2020-2021学年高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.2.2 奇偶性学案新人教A版必修第一册

1、2020-2021学年高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.2.2 奇偶性学案新人教a版必修第一册2020-2021学年高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.2.2 奇偶性学案新人教a版必修第一册年级：姓名：32.2奇偶性内容标准学科素养1.结合具体函数，了解奇偶性的含义数学抽象直观想象逻辑推理2.学会运用函数的图象理解函数性质3.会利用函数奇偶性解决一些问题.授课提示：对应学生用书第42页教材提炼知识点函数奇偶性的定义(1)函数f(x)x2的图象有什么对称性？(2)函数f(x)的图象有什么对称性？ 知识梳理(1)一般地，设函数f(x)的定义域为i，如果xi，都有xi，且f(x)f(x)，

2、那么函数f(x)就叫做偶函数(even function)偶函数的图象关于y轴对称，反之成立(2)一般地，设函数f(x)的定义域为i，如果xi，都有xi，且f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function)奇函数的图象关于原点对称，反之成立自主检测1下列函数为奇函数的是()ay|x|by3xcy dyx214答案：c2若函数yf(x)，x2，a是偶函数，则a的值为()a2 b2c0 d不能确定答案：b3若点(1,3)在奇函数yf(x)的图象上，则f(1)等于()a0 b1c3 d3答案：d4已知f(x)是偶函数，且f(2)2，则f(2)f(2)_.答案：4授课提示：对应

3、学生用书第42页探究一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x42x2；(2)f(x)x3；(3)f(x)；(4)f(x)(5)f(x).解析(1)f(x)的定义域为r，关于原点对称，又f(x)(x)42(x)2x42x2f(x)，f(x)为偶函数(2)f(x)的定义域为(，0)(0，)，它关于原点对称，又f(x)(x)3f(x)，f(x)为奇函数(3)f(x)的定义域为1,1，是两个具体数，但它关于原点对称，又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，f(x)既是奇函数，又是偶函数(4)函数f(x)的定义域是(，0)(0，)，关于原点对称当x0时，x0，则f(x)(x)33(

4、x)21x33x21(x33x21)f(x)当x0时，x0，则f(x)(x)33(x)21x33x21(x33x21)f(x)由知，当x(，0)(0，)时，都有f(x)f(x)，f(x)为奇函数(5)由题设得：函数f(x)定义域为1,0)(0,1，关于原点对称，且x20，|x2|x2，f(x)，f(x)f(x)，f(x)是奇函数函数奇偶性的判定方法(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的对称区域，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的对称区域，再判断f(x)是否等于f(x)，或判断f(x)f(x)是否等于零，或判断是否等于1等用定义判断函数奇偶性的一般步骤：求函

5、数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称用x代x，验证是否有f(x)f(x)或f(x)f(x)，若f(x)f(x)，则f(x)为奇函数；若f(x)f(x)，则f(x)为偶函数；若f(x)f(x)，且f(x)f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(x)f(x)，且f(x)f(x)，则f(x)为非奇非偶函数(2)图象法：奇(偶)函数的等价条件是它的图象关于原点(y轴)对称判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x3x5；(2)f(x)|x1|x1|；(3)f(x).解析：(1)函数的定义域为r.f(x)(x)3(x)5(x3x5)f(x)，f(x)是奇函数(2)f(x)的定义域是r.f(x)|

6、x1|x1|x1|x1|f(x)，f(x)是偶函数(3)函数f(x)的定义域是(，1)(1，)，不关于原点对称，f(x)是非奇非偶函数探究二已知函数奇偶性求函数解析式例2教材p86第11题拓展探究(1)已知yf(x)是定义在r上的偶函数，当x0时，f(x)x22x，求f(x)在r上的解析式解析设x0，f(x)(x)22(x)x22x.又yf(x)是定义在r上的偶函数，f(x)f(x)，f(x)x22x(x0)f(x)(2)若f(x)是定义在r上的奇函数，当x0时，f(x)x(2x)，求函数f(x)的解析式解析f(x)是定义在r上的奇函数，f(x)f(x)，f(0)0.当x0时，x0，则f(x)

