理论中，系统是用一组状态变量构成一阶微分方程组来描述的，这组状态变量能够表达系统内部运动的全部动态过程，因而它能更深刻地刻划系统的特征。由于系统的状态空间描述不但能反映系统外部的行为，而且能揭示系统内部的运动规律，所以它称为系统的内部描述模型。由于状态空间方法可以很方便地处理初始条件，又可以适用于非线性系统、多输入多输出系统、时变系统、随机系统和离散系统，同时又可以很方便地用计算机求解，所以它很快就发展起来，得到广泛的应用。线性系统理论是现代控制理论中最基本的部分，也是比较成熟的部分。要分析一下系统的特性，首先要建立系统的数学模型。经典控制

33、理论中用微分方程、传递函数和频率特性来描述，而这里则是状态方程来描述。状态方程不但描述了系统的输入输出关系，而且描述了系统内部一些状态变量的随时间变化关系。如何建立系统的状态方程，由状态方程如何分析系统的响应特性?系统的稳定性如何?系统状态变量的能控性与能观测性又如何?系统的性能指标不满足要求时，如何利用状态反馈来改善系统的性能使之适合人们的需要?如果状态变量不能直接得到，如何根据对系统的观测量来重构系统的状态，设计状态观测器等等问题，都是线性系统理论要解决的主要问题。由于这些分析综合系统的方法都是建立在对系统状态方程的分析上，或者说这些方法是研究在由这些状态变量所张成的状态空间中对状态轨线如

34、何起作用的。所以这些方法也称为状态空间分析方法。应用线性控制理论的方法实现倒立摆系统的稳定控制，必须将倒立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理。状态空间方法在倒立摆系统中应用较早。a.e .b ryson等在1970年对一级倒立摆进行控制获得成功。s. mori等在1976年对悬挂式倒立摆控制成功。k. furuta等在1978年和1980年完成了对二级倒立摆和倾斜轨道式二级倒立摆的控制。在国内尹征琦等采用模拟调节器，实现了对小车一二级摆系统的稳定控制。梁任秋等讨论了设计小车一二级倒立摆系统数字控制器的一般方法。任章、徐建民利用振荡控制原理，提出了在倒立摆的支承点的垂直方向上加入一零均值的高频

35、振荡信号(apaz)以改善倒立摆系统的稳定性，为解决倒立摆系统的稳定控制问题提供了一种新的方法。总的来说，在倒立摆平衡位置附近的小范围内，通过对倒立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理，状态反馈控制原理可以解决常规倒立摆的稳定控制问题。但状态反馈控制需要构造状态观测器，这项工作往往较为复杂。黄永宣运用经典控制理论解决了小车一单摆系统初始状态在倒立点位置附近的小范围稳定控制问题。应用传统控制理论的方法实现倒摆系统的控制，其特点是设法调整闭环系统的极点分布以构成闭环稳定的倒立摆控制系统，但其局限性十分明显，稳定控制的范围有限，难于处理更为复杂的复合摆系统。1.5对倒立摆系统研究的意义在控制理论发展

36、的过程中，某一理论的正确性及在实际应用中的可行性需要一个按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证这一理论，倒立摆就是这样一个被控对象。倒立摆本身是一个自然不稳定体，在控制过程中能够有效地反映控制中的许多关键问题，如镇定问题，非线性问题，鲁棒性问题，随动问题以及跟踪问题等。倒立摆的典型性在于:作为一个装置，成本低廉，结构简单，形象直观，便于实现模拟和数字两者不同的方式的控制:作为一个被控对象，又相当复杂，就其本身而言，是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的快速性系统，只有采取行之有效的控制方法方能使之稳定。对倒立摆系统进行控制，其稳定效果非常明了，可以通过摆动角度、位移和稳定时间直接

