07弯曲变形new

1、1 2 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 7-1 7-1 概述概述 7-2 7-2 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程 7-3 7-3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形 目录 3 7-1 7-1 概概 述述 7-1 4 7-1 7-1 概概 述述 y x 5 7-1 7-1 概概 述述 max y A CD F x Ay F By F A B y B 6 1.1.基本概念基本概念 挠曲线方程：挠曲线方程：)(xyy 挠曲线挠曲线 y x x y 挠度挠度 转角转角 挠度挠度 ：截面形心在截面形心在y y方向的位移。方向的位移。y 向上为正向上为正 转角转角：截面绕中性轴转过的角度。截面

2、绕中性轴转过的角度。逆钟向为正逆钟向为正 7-2 7 1.1.基本概念基本概念 挠曲线方程：挠曲线方程： )(xyy 由于小变形，截面形心在由于小变形，截面形心在x x方向的位移忽略不计。方向的位移忽略不计。 挠度与转角关系：挠度与转角关系： dx dy tan 7-2 挠曲线挠曲线 y x x y 挠度挠度 转角转角 8 2.2.挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程 推导弯曲正应力时，得到：推导弯曲正应力时，得到： z z E EI I M M 1 1 忽略剪力对变形的影响：忽略剪力对变形的影响： z EI xM x )( )( 1 9 由数学知识可知：由数学知识可知： 32 2 2 )

3、(1 1 dx dy dx yd 略去高阶小量，得略去高阶小量，得 2 2 1 dx yd 所以所以 z EI xM dx yd)( 2 2 2 M(x) 0M(x) 0 O d y dx 2 0 x y M(x) 0 O dx d y 0 2 2 y x M(x) b。 解解 1 1）由梁整体平衡分析得：）由梁整体平衡分析得： l Fa F l Fb FF ByAyAx ,0 2 2）弯矩方程）弯矩方程 axx l Fb xFxM Ay 1111 0 , AC AC 段：段： lxaaxFx l Fb axFxFxM Ay 222222 ),()( CB CB 段：段： 7-3 7-3 用积

4、分法求梁的变形用积分法求梁的变形 max y ab 1 x 2 x A CD F x Ay F By F A B y B 17 3 3）列挠曲线近似微分方程并积分）列挠曲线近似微分方程并积分 11 2 1 1 2 )(x l Fb xM dx yd EI 1 2 1 1 1 1 2 )(Cx l Fb xEI dx dy EI 111 3 1 1 6 DxCx l Fb EIy AC AC 段：段：ax 1 0 )()( 222 2 2 2 2 axFx l Fb xM dx yd EI 2 2 2 2 2 2 2 )( 22 )( 2 Cax F x l Fb xEI dx dy EI 22

5、2 3 2 3 2 )( 66 2 DxCax F x l Fb EIy CB CB 段：段：lxa 2 7-3 7-3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形 max y ab 1 x 2 x A CD F x Ay F By F A B y B 18 4 4）由边界条件确定积分常数）由边界条件确定积分常数 0)(, 22 lylx 0)0(, 0 11 yx 代入求解，得代入求解，得 位移边界条件：位移边界条件： 光滑连续条件：光滑连续条件： )()(, 2121 aaaxx )()(, 2121 ayayaxx l Fb FblCC 66 1 3 21 0 21 DD 7-3 7-3 用积

6、分法求梁的变形用积分法求梁的变形 max y ab 1 x 2 x A CD F x Ay F By F A B y B 19 5 5）确定转角方程和挠度方程）确定转角方程和挠度方程 )( 62 222 1 1 bl l Fb x l Fb EI 1 223 1 )( 66 1 xbl l Fb x l Fb EIy AC AC 段：段：ax 1 0 )( 6 )( 22 222 2 2 22 bl l Fb ax F x l Fb EI 2 223 2 3 22 )( 6 )( 66 xbl l Fb ax F x l Fb EIy CB CB 段：段： lxa 2 7-3 7-3 用积分法

7、求梁的变形用积分法求梁的变形 max y ab 1 x 2 x A CD F x Ay F By F A B y B 20 6 6）确定最大转角和最大挠度）确定最大转角和最大挠度 令令 得，得，0 dx d )( 6 , maxal EIl Fab lx B 令令 得，得，0 dx dy )( 39 )( , 3 322 max 22 EIl blFb y bl x 7-3 7-3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形 max y ab 1 x 2 x A CD F x Ay F By F A B y B 21 22 7-3 7-3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形 23 )( 2 2 x

