第七章解三角形高中数学竞赛标准教材

1、第七章解三角形（高中数学竞赛标准教材）第七章 解三角形一、基础知识 在本章中约定用A，B，C分别表示ABC的三个内角，a, b, c分别表示它们所对的各边长， 为半周长。 1正弦定理： =2R（R为ABC外接圆半径）。 推论1：ABC的面积为SAB推论2：在ABC中，有bcosC+ccosB=a. 推论3：在ABC中，A+B= ，解a满足 ，则a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC边上的高为bsinC，所以SABC= ；再证推论2，因为B+C= -A，所以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBA，两边同乘以2R

2、得bcosC+ccosB=a；再证推论3，由正弦定理 ，所以 ，即sinasin( -A)=sin( -a)sinA，等价于 cos( -A+a)-cos( -A-a)= cos( -a+A)-cos( -a-A)，等价于cos( -A+a)=cos( -a+A)，因为0 -A+a， -a+A . 所以只有 -A+a= -a+A，所以a=A，得证。 2余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA ，下面用余弦定理证明几个常用的结论。 （1）斯特瓦特定理：在ABC中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，则AD2= （1） 【证明】 因为c2=AB2=AD2+BD2-2ADBDcos ， 所以

3、c2=AD2+p2-2ADpcos 同理b2=AD2+q2-2ADqcos ， 因为 ADB+ ADC= ， 所以cos ADB+cos ADC=0， 所以q+p得 qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q)，即AD2= 注：在（1）式中，若p=q，则为中线长公式 （2）海伦公式：因为 b2c2sin2A= b2c2 (1-cos2A)= b2c2 (b+c) -a2a2-(b-c) 2=p(p-a)(p-b)(p-c). 这里 所以SAB二、方法与例题 1面积法。 例1 （共线关系的张角公式）如图所示，从O点发出的三条射线满足 ，另外OP，OQ，OR的长分别为u, w, v，这里，+(

4、0, )，则P，Q，R的共线的充要条件是 【证明】P，Q，R共线 (+)= uwsin+ vwsin ，得证。 2正弦定理的应用。 例2 如图所示，ABC内有一点P，使得 BPC- BAC= CPA- CBA= APB- ACB。 求证：APBC=BPCA=CPAB。 【证明】 过点P作PD BC，PE AC，PF AB，垂足分别为D，E，F，则P，D，C，E；P，E，A，F；P，D，B，F三组四点共圆，所以 EDF= PDE+ PDF= PCA+ PBA= BPC- BAC。由题设及 BPC+ CPA+ APB=3600可得 BAC+ CBA+ ACB=1800。 所以 BPC- BAC=

5、CPA- CBA= APB- ACB=600。 所以 EDF=600，同理 DEF=600，所以DEF是正三角形。 所以DE=EF=DF，由正弦定理，CDsin ACB=APsin BAC=BPsin ABC，两边同时乘以ABC的外接圆直径2R，得CPBA=APBC=BPAC，得证： 例3 如图所示，ABC的各边分别与两圆O1，O2相切，直线GF与DE交于P，求证：PA BC。 【证明】 延长PA交GD于M， 因为O1G BC，O2D BC，所以只需证 由正弦定理 ， 所以 另一方面， ， 所以 ， 所以 ，所以PA/O1G， 即PA BC，得证。 3一个常用的代换：在ABC中，记点A，B，C

6、到内切圆的切线长分别为x, y, z，则a=y+z, b=z+x, c=x+y. 例4 在ABC中，求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) 3abc. 【证明】 令a=y+z, b=z+x, c=x+y，则 abc=(x+y)(y+z)(z+x) =8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) =a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc. 所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) 3ab三角换元。 例5 设a, b, cR+，且abc+a+c=b，试求 的最大值。 【解】 由题设 ，令a=tan, c=tan,

7、 b=tan, 则tan=tan(+), P=2sinsin(2+)+3cos2 ， 当且仅当+= ，sin= ，即a= 时，Pmax= 例6 在ABC中，若a+b+c=1，求证: a2+b2+c2+4abc 【证明】 设a=sin2cos2, b=cos2cos2, c=sin2, . 因为a, b, c为三边长，所以c , c|a-b|， 从而 ，所以sin2|cos2cos2|. 因为1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca), 所以a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc). 又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)2cos