37、度量，控制好坏一目了然。理论是工程的先导，对倒立摆的研究不仅有其深刻的理论意义，还有重要的工程背景。从日常生活中所见到的任何重心在上、支点在下的控制问题，到空间飞行器和各类伺服平台的稳定，都和倒立摆的控制有很大的相似性，故对其的稳定控制在实际中有很多用场，如海上钻井平台的稳定控制、卫星发射架的稳定控制、火箭姿态控制、飞机安全着陆、化工过程控制等都属这类问题。因此对倒立摆机理的研究具有重要的理论和实际意义，成为控制理论中经久不衰的研究课题。在稳定性控制问题上，倒立摆既具有普遍性又具有典型性。倒立摆系统可以用多种控制理论和方法来实现其稳定控制，如pid、自适应、状态反馈、智能控制、模糊控制及人工神

38、经元网络等，都能在倒立摆系统控制上得到实现，而且当一种新的控制理论和方法提出以后，在不能用理论加以严格证明时，可以考虑通过倒立摆装置来验证其正确性和实用性。机器人行走类似双倒立摆，尽管第一台机器人在美国面世已三十多年，机器人的关键技术仍未很好解决。因此，倒立摆成为控制理论中经久不衰的研究课题，人们把它喻为:“任何一个自动控制部门都追求的皇冠上的珍珠”。1.6 本文的主要工作 倒立摆系统在控制系统研究中受到普遍重视。“倒立摆系统”已被公认为自动控制理论中的典型试验设备，也是控制理论在教学和科研中不可多得的典型物理模型，通过对倒立摆系统的研究，不仅可以解决控制中的理论问题，还能将控制理论所涉及的三

39、个基础学科:力学、数学和电学(含计算机)有机的结合起来，在倒立摆系统中进行综合应用。在实际教学中，作为验证控制策略的一种手段，倒立摆系统被提了出来。由于计算机仿真结果与实际实验总存在很大的差别，二级倒立摆系统的研制为学生提供了理论与室践结合的可能本文通过对环型二级倒立摆系统特点的分析和数学模型的建立，选择了线性二次型调节器(linear quadratic regulator lqr)控制环型二级倒立摆系统稳定在垂直向上的平衡点上。线性二次型调节器问题在现代控制理论中占有非常重要的位置,受到控制界的普遍重视。线性二次型(lq) 性能指标易于分析、处理和计算,而且通过线性二次型最优设计方法得到的

40、倒立摆系统具有较好的鲁棒性与动态特性以及能够获得线性反馈结构等优点，因而在实际的倒立摆控制系统设计中得到了广泛的应用。 环型倒立摆系统数学模型的建立所谓系统的数学模型，就是利用数学结构来反映系统内部之间、内部与外部某些因素之间的精确的定量的表示。它是分析、设计、预报和控制一个系统的基础。所以，要对一个系统进行研究，首先要建立它的数学模型。建立数学模型有两种方法:一种是从基本物理定律，即利用各个专门学科领域提出来的物质和能量的守恒性和连续性原理，以及系统的结构数据推导出模型。这种方法得出的数学模型称为机理模型或解析模型，这种建立模型的方法称为解析法。另一种是从系统运行和实验数据建立系统的模型(模

41、型结构和参数)，这种方法称为系统辩识。倒立摆的形状较为规则，而且是一个绝对不稳定系统，无法通过测量频率特性方法获取其数学模型。故适合用数学工具进行理论推导。.环型倒立摆的特点总的来说，倒立摆系统一直是自动控制、机械电子等领域中非常典型的教学实验设备, 因为倒立摆控制系统的线性设计非常直观地说明现代线性控制理论的优点和有效性, 同时它还涉及到系统辨识、非线性系统的线性化、执行电机的控制等方面. 因而倒立摆系统一直是控制理论界关注的焦点, 人们将各种先进的控制算法运用到倒立摆系统上进行实验验证. 倒立摆的研究始于20 世纪60 年代, 当时主要集中在直线轨道的倒立摆系统的线性控制. 近10 年来,

42、 三级倒立摆控制系统的实验成功更是掀起了一股研究的热潮, 与此同时, 旋转轨道的环型倒立摆系统由于其自身的特点也开始受到研究者的关注。环型倒立摆系统是一种典型的非线性系统, 它具有如下特性:1) 不确定性. 主要是模型的参数误差以及机械传动过程中的减速齿轮间隙所导致, 不过与直线型倒立摆系统相比, 由于没有了导轨上拖动小车的皮带, 影响程度有所改善.2) 耦合特性. 从系统的数学模型中可以看到, 环型倒立摆摆杆和水平的连杆之间, 以及多级倒立摆系统的上下摆杆之间都具有较强耦合。3) 开环不稳定系统. 倒立摆杆有两个平衡状态: 垂直向下和垂直向上. 垂直向下的状态是稳定的平衡点, 而垂直向上的状