8、MEIy dx yd EI 设梁上有设梁上有n n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩个载荷同时作用，任意截面上的弯矩 为为M(x)M(x)，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为y y，则有：，则有： )(xMEIy ii 若梁上只有第若梁上只有第i i个载荷单独作用，截面上弯矩个载荷单独作用，截面上弯矩 为为 ，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为 ，则有：，则有： i i y )(xMi 由由弯矩的叠加原理弯矩的叠加原理知：知：)()( 1 xMxM n i i 所以，所以， )( )( 11 xMyEIyEI n i i n i i 7-4 24 故故 )( 1 n i i yy 由于梁的边界条件

9、不变，因此由于梁的边界条件不变，因此 , 1 n i i n i i yy 1 重要结论：重要结论： 梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等 于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。 这就是这就是计算弯曲变形的叠加原理计算弯曲变形的叠加原理。 7-4 7-4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形 载荷叠加载荷叠加内力叠加内力叠加变形叠加变形叠加 25 例例3 3 已知简支梁受力如图示，已知简支梁受力如图示， q q、l、EIEI均为已知。求均为已知。求C C 截面截面 的挠度的挠度y yC C ；B B截

10、面的转角截面的转角 B B 1 1）将梁上的载荷分解）将梁上的载荷分解 321CCCC yyyy 321BBBB yC1 yC2 yC3 2 2）查表得）查表得3 3种情形下种情形下C C截面的截面的 挠度和挠度和B B截面的转角截面的转角。 EI ql B 24 3 1 EI ql B 16 3 1 EI ql B 3 3 3 EI ql yC 384 5 4 1 EI ql yC 48 4 2 EI ql yC 16 4 3 解解 7-4 7-4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形 26 yC1 yC2 yC3 3 3） 应用叠加法，将简单载荷应用叠加法，将简单载荷 作用时的结果求和作用

11、时的结果求和 )( 384 11 1648384 5 4 444 3 1 EI ql EI ql EI ql EI ql yy i CiC )( 48 11 31624 3 333 3 1 EI ql EI ql EI ql EI ql i BiB 7-4 7-4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形 27 例例4 4 已知：悬臂梁受力如图已知：悬臂梁受力如图 示，示，q q、l、EIEI均为已知。求均为已知。求C C 截面的挠度截面的挠度y yC C和转角和转角 C C 1 1）首先，将梁上的载荷变成）首先，将梁上的载荷变成 有表可查的情形有表可查的情形 为了利用梁全长承受均为了利用梁全长承

12、受均 布载荷的已知结果，先将均布载荷的已知结果，先将均 布载荷延长至梁的全长，为布载荷延长至梁的全长，为 了不改变原来载荷作用的效了不改变原来载荷作用的效 果，在果，在AB AB 段还需再加上集段还需再加上集 度相同、方向相反的均布载度相同、方向相反的均布载 荷。荷。 C y 7-4 7-4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形 28 C y 2C y 1C y 2B y , 8 4 1 EI ql y C , 248128 2 34 222 l EI ql EI ql l yy BBC EI ql C 6 3 1 EI ql C 48 3 2 EI ql yy i CiC 384 41 4

13、2 1 3 3）将结果叠加）将结果叠加 EI ql i CiC 48 7 3 2 1 2 2）再将处理后的梁分解为简单）再将处理后的梁分解为简单 载荷作用的情形，计算各自载荷作用的情形，计算各自C C截截 面的挠度和转角。面的挠度和转角。 7-4 7-4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形 29 例题例题5 5: :试试利用叠加法，利用叠加法， 求图求图a 所示抗弯刚度为所示抗弯刚度为 EI 的简支梁的简支梁 跨中点的挠度跨中点的挠度 fC 和两端截面的转角和两端截面的转角 A , B 。 l 2 l A BC C q 30 解：解： 图图a可视为正对称可视为正对称 荷载（图荷载（图b）与反

14、对称与反对称 荷载（图荷载（图c）两种情况）两种情况 的叠加。的叠加。 l 2 l A BC C q 2 q C A B 2 q 2 q C A B 31 （1）正对称荷载作用下）正对称荷载作用下 EI ql EI lq BA 4824 ) 2( 33 11 2 q C A B EI ql EI lq fC 768 5 384 )2(5 44 1 32 （2）反对称荷载作用下）反对称荷载作用下 可将可将 AC 段和段和 BC 段分别视为受均布线荷载作用且长度段分别视为受均布线荷载作用且长度 为为 在跨中在跨中C截面处，截面处，但，但 且该截面的且该截面的 2 q 2 q C A B 33 EI

