2020-2021学年高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量基本定理课时素养评价北师大版必修4

1、2020-2021学年高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量基本定理课时素养评价北师大版必修42020-2021学年高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量基本定理课时素养评价北师大版必修4年级：姓名：课时素养评价 十八平面向量基本定理 (20分钟35分)1.设e1,e2是平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为基底的是()a.e1+e2和e1-e2b.3e1-4e2和6e1-8e2c.e1+2e2和2e1+e2d.e1和e1+e2【解析】选b.因为6e1-8e2=2(3e1-4e2),所以(6e1-8e2)(3e1-4e2),所以3e1-4e2和6e1-8e2不

2、能作为基底.2.已知点m是abc的边bc的中点,点e在边ac上,且=2,则向量=()a.+b.+c.+d.+【解析】选c.=2=,所以=+=+=+(-)=+.3.如图,在abc中,=a,=b,=4,用向量a,b表示,正确的是()a.=a+bb.=a+bc.=a+bd.=a-b【解析】选c.因为=+=+ =+(-)=a+b.4.设a是已知的平面向量且a0,关于向量a的分解,有如下四个说法:给定向量b,总存在向量c,使a=b+c;给定向量b和c,总存在实数和,使a=b+ c;给定单位向量b和正数,总存在单位向量c和实数,使a=b+ c;给定正数和,总存在单位向量b和单位向量c,使a=b+ c;上述

3、说法中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则正确的个数是()a.1b.2c.3d.4【解析】选b.利用向量加法的三角形法则,易得正确;利用平面向量的基本定理,易得正确;以a的终点作半径为的圆,这个圆必须和向量b有交点,这个不一定能满足,错误;由向量加法的三角形法则(不共线两边的和大于第三边),即|b|+| c|=+|a|,而给定的和不一定满足此条件,所以错误.5.设d,e分别是abc的边ab,bc上的点,ad=ab,be=bc,若=1+2(1,2为实数),则1+2的值为.【解析】由=+=+=+(-)=-+,则1+2的值为.答案:6.在abc中,d,f分别是bc,ac的中点.=,=a,=b

4、,求证:b,e,f三点共线.【解题指南】利用基底表示出,然后证=(r)得出三点共线.【证明】因为d是bc的中点,所以有=(a+b).=(a+b),=b,=-=(a+b)-a=(b-2a),=-=(b-2a),所以=,又,有公共点b,所以b,e,f三点共线. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2020台州高一检测)已知点g为abc的重心,若=a,=b,则=()a.a+bb.-a+bc.a-bd.-a-b【解析】选b.设d是ac中点,则=(+),又g为abc的重心,所以=(+)=(+)=(-+-)=-+=-a+b.2.设o,a,b,m为平面上四点,=+(1-),(0,1),

5、则()a.点m在线段ab上b.点b在线段am上c.点a在线段bm上d.o,a,b,m四点共线【解析】选a.因为=+(1-),所以-=(-),即=,又01,所以点m在线段ba上.3.已知a,b是两个不共线的向量,m,nr且m a+n b=0,则()a.a=0,n=0b.m,n的值不确定c.m=n=0d.m,n不存在【解析】选c.因为a,b是两个不共线的向量,m a+n b=0,故m=n=0.4.在abc中,点e为ab边的中点,点f为ac边的中点,bf交ce于点g,若=x+y,则xy等于()a.b.c.d.【解析】选c.由题意知:g是abc的重心,延长ag与边bc交于点d,所以=+,又因为点e为a

6、b边的中点,点f为ac边的中点,故=2,=2,则=+,即x=y=,所以xy=.【误区警示】本题中由e,f为中点即可判断出g为重心,若判断不出则易出错.5.如图,在abc中,点o是bc的中点.过点o的直线分别交直线ab,ac于不同的两点m,n,若=m,=n,则m+n的值为()a.1b.2c.3d.4【解析】选b.因为o为bc中点,所以=(+),又o在mn上,所以=,则有-=(-),所以=+=+=+,所以有+得=,进而有m+n=2.【光速解题】选b.从题目可以看出直线mn变化过程中m+n为定值,故可以令mn与直线bc重合,即=,=,此时m=1,n=1,故m+n=2.二、填空题(每小题5分,共15分

7、)6.(2020邯郸高一检测)如图所示,在abc中,bc=30,点d在bc边上,点e在线段ad上,若=+,则bd=.【解题指南】本题首先可根据点d在bc边上,设=,然后将=+化简为=+,根据点e在线段ad上解得=,最后通过计算即可得出结果.【解析】因为点d在bc边上,所以可设=,所以=+=+,因为点e在线段ad上,所以a,e,d三点共线,所以+=1,解得=,所以cd=30=18,bd=30-18=12.答案:127.已知e1与e2不共线,a=e1+2e2,b=e1+e2,且a与b是一组基底,则实数的取值范围是.【解析】当ab时,设a=mb,则有e1+2e2=m(e1+e2),即e1+2e2=m

8、e1+me2,所以解得=,即当=时,ab.又a与b是一组基底,所以a与b不共线,所以.答案:8.如图,在abc的边ab,ac上分别取点m,n,使=,=,bn与cm交于点p,若=,=,则的值为.【解析】由题意=-=-,=+=+ =+,=-=-,=+=+=+,根据平面向量基本定理,可得所以=,=4,所以=6.答案:6三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知点g是abc的重心,=2.(1)用和表示;(2)用和表示.【解析】(1)设bc的中点为m,则2=+,所以=,因为g为abc的重心,因此,=.(2)因为=2,所以=,因此,=-=-=.10.设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b

9、=e1+3e2.(1)证明:a,b可以作为一组基底.(2)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式.(3)若4e1-3e2=a+b,求,的值.【解析】(1)若a,b共线,则存在r,使a=b,则e1-2e2=(e1+3e2).由e1,e2不共线得,所以不存在,故a与b不共线,可以作为一组基底.(2)设c=m a+n b(m,nr),得3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2,所以所以c=2a+b.(3)由4e1-3e2=a+b,得4e1-3e2=(e1-2e2)+(e1+3e2)=(+)e1+(-2+3)e2.所以故所求,的值分别为3和1.

10、如图所示,omab,点p在由射线om、线段ob及ab的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且=x+y.(1)求x的取值范围.(2)当x=-时,求y的取值范围.【解析】(1)因为=x+y,以ob和oa的反向延长线为两邻边作平行四边形,由向量加法的平行四边形法则可知op为此平行四边形的对角线,当op长度增大且靠近om时,x趋向负无穷大,所以x的取值范围是(-,0).(2)如图所示,当x=-时,在oa的反向延长线取点c,使oc=oa,过c作ceob,分别交om和ab的延长线于点d,e,则cd=ob,ce=ob,要使p点落在指定区域内,则p点应落在de上,当点p在点d处时,由相似三角形知,cd=ob,=-+,当点p在点e处时,由相似三角形知,ce=ob,=-+,所以y的取值范围是.【补偿训练】 (2020长沙高一检测)如图所示,在abc中,=,=,bq与cr相交于点i,ai的延长线与边bc交于点p.(1)用和分别表