43、态是不稳定的平衡点, 开环时微小的扰动就会使系统离开平衡点而进入到垂直向下的状态中去。4) 行程无限制. 旋转型倒立摆系统的连杆没有行程限制, 而直线型的倒立摆系统小车的行程是有物理限制的, 因而增加了控制的约束, 使得一些算法在直线型倒立摆系统上无法实现。.lagrange方程的特点对于多变量、非线性系统，目前还没有一个确定的方法来实现其控制问题.为减少实验的盲目性，通常先建立系统的数学模型，然后进行仿真研究，在此基础上进行实际系统的实验。在建立倒立摆系统的模型时，可以采用牛顿一欧拉方程或lagrange方程来求解。用牛顿一欧拉方程推导时，需要解大量的微分方程，确定各质点间相互作用力和运动方

44、面的关系， 求解联立方程，推导过程显得尤为繁琐，复杂.这里，采用分析力学中的lagrange方程推导圆形轨道倒立摆系统模型。分析力学是在1788年lagrange发表的大型著作分析力学的基础上发展起来的一系列处理力学问题的新方法。在分析力学一书中，lagrange是用独立变量来描述力学体系的运动，这是一组二阶常微分方程。通常把这一方程组叫做lagrange方程，其基本形式为： 其中是所研究力学体系的广义坐标；是作用在此力学体系上的用广义坐标和t表示的广义力；t是用广义坐标表示的动能。从方程中可以看出，分析力学注重的不是力和加速度，而是具有更广泛意义的能量，扩大了坐标的概念。lagrange方程

45、有如下的特点:1）它是以广义坐标表达的任意完整系统的运动方程式，方程式的数目和系统的自由度数是一致的。2）理想约束反力不出现在方程组中，因此在建立运动方程式时，只需分析已知的主动力，而不必分析未知的约束反力。3）lagrange方程是以能量观点建立起来的运动方程式，为了列出系统的运动方程式，只需要从两个方面去分析，一个是表征系统运动的动力学量系统的动能，另一个是表征主动力作用的动力学量广义力。因此用lagrange方程来求解系统的动力学方程可以大大简化建模过程。.状态空间模型如在第一章所提到的，现代控制理论是在引入状态和状态空间概念的基础上发展起来的。因此，确定控制系统的状态空间描述，即建立在

46、状态空间中的数学模型是一个基本问题，也是现代控制理论中分析和综合控制系统的前提的基础上，其重要性就像经典控制理论中确定系统的传递函数一样。现代控制理论中的状态空间法，简单地说就是将描述系统运动的高阶微分方程改写成一阶联立微分方程组的形式，或者将系统的运动直接用一阶微分方程组表示，写成矩阵形式，这样就得到了状态空间模型。1.连续系统连续系统的状态空间模型为：式中，是的系统控制输入（r个）向量，是的系统状态变量，则是的系统输出向量。a是的系统矩阵（状态矩阵），有控制对象的参数决定；b为的控制矩阵（输入矩阵）；c为的输出矩阵（观测矩阵）；d为的输入输出矩阵（直接传输矩阵）。2.离散系统离散系统的状态

47、空间模型为：式中，输入向量、状态向量、输出向量，表示采样点。为状态矩阵，由控制对象的参数决定；为控制矩阵；为输出矩阵；为直接传输矩阵。在matlab中，系统可用表示，用函数（）来建立控制系统的状态空间模型，或者将传递函数模型与零极点增益模型转换为系统空间模型。. 环型二级倒立摆系统数学模型的建立本文使用的固高摆控制系统如图所示，包括计算机、运动控制卡、伺服系统、倒立摆本体和光电码盘反馈测量元件等几大部分，组成一个闭环系统。图中光电码盘1由伺服电机自带，对于直线型倒立摆，可以根据该码盘的反馈通过换算获得小车的位移，小车的速度信号可以通过差分法得到；对于环形倒立摆，则可以根据该码盘的反馈和机构的减