15、 lq BA 24 ) 2 ( ) 2 ( 3 22 0 2 f C EI ql 384 3 2 q 2 q C A B C C A A B B 2 q 2 q 34 EI ql EI ql EI ql BBB 384 7 38448 333 21 )( 768 5 4 21 EI ql fff CCC EI ql EI ql EI ql QQQ AAA 128 3 38448 333 21 35 例例5 按叠加原理求C点挠度。 解：载荷无限分解如图 由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。 叠加 EI bLbP f dPC 48 )43()d( 32 b L bq xxqPd 2 d)

16、(d 0 b EI bLqb d 24 )43( 322 dPCqC ff EI qL b EIL bLqb L 240 d 24 )43( 4 5.0 0 322 q0 0.5L0.5L x dx b x f C 36 例例6 说明。 + 等价 等价 B C PL2 f1 x f 21 fff PL1L2 ABC 刚化刚化AC段段 PL1L2 ABC 刚化刚化BC段段 7-4 7-4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形 = PL1L2 ABC x f f P L1L2 ABCM x f f2 37 7-4 7-4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形 38 1.1.刚度条件刚度条件 , m

17、axmax yy 建筑钢梁的许可挠度：建筑钢梁的许可挠度： 1000 250 ll 机械传动轴的许可转角：机械传动轴的许可转角： 3000 1 精密机床的许可转角：精密机床的许可转角： 5000 1 7-5 39 根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B B 处转角不超过许用数值。处转角不超过许用数值。 B 1 1）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B B 处的转角为：处的转角为： EI Fla B 3 解解 7-5 7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施 例例5 5 已知钢制圆

18、轴左端受力为已知钢制圆轴左端受力为F F 20 kN20 kN，al ml m，l2 m2 m， E E=206 GPa=206 GPa。轴承。轴承B B处的许可转处的许可转 角角 =0.5 =0.5。根据刚度要求。根据刚度要求 确定轴的直径确定轴的直径d d。 40 例例6 6 已知钢制圆轴左端受力为已知钢制圆轴左端受力为F F 20 kN20 kN，al ml m，l2 m2 m， E E=206 GPa=206 GPa。轴承。轴承B B处的许可转处的许可转 角角 =0.5 =0.5。根据刚度要求。根据刚度要求 确定轴的直径确定轴的直径d d。 B 2 2）由刚度条件确定轴的直径：）由刚度

19、条件确定轴的直径： B 111mmm10111 5 . 01020633 18064 3 4 29 3 4 E Fla d 7-5 7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施 180 3EI Fla E Fla I 3 180 E Flad 3 180 64 4 41 7-5 7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施 2.2.提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施 1 1）选择合理的截面形状）选择合理的截面形状 42 2 2）改善结构形式，减少弯矩数值）改善结构形式，减少弯矩数值 改改 变变 支支 座座 形形 式式 7-

20、5 7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施 43 2 2）改善结构形式，减少弯矩数值）改善结构形式，减少弯矩数值 改改 变变 载载 荷荷 类类 型型 7-5 7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施 %5 .62 1 2 C C w w 44 3 3）采用超静定结构）采用超静定结构 7-5 7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施 45 3 3）采用超静定结构）采用超静定结构 7-5 7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施 46 47 超静定梁：超静定梁：支反力数目大于有效平衡方

21、程数目的梁。支反力数目大于有效平衡方程数目的梁。 多余约束：多余约束：从维持平衡角度而言从维持平衡角度而言, ,多余的约束。多余的约束。 从减小变形的角度而言，有效约束。从减小变形的角度而言，有效约束。 超静定次数：超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。多余约束或多余支反力的数目。 相当系统（静定基）：相当系统（静定基）： 用多余约束力代替多余约束的静定系统。用多余约束力代替多余约束的静定系统。 7-6 48 2.2.求解方法：求解方法： 1 1）解除多余约束，代之以约束反力，建立相当（静）解除多余约束，代之以约束反力，建立相当（静 定基）系统；定基）系统；【欲擒先纵，欲求先解】【欲擒先纵，

22、欲求先解】 7-6 2 2）在多余约束处比较变形，列变形协调条件；）在多余约束处比较变形，列变形协调条件； 3 3）分别列写变形物理关系，代入变形协调方程，得）分别列写变形物理关系，代入变形协调方程，得 到多余约束处的补充方程，解出未知反力；到多余约束处的补充方程，解出未知反力； 4 4）与系统的静力平衡条件联立求解其它约束反力。）与系统的静力平衡条件联立求解其它约束反力。 49 2a (d) (c) (b) (a) a M M B B F C A A FAy A C F C BA FBy F C BA A 解解 例例6 6 求梁的支反力，梁的抗弯求梁的支反力，梁的抗弯 刚度为刚度为EIEI。

