2020-2021学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 第3课时 用空间向量解决空间角与距离问题课时跟踪训练新人教A版选修2-1

1、2020-2021学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 第3课时 用空间向量解决空间角与距离问题课时跟踪训练新人教a版选修2-12020-2021学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 第3课时 用空间向量解决空间角与距离问题课时跟踪训练新人教a版选修2-1年级：姓名：用空间向量解决空间角与距离问题a组学业达标1.如图，正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12ab，则异面直线a1b与ad1所成角的余弦值为()a.b.c. d.解析：以d为坐标原点，da，dc，dd1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系dxyz，设ab1.则b(1,1,0)，a1(1,0,2)，

2、a(1,0,0)，d1(0,0,2)，(0,1，2)，(1,0,2)，cos，异面直线a1b与ad1所成角的余弦值为.答案：d2二面角的棱上有a、b两点，直线ac、bd分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于ab.已知ab4，ac6，bd8，cd2，则该二面角的大小为()a150b45c60 d120解析：由条件，知0，0，.|2|2|2|2222624282268cos，(2)2，cos，120，二面角的大小为60.答案：c3把正方形abcd沿对角线ac折起成直二面角，点e、f分别是ad、bc的中点，o是正方形中心，则折起后，eof的大小为()a30 b90c120 d60解析：()，()

3、，()|2.又|，cos，.eof120.故选c.答案：c4正方体abcda1b1c1d1中，bb1与平面acd1所成角的余弦值为()a. b.c. d.解析：建系如图，设正方体棱长为1，则(0,0,1)b1d面acd1，取(1,1,1)为面acd1的法向量设bb1与平面acd1所成角为，则sin ，cos .答案：d5.如图所示，在几何体abcd中，ab平面bcd，bccd，且abbc1，cd2，点e为cd中点，则ae的长为()a. b.c2 d.解析：，|1|，且0.又2()2，23，ae的长为.故选b.答案：b6.如图，在正三棱柱abca1b1c1中，已知ab1，点d在棱bb1上，且bd

4、1，则ad与平面aa1c1c所成角的正弦值为_解析：取ac、a1c1的中点m、m1，连接mm1、bm.过d作dnbm，交mm1于点n，则容易证明dn平面aa1c1c.连接an，则dan就是ad与平面aa1c1c所成的角在rtdan中，sindan.答案：7正方体abcda1b1c1d1中，直线bc1与平面a1bd所成的角的正弦值是_解析：如图，以da、dc、dd1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，取正方体的棱长为1，则a(1,0,0)，b(1,1,0)，c1(0,1,1)，易证是平面a1bd的一个法向量.(1,1,1)，(1,0,1)cos，.所以bc1与平面a1bd所成角的正弦值为.

5、答案：8.如图，已知正三棱柱abca1b1c1的各条棱长都相等，m是侧棱cc1的中点，则异面直线ab1和bm所成角的大小是_答案：909.如图所示，已知在四面体abcd中，o为bd的中点，cacbcdbd2，abad.(1)求证：ao平面bcd；(2)求异面直线ab与cd所成角的余弦值解析：(1)证明：因为bodo，abad，所以aobd.因为bodo，bccd，所以cobd.在aoc中，由已知可得ao1，co，而ac2，所以ao2co2ac2，所以aoc90，即aooc.因为bdoco，所以ao平面bcd.(2)以o为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则b(1,0,0)，d(1,0,0

6、)，c(0，0)，a(0,0,1)，(1,0,1)，(1，0)，所以cos，所以异面直线ab与cd所成角的余弦值为.10.如图，四棱锥pabcd中，pa底面abcd，abcd，adcd1，bad120，acb90.(1)求证：bc平面pac；(2)若二面角dpca的余弦值为，求点a到平面pbc的距离解析：(1)证明：pa底面abcd，bc平面abcd，pabc，acb90，bcac，又paaca，bc平面pac.(2)设aph，取cd的中点e，则aecd，aeab.又pa底面abcd，paae，paab，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0,0,0)，p(0,0，h)，c，d，b(0,2,0

7、)，(0,1,0)，设平面pdc的法向量n1(x1，y1，z1)，则即取x1h，n1，由(1)平面pac的一个法向量为.|cosn1，|，解得h，同理可求得平面pbc的一个法向量n2(3，2)，所以，点a到平面pbc的距离为d.b组能力提升11二面角l等于120，a、b是棱l上两点，ac、bd分别在半平面、内，acl，bdl，且abacbd1，则cd的长等于()a. b.c2 d.解析：如图，二面角l等于120，与夹角为60.由题设知，|1，|2|2|2|2|222232cos 604，|2.故选c.答案：c12正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，o是a1c1的中点，则o到平面abc1d

8、1的距离为()a. b.c. d.解析：以、为正交基底建立空间直角坐标系，则a1(1,0,1)，c1(0,1,1)，平面abc1d1的法向量(1,0,1)，点o到平面abc1d1的距离d.故选b.答案：b13.正三角形abc与正三角形bcd所在的平面互相垂直，则直线cd与平面abd所成角的正弦值为_解析：取bc的中点o，连接ao，do，建立如图所示的空间直角坐标系oxyz.设bc1，则a，b，c，d，所以，.设平面abd的法向量为n(x，y，z)，则所以取x1，则y，z1，所以n(1，1)，所以cosn，因此直线cd与平面abd所成角的正弦值为.答案：14在正四棱柱abcda1b1c1d1中，

9、aa14，abbc2，动点p，q分别在线段c1d，ac上，则线段pq长度的最小值是_解析：以d为原点，分别以，为x，y，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则d(0,0,0)，a(2,0,0)，c(0,2,0)，c1(0,2,4)，设t，m(t，m0,1)，t(0,2,4)(0,2t,4t)，m(2,0,0)m(2,2,0)(22m,2m,0)p(0,2t,4t)，q(22m,2m,0)，(22m,2m2t，4t)，则|22，当且仅当t，m，即t，m时取等号，线段pq长度的最小值为.15如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形abcd(及其内部)以ab边所在直线为旋转轴旋转120得到的，g是

10、的中点(1)设p是上的一点，且apbe，求cbp的大小；(2)当ab3，ad2时，求二面角eagc的大小解析：(1)因为apbe，abbe，ab，ap平面abp，abapa，所以be平面abp.又bp平面abp，所以bebp.又ebc120，因此cbp30.(2)以b为坐标原点，分别以be，bp，ba所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系由题意得a(0,0,3)，e(2,0,0)，g(1，3)，c(1，0)，故(2,0，3)，(1，0)，(2,0,3)设m(x1，y1，z1)是平面aeg的法向量，由可得取z12，可得平面aeg的法向量m(3，2)，设n(x2，y2，z2)是

11、平面acg的一个法向量，则，可得，取x22，可得平面acg的一个法向量n(3，2)，所以cosm，n.因此二面角eagc的大小为60.16.如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为正方形，平面pad平面abcd，点m在线段pb上，pd平面mac，papd，ab4.(1)求证：m为pb的中点；(2)求二面角bpda的大小；(3)求直线mc与平面bdp所成角的正弦值解析：(1)证明：设ac，bd的交点为o，连接om，如图所示pd平面mac，且平面pbd平面macmo，pdmo.o为bd的中点，m为pb的中点(2)取ad的中点e，连接pe.papd，pead.又平面pad平面abcd，且平面pad平面abcdad，pe平面pad，pe平面abcd.建立如图所示的空间直角坐标系，则b(2,4,0)，p(0,0，)，d(2,0,0)，a(2,0,0)，(2,0，)，(4,4,0)易知平面pd