48、速比直接求得转动小车的角位移。各个摆杆的角度由光电码盘测并直接反馈到控制卡，速度信号可以通过差分方法得到。计算机从运动控制卡中实时读取数据，确定控制决策（电机的输出力矩），并发送给运动控制卡。运动控制卡经过dsp内部的控制算法实现该控制决策，产生相应的控制量，使电机转动，带动小车运动，保持摆杆平衡。 图 固高摆系统的硬件筐图环型二级倒立摆的工作原理为: 电机的转动带动水平杆旋转, 由此带动与水平杆另一端相连的下杆和上杆在垂直方向做旋转运动。控制的目的是希望通过控制电机的力矩, 并通过水平杆的作用, 达到控制上、下杆变化的角度, 使两者共同平衡在垂直的180 度的位置上。为此, 需要首先建立被控

49、系统的数学模型。二级倒立摆系统数学模型的建立基于以下假设: 1)每一级摆杆都是刚体.2)在实验过程中同步带长度保持不变.3)驱动力与放大器输入成正比并无延迟的直接施加于小车.4)实验过程中的库仑摩擦、动摩擦等所有摩擦力足够小，在建模过程中可忽略不计.在忽略了空气流动，各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成两个匀质杆和质量块组成的系统，如图2所示。图2：水平杆的质量 0.234kg：摆杆 1 的质量 0.09kg：摆杆 2 的质量 0.13kg：质量块 1 的质量 0.3kg：质量块 2 的质量 0.178kg：水平杆长度 0.221m：摆杆 1 转动中心到杆质心的距离 0. 08m：摆杆 2 转动

50、中心到杆质心的距离 0. 1975m：连杆与水平 x 轴的夹角（图示顺时针为正）：摆杆1与垂直向上方向的夹角（图示顺时针为正）：摆杆2与垂直向上方向的夹角（图示顺时针为正）利用拉格朗日方程推导环形倒立摆动力学方程 拉格朗日方程为： 其中，为拉格朗日算子，为系统的广义坐标，为系统的动能，为系统的势能。拉格朗日方程由广义坐标 和表示为： 其中，为系统沿该广义坐标方向上的外力，在本系统中，设系统的两个广义坐标分别是, ,。 首先计算系统的动能： 其中连杆动能， 为摆杆 1 动能，为摆杆 2 动能，为质量块 1 动能，为质量块 2 动能。 可以得到系统动能：系统的势能为：（以水平杆所在的位置为零能位置

51、） 至此得到拉格朗日算子 : 由于在广义坐标上无外力作用，有以下等式成立： (1) (2) 展开(1)、(2)式，得到(3)、(4)式如下： (3) (4) 将(3)式对求解代数方程，得到下式： （5）将(4)式对求解代数方程，得到下式： （6）表示成以下形式： （7） （8）取平衡位置时各变量的初值为零，将(5)式在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，令带入(5)式，得到线性化之后的公式： （9） 将(6)式在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，令带入(6)式，得到线性化之后的公式： （10）现在得到了一个线性微分方程，我们采用角加速度作为输入，因此还需加上一个方程 （11） 取状态变量如下：由(9)，(10)，(11)式得到状态空间方程如下：3 线性二次型最优控制器（lqr）的设计对于线性系统， 若取状态变量和控制变量的二次型函数的积分作为性能指标函数时， 这种动态系统最优化问题称为线性系统二次型性能指标的最优控制问题， 简称线性二次型问题。它可以把一些相互矛盾的要求统一在一个性能指标中，求得系统的总体最优性，它的最优解可以写成统一的解析表达式，且可导致一个简单的状态线性反馈控制律，构成闭环控制，其计算和工程实现都比较容易。线性最优控制问题包括线性调节器和线性伺服系统两类问题。调节器问题是针对系统未处于平衡状态(通常是状态空间原点)或受脉冲型扰动时，研究利