23、 2a (d) (c) (b) (a) a M M B B F C A A FAy A C F C BA FBy F C BA A 1 1）判定超静定次数）判定超静定次数 2 2）解除多余约束，建立相当系统）解除多余约束，建立相当系统 (d) AB C FBy AB F C 0)()( By FBFBB yyy 7-6 7-6 用变形比较法解简单超静定梁用变形比较法解简单超静定梁 3 3）进行变形比较，列出变形协）进行变形比较，列出变形协 调条件调条件 50 4 4）由物理关系，列出补充方程）由物理关系，列出补充方程 EI Fa aa EI aF y FB 3 14 )29( 6 )2( )(

24、 32 EI aF y By FB By 3 8 )( 3 0 3 8 3 14 3 3 EI aF EI Fa By 所以所以 FFBy 4 7 4 4）由整体平衡条件求其他约束反力）由整体平衡条件求其他约束反力 )( 4 3 ),( 2 FF Fa M AyA 7-6 7-6 用变形比较法解简单超静定梁用变形比较法解简单超静定梁 2a (d) (c) (b) (a) a M M B B F C A A FAy A C F C BA FBy F C BA A 2a (d) (c) (b) (a) a M M B B F C A A FAy A C F C BA FBy F C BA A (d

25、) AB C FBy AB F C A A M M A Ay y F F 51 52 q AB RB + 解：解：AB AB梁仅有两个平衡梁仅有两个平衡 方程，但有三个未知方程，但有三个未知 反力。属于一次静不反力。属于一次静不 定问题，只需补充一定问题，只需补充一 个方程。个方程。 RA MA A B q B1 Bq f 将将ABAB梁的梁的B B端约束视端约束视 为多余约束。放开为多余约束。放开B B 处的约束使之成为自处的约束使之成为自 由端。由端。 A B B2 B BR f RB 53 q AB A B q B1 Bq f A B RB B2 B BR f + 已知已知:q,EJ,L

26、;约束约束 如图所示。求如图所示。求A,B 反力。反力。 解：解： 因为因为B B截面的截面的 横向位移分别横向位移分别 由分布荷载和由分布荷载和 R RB B作用，分解作用，分解 如下。如下。 54 1、多余约束、多余约束B处的变形几何条件为：处的变形几何条件为： (1) 0 BqBR ff B 2、分别列出相应的变形物理方程：、分别列出相应的变形物理方程： (2) )( 3 ),( 8 34 EJ lR f EJ ql f B BRBq B 3、将变形物理方程（、将变形物理方程（2）代入变形几何条件（）代入变形几何条件（1），）， 得到得到B截面的变形协调方程：截面的变形协调方程： (3)

27、 0 83 43 EJ ql EJ lRB . 8 3 qlRB 55 例例7 梁梁AB AB 和和BC BC 在在B B 处铰接，处铰接，A A、C C 两端固定，梁的抗弯刚度两端固定，梁的抗弯刚度 均为均为EIEI，F F = 40kN= 40kN，q q = 20kN/m = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。画梁的剪力图和弯矩图。 从从B B 处拆开，使超静定结构变处拆开，使超静定结构变 成两个悬臂梁。成两个悬臂梁。 变形协调方程为：变形协调方程为： 21BB yy BB F F FB yB1 FB yB2 物理关系物理关系 EI F EI q y B B 3 4 8 4 34 1

28、EI F EI F y B B 3 4 243 6 2 3 2 2 解解 56 FB FB yB1 yB2 kN75. 8 48 420 46 1040 2 3 3 4 2 B F 代入得补充方程：代入得补充方程： EI F EI F EI F EI q BB 3 4 243 6 2 3 4 8 4 3234 确定确定A A 端约束力端约束力 04, 0 qFFF BAy kN25.7175. 82044 BA FqF 0424, 0 BAA FqMM mkN12575. 842204 424 BA FqM 57 FB F B yB1 yB2 0, 0 FFFF CBy 确定确定B B 端约束

