高一数学函数模型与其应用

1、函数模型及其应用函数模型及其应用(1) 孙小凯孙小凯(班级一学生班级一学生,刚好早晨迟到刚好早晨迟到)早上起床太晚，为早上起床太晚，为 避免迟到，不得不跑步到教室，但由于平时不注意锻炼身避免迟到，不得不跑步到教室，但由于平时不注意锻炼身 体，结果跑了一段就累了，不得不走完余下的路程。体，结果跑了一段就累了，不得不走完余下的路程。 问题问题1 tt0 d0 d 0 (A) tt0 d0 d 0 (B) tt0 d0 d 0 (D) tt0 d0 d 0 （C) 如果用纵轴表示离教室的距离，横轴表示出发后的如果用纵轴表示离教室的距离，横轴表示出发后的 时间，则下列四个图象比较符合此人走法的是（时间

2、，则下列四个图象比较符合此人走法的是（ ） 问题问题2 韦老师今天从一中到二中上课，来的时候坐了 出租车。我们知道出租车的价格，凡上车起步 价为5元，行程不超过3km者均按此价收费， 行程超过3km，增加部分按1元/km收费。 一中到二中的路程是一中到二中的路程是 4公里，问韦老师今天坐车公里，问韦老师今天坐车 用了多少钱？用了多少钱？ 一中到二中的路程是一中到二中的路程是 x公里，问韦老师今天坐车公里，问韦老师今天坐车 会用多少钱？会用多少钱？ 实际问题实际问题数学模型数学模型 数学模型的解数学模型的解实际问题的解实际问题的解 抽象抽象 概括概括 推理演算推理演算 还原说还原说 明明 答答

3、求解数学应用问题的思路和方法，我们可以用求解数学应用问题的思路和方法，我们可以用 示意图表示为：示意图表示为： 数学模型数学模型 例1、某计算机集团公司生产某 种型号的计算机的固定成本为 200万元，生产每台计算机的可 变成本为3000元，每台计算机的 售价为5000元，分别写出总成本 C(万元),单位成本P(万元)、销售 收入R（万元）以及利润L（万 元）关于总量x（台）的函数关 系式。 例2、物体在常温下的温度变化可以用 牛顿冷却规律来描述：设物体的初始 温度是T0，经过一定时间t后的温度是T， 则 ，其中 表示 环境温度，称 h为半衰期。 现有一杯用88热水冲的速溶咖啡， 放在24的房间

4、中，如果咖啡降温到 40需要20min，那么降到35时，需 要多长时间（结果精确到0.1)？ 1 0 2 t h TTTT T 因此，解决应用题的一般程序是：因此，解决应用题的一般程序是： 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺 数量关系；数量关系； 建模：将文字语言转化为数学语言，利用建模：将文字语言转化为数学语言，利用 数学知识，建立相应的数学模型；数学知识，建立相应的数学模型； 解模：求解数学模型，得出数学结论；解模：求解数学模型，得出数学结论； 还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原：将用数学知识和方法得出的结论， 还原为实际问题的意义还原为实际问题

5、的意义 作业作业 p88 3、4 函数模型及其应用函数模型及其应用(2) 解决应用题的一般程序是：解决应用题的一般程序是： 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺 数量关系；数量关系； 建模：将文字语言转化为数学语言，利用建模：将文字语言转化为数学语言，利用 数学知识，建立相应的数学模型；数学知识，建立相应的数学模型； 解模：求解数学模型，得出数学结论；解模：求解数学模型，得出数学结论； 还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原：将用数学知识和方法得出的结论， 还原为实际问题的意义还原为实际问题的意义 1 2 31 1.21.3 (, ,) 41.37 x y