8、2+sin2cos2cos4cos2 = 1-cos22+(1-cos22)cos4cos2 = + cos2(cos4-cos22cos4-cos2) + cos2(cos4-sin4-cos2)所以a2+b2+c2+4abc 三、基础训练题 1在ABC中，边AB为最长边，且sinAsinB= ，则cosAcosB的最大值为_. 2在ABC中，若AB=1，BC=2，则 的取值范围是_. 3在ABC中，a=4, b+c=5, tanC+tanB+ tanCtanB，则ABC的面积为_. 4在ABC中，3sinA+4cosBA+4sinB=1，则 =_. 5在ABC中，“ab”是“sinAsin

9、B”的_条在ABC中，sinA+cosA0, tanA-sinA0，则角A的取值范围是_. 7在ABC中，sinA= ，cosB= ，则cosC=_. 8在ABC中，“三边a, b, c成等差数列”是“tan ”的_条在ABC中，若sinC=2cosAsinB，则三角形形状是_. 10在ABC中，tanAtanB1，则ABC为_角三角形三角形有一个角是600，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是12 ，求这个三角形的面积。 12已知锐角ABC的外心为D，过A，B，D三点作圆，分别与AC，BC相交于M，N两点。求证：MNC的外接圆半径等于ABD的外接圆半径。 13已知ABC中，sinC=

10、，试判断其形状。 四、高考水平训练题 1在ABC中，若tanA= , tanB= ，且最长边长为1，则最短边长为_. 2已知nN+，则以3，5，n为三边长的钝角三角形有_个. 3已知p, qR+, p+q=1，比较大小：psin2A+qsin2B_pqsin2在ABC中，若sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC，则ABC 为_角三角形. 5若A为ABC 的内角，比较大小： _若ABC满足acosA=bcosB，则ABC的形状为_. 7满足A=600，a= , b=4的三角形有_个. 8设 为三角形最小内角，且acos2 +sin2 -cos2 -asin2 =a+1，则

11、a的取值范围是_. 9A，B，C是一段笔直公路上的三点，分别在塔D的西南方向，正西方向，西偏北300方向，且AB=BC=1km，求塔与公路AC段的最近距离。 10求方程 的实数解。 11求证： 五、联赛一试水平训练题 1在ABC中，b2=ac，则sinB+cosB的取值范围是_. 2在ABC中，若 ，则ABC 的形状为_. 3对任意的ABC， -(cotA+cotB+cotC)，则T的最大值为_. 4在ABC中， 的最大值为_. 5平面上有四个点A，B，C，D，其中A，B为定点，|AB|= ，C，D为动点，且|AD|=|DC|=|BC|=1。记SABD=S，SBCD=T，则S2+T2的取值范围

12、是_. 6在ABC中，AC=BC， ，O为ABC的一点， ， ABO=300，则 ACO=_. 7在ABC中，ABC ，则乘积 的最大值为_，最小值为_. 8在ABC中，若c-a等于AC边上的高h，则 =_. 9如图所示，M，N分别是ABC外接圆的弧 ，AC中点，P为BC上的动点，PM交AB于Q，PN交AC于R，ABC的内心为I，求证：Q，I，R三点共线。 10如图所示，P，Q，R分别是ABC的边BC，CA，AB上一点，且AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。求证：AB+BC+CA2（PQ+QR+RP）。 11在ABC外作三个等腰三角形BFC，ADC，AEB，使BF=FC，CD=DA，AE=EB

13、， ADC=2 BAC， AEB=2 ABC， BFC=2 ACB，并且AF，BD，CE交于一点，试判断ABC的形状。 六、联赛二试水平训练题 1已知等腰ABC，AB=AC，一半圆以BC的中点为圆心，且与两腰AB和AC分别相切于点D和G，EF与半圆相切，交AB于点E，交AC于点F，过E作AB的垂线，过F作AC的垂线，两垂线相交于P，作PQ BC，Q为垂足。求证： ，此处 = B。 2设四边形ABCD的对角线交于点O，点M和N分别是AD和BC的中点，点H1，H2（不重合）分别是AOB与COD的垂心，求证：H1H2 MN。 3已知ABC，其中BC上有一点M，且ABM与ACM的内切圆大小相等，求证： ，此处 (a+b+c), a, b, c分别为ABC对应三边之长。 4已知凸五边形ABCDE，其中 ABC= AED=900， BAC= EAD，BD与CE交于点O，求证：AO BE。 5已知等腰梯形ABCD，G是对角线BD与AC的交点，过点G作EF与上、下底平行，点E和F分别在AB和CD上，求证： AFB=900的充要条件是AD+BC=CD。 6AP，AQ，AR，AS是同一个圆中的四条弦，已知 PAQ= QAR= RAS，求证：AR（AP+AR）=AQ（AQ+AS）。 7已知一凸四边形的边