29、力端约束力 kN75.48 75. 840 BC FFF 042, 0 BCC FFMM kN.m11540275. 84 24 FFM BC 7-6 7-6 用变形比较法解简单超静定梁用变形比较法解简单超静定梁 58 A A、B B 端约束力已求出端约束力已求出 最后作梁的剪力图和弯矩图最后作梁的剪力图和弯矩图 )( )( 25.71 75. 8 75.48 kN S F )(kN25.71 A F )kN(75.48 C F )(mkN125 A M )m(kN115 C M )( 125 115 94. 1 5 .17 )mkN( M )( 7-6 7-6 用变形比较法解简单超静定梁用变

30、形比较法解简单超静定梁 59 已知：已知：q,l,EJ=c;求作求作 剪力、弯矩图。剪力、弯矩图。q A BC 例例8 解：解：1、画出静定基：、画出静定基： C BA RC 分解为简单载荷作用下分解为简单载荷作用下 的基本梁，如图所示。的基本梁，如图所示。 60 C BA q/2 1c f C BA q/2 q/2 2c f C BA RC 3c f )( 384 2 5 4 1 EJ l q f c 0 2 c f )( 48 3 3 EJ lR f c c 2、分析简单的基本载荷作用下的变形物理条件：分析简单的基本载荷作用下的变形物理条件： 61 3、变形几何条件：变形几何条件： 0 3

31、21 cccc ffff 4、将将变形物理条件变形物理条件代入代入变形几何条件变形几何条件，得到变形谐，得到变形谐 调方程：调方程： qlRc EJ ql EJ lRc 16 5 , 0)( 3842 5 0)( 48 43 5、列静力学平衡方程求解所有未知反力：列静力学平衡方程求解所有未知反力： 由静定基梁列方程由静定基梁列方程: : )( 32 7 , 0 )( 32 , 0 qlRY ql RM A BA 62 6、求求Q(x)和和M(x)： C BA RCRA RB x1 x2 AC段段: )2/0( 232 7 )M(x L/2)x(0 32 7 )( 1 2 1 11 111 Lx

32、 qx qlx qxqlxQ CB段段: l)x 2 l ( ),( 32 )( ) 2 ( , 32 )( 222 22 xl ql xM lx lql xQ 63 C BA RCRA RB x1 x2 - Q 32 7ql 32 ql 32 9ql - M 2048 49 2 ql 64 2 ql . 2048 49 , , 32 7 x 0 )( )(: 2 max 1 1 1 1 ql M l dx xdM xQ 得到得到弯矩方程弯矩方程 将其代入相应的将其代入相应的 令令注注 64 例例 已知：悬臂梁受力如图示，已知：悬臂梁受力如图示， q q、l、EIEI均为已知。求均为已知。求C

33、 C截面截面 的挠度的挠度w wC C和转角和转角 C C 1 1）首先，将梁上的载荷变成）首先，将梁上的载荷变成 有表可查的情形有表可查的情形 为了利用梁全长承受均为了利用梁全长承受均 布载荷的已知结果，先将均布载荷的已知结果，先将均 布载荷延长至梁的全长，为布载荷延长至梁的全长，为 了不改变原来载荷作用的效了不改变原来载荷作用的效 果，在果，在AB AB 段还需再加上集段还需再加上集 度相同、方向相反的均布载度相同、方向相反的均布载 荷。荷。 C w 65 C w 2C w 1C w 2B w , 8 4 1 EI ql wC , 248128 2 34 222 l EI ql EI ql

34、 l ww BBC EI ql C 6 3 1 EI ql C 48 3 2 EI ql ww i CiC 384 41 4 2 1 3 3）将结果叠加）将结果叠加 EI ql i CiC 48 7 3 2 1 2 2）再将处理后的梁分解为简单）再将处理后的梁分解为简单 载荷作用的情形，计算各自载荷作用的情形，计算各自C C截截 面的挠度和转角。面的挠度和转角。 66 例：结构如图所示，设梁例：结构如图所示，设梁AB和和CD的弯曲刚度的弯曲刚度EIz相同，拉杆相同，拉杆BC 的拉压刚度的拉压刚度EA为已知，求拉杆为已知，求拉杆BC的轴力。的轴力。 解：将杆解：将杆BC移除，则移除，则AB,CD均为静定均为静定 结构，杆结构，杆BC的未知轴力的未知轴力FN作用在作用在AB、 CD梁上，如图（梁上，如图（b）、（）、（c）所示。为）所示。为 1次超静定。次超静定。 Z N Z B EI aF EI aq 3 2 8 2 34 对于对于AB梁：梁： 对于对于CD梁：梁： Z N C EI aF 3 3 BC杆的伸长：杆的伸长： EA aF L N BC 67 补充方程：补