6、x ya bca b c 例1.某工厂今年 、 月分别生产某产品 万件， 万件， 万件，为了估测以后每个月的产量， 以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模 拟产品的月产量 与月份 的关系模拟函数可 选其中为常数 或二次函数 已知 月份该产品的产量为万件，请问，用 以上哪个函数为模拟函数较好，并说明理由 2 3 10000 12000 13000 abc abc abc 14000 8000 2 1 c b a 2 12 :( )( ) x f xa bcfxAxBxC解 设， 根据题意，得： 1300039 1200024 10000 CBA CBA CBA 解之得 7000 3500 50

7、0 C B A 1 12 2 2 1 2 ( )8000 ( )14000 ( )50035007000 1 4(4)80001400013500 16 (4)500 163500 4700013000 x f x fxxx xf f ， 当时， 1 1 2 413700 (4). 8000( )14000. x x f yabc y 而 月份产量是件，与 较为接近 选取 即：作为模拟函数较好 例2.某房地产公司要在荒地ABCDE(如图)上划 出一块长方形的地面修建一幢公寓楼，已知 EF=80m,BC=70m,BF=30m, AF=20m,问： 如何设计才能使公 寓楼地面面积最大？ 最大面积是

8、多少？ A CB N F E D 例例1：如图，有一块半径为的半圆形钢：如图，有一块半径为的半圆形钢 板，计划剪裁成等腰梯形的板，计划剪裁成等腰梯形的 形状，它的下底是形状，它的下底是 的直径，的直径， 上底的端点在圆周上。问：腰为上底的端点在圆周上。问：腰为 多少时，梯形周长最大？多少时，梯形周长最大？ AB C D 0 解解:设腰长设腰长AD=BC=x,周长为周长为y R x AEABAEAD 2 2 2 即 R x RAEABCD 2 22 EAB C D 0 , , ABDRtADERtADB BDEABDE 由此是直角那么 连结垂足为作 2 0,0,0 0, 0, 2 20 ADAE

9、CD x xR x R R Rx R x R x RxRy 42 )2(22 2 2 RyRx5, max 时当 RyRx5,: max 周长时当腰长答 练习练习 1有一批材料可以建成有一批材料可以建成200m的围墙，如果的围墙，如果 用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形 场地，中间用同样的材料隔成三个面积相场地，中间用同样的材料隔成三个面积相 等的矩形（如下图所示），则围成的矩形等的矩形（如下图所示），则围成的矩形 最大面积为最大面积为 _m2（围墙厚度（围墙厚度 不计）不计） 解析：解析：设矩形宽为设矩形宽为xm， 则矩形长为（则矩形长为（2004x）m

10、， 则矩形面积为则矩形面积为 Sx（2004x） 4（x25）22500 （0 x50），）， x25时，时，S有最大值有最大值2500m2 2.有甲、乙两种产品，生产这两种产 品所获得利润分别为p和q（万元）， 它们与投入的资金x（万元）的关系 分别为 , 。 今投入3万元资金生产甲、乙两种产 品，为了获得最大利润，对甲乙两种 产品的投入分别应为多少万元？此时 最大利润是多少万元？ 1 4 px 3 4 qx 3某产品的成本y（万元）与产 量x（台）之间的函数关系 ，若每台产品的售价为25万元， 则生产者不“亏本”（即销售 收入不小于总成本）的最低产 量台数为 2 3000200.1,(0,

11、240)yxxx 小结小结： 2.解题过程：从问题出发，引进数学符号，建立函数解题过程：从问题出发，引进数学符号，建立函数 关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的 实际意义做出回答实际意义做出回答. 即建立数学模型，并推理演算求出数学模型的解，即建立数学模型，并推理演算求出数学模型的解， 再结合实际做出再结合实际做出回答回答. 1.解题四步骤：设、列、解、答解题四步骤：设、列、解、答. 函数模型及其应用函数模型及其应用(3) 例1、某旅社有客房300间，每间日 房租为20元，每天都客满，公司 欲提高档次，并提高租金，如果 每间客房每日增加2