7、x(2x)f(x)，f(x)x(x2)故f(x)(3)设函数yf(x)的定义域为m，m(m0)试探究yf(x)可否写为奇函数f(x)，与偶函数g(x)的和的形式，若能，求出f(x)与g(x)解析设f(x)g(x)f(x)，xm，mf(x)g(x)f(x)又f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，f(x)g(x)f(x)得，2g(x)f(x)f(x)，g(x)f(x)f(x)得，2f(x)f(x)f(x)，f(x)f(x)f(x)故f(x)可写为f(x)g(x)的形式f(x)f(x)f(x)，g(x)f(x)f(x)利用函数奇偶性求函数解析式的步骤(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在

8、哪个区间上设；(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；(3)利用f(x)的奇偶性写出f(x)或f(x)，从而解出f(x)探究三已知奇偶性求值或参数例3(1)若f(x)(xa)(x4)为偶函数，则实数a_.(2)已知函数f(x)为奇函数，则ab_.(3)设f(x)是定义在r上的奇函数，且x0时，f(x)x22xb，则f(1)_.(4)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，则g(1)等于_解析(1)f(x)为偶函数，f(x)f(x)，即(xa)(x4)(xa)(x4)，整理得，2a8，a4.(2)由题意知则当a1，b1时，经检验知f(x)为奇函数，故a

9、b0.(3)f(x)是定义在r上的奇函数，f(0)b0，f(x)x22x(x0)，f(1)f(1)(12)3.(4)两式相加得g(1)3.答案(1)4(2)0(3)3(4)3利用函数奇偶性求参数值的方法(1)此类问题应充分运用奇(偶)函数的定义，构造函数，从而使问题得到快速解决(2)在定义域关于原点对称的前提下，若解析式中仅含有x的奇次项，则函数为奇函数；若解析式中仅含有x的偶次项，则函数为偶函数，常利用此结论构造函数(3)利用奇偶性求参数值时，应根据xr等式恒成立的特征求参数1已知f(x)x5ax3bx8，若f(3)10，则f(3)()a26b18c10 d26解析：法一：由f(x)x5ax

10、3bx8，得f(x)8x5ax3bx.令g(x)x5ax3bxf(x)8，g(x)(x)5a(x)3b(x)(x5ax3bx)g(x)，g(x)是奇函数，g(3)g(3)，即f(3)8f(3)8.又f(3)10，f(3)f(3)16101626.法二：由已知条件，得得f(3)f(3)16，又f(3)10，f(3)26.答案：d2已知函数f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，且f，求函数f(x)的解析式解析：f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，f(0)0，即0，b0，f(x).又fa，a1，函数f(x)的解析式为f(x).授课提示：对应学生用书第43页一、单调性与奇偶性珠联璧合的妙用(1)将函

11、数的奇偶性与单调性相结合，可知：奇函数在(b，a)和(a，b)上有相同的单调性偶函数在(b，a)和(a，b)上有相反的单调性这里，区间(b，a)和(a，b)都在函数定义域内因此，若函数具有奇偶性，研究单调性或最值或作图象等问题，只需在非负值范围内研究即可，在负值范围内由对称性可得(2)研究函数的单调性、奇偶性必须在定义域上进行，如果没有给出定义域，则需先求出典例设定义在2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上是减函数，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围解析因为f(x)是奇函数且f(x)在0,2上是减函数，所以f(x)在2,2上是减函数所以不等式f(1m)f(m)等价于解得1m.二、由奇偶性的对称特点拓展的图象对称性1函数图象的轴对称f(x)在定义域内恒满足的条件yf(x)的图象的对称轴f(ax)f(ax)直线xaf(x)f(ax)直线xf(ax)f(bx)直线x2.函数图象的中心对称yf(x)在定义域内恒满足的条件yf(x)的图象的对称中心f(ax)f(ax)2b