12、元，客房出 租数就会减少10间，若不考虑其 它因素，旅社将房间租金提高多 少时，每天客房租金总收入最高？ 点拨：由题设可知，每天客房总的租 金是增加2元的倍数的函数。设提高 为x个2元，则依题意可算出总租金 （用y表 示）的表达式，由于房间数 不太多，为了帮助同学理解这道应用 题，我们先用列表法求解，然后再用 函数的解析表达式求解。 解：设客房租金每间提高x个2元， Y=(20+2x)(300-10 x) =-20 x2+600 x-200 x+6000 =-20(x2-20 x+100-100)+6000 =-20(x-10)2+8000 则将有10 x间客房空出，客房租金 的总收入为 由此

13、得到，当x=10时，y的最大值为8000，即 每间租金为20+102=40（元）时客房租金 总收入最高，每天为8000元。 总结： 通过列表的形式求解，直观性强， 有助于同学理解，但运算过程比较繁 琐，作为探求思路的方法还是可行的； 根据题目的条件列出函数关系式， 利用二次函数求极值，是常用的方法。 练习： 1、将进货单价为80元的商品按90 元一个出售时，能卖出400个， 根据经验，该商品每个上涨1元， 其销售量就减少20个，为获得最 大利润，售价应定为多少元？最 大利润是多少？ 2、某车间最大生产能力为月生产 100台机床，至少要完成40台才能 保本，当生产x台时的总成本函数 为G(x)=

14、x2+10 x(百元），按市场 规律，价格为P=970-5x(x需求量） 可以销售完，试写出利润函数， 并求出生产多少台时，利润最大。 3、某商场出售一种商品，（原来） 每天可卖出1000件，每件可获利4 元。根据经验，若单件商品的价格 每减少0.1元，每天的销售量就会多 出100件。从获得最好的经济效益 的角度来看，该商品的单价应比现 在减少_元 函数模型及其应用函数模型及其应用(4) 例题、一家报刊摊点，从报社买进报 纸价格是每份0.24元，卖出是每份 0.40元，卖不掉的报纸还可以每份 0.08元的价格退回报社，在一个月 的30天里，有20天每天可卖出300 份，其余10天，每天卖出20

15、0份,但 这30天里,每天从报社买进的份数必 须相同,这家报刊摊点应该每天从报 社进多少份报纸,才能获得最大利润, 一个月可赚多少钱. (2)当200300时, y=(0.4-0.24) 10200-(0.24-0.08)10(x-200) +(0.4-0.24)20300-(0.24-0.08)(x-300)20 =2560-4.8x2560-4.8300=1120 总结总结:求分段函数的最值,应先 求出函数在各部分的最值,然 后取各部分的最值的最大值 为整个函数的最大值,取各部 分的最小者为整个函数的最 小值. 变式：如图，一动点P自边长为1的 正方形的边界运动一周后再回到A 点，若点P的

16、路程为x，点P到顶点A 的距离为y， 求A，P两点间的 距离y与点P的 路程x之间的函 数关系式。 A P P D B C 2、某公司生产一种电子仪器的固定成本 为20000元，每生产一台仪器需增加投 入100元，已知总收益满足函数： 其中x是仪器的月产量。 （1）将利润表示为当月产最的函数 （2）求每月生产多少台仪器时，公司所 获利润最大？最大利润为多少元？ 2 1 4000400 2 80000400 xxx R x x f x 例例2.2.在一定范围内，某种产品的购买量为在一定范围内，某种产品的购买量为y ty t， 与单价与单价x x元之间满足一次函数关系。元之间满足一次函数关系。 如

17、果购买如果购买1000t1000t，每吨为，每吨为800800元，如果购买元，如果购买2000t2000t， 每吨为每吨为700700元，一客户购买元，一客户购买400t400t，单价应该为，单价应该为 （ ） A.820 A.820 元元 B.840B.840元元 C.860C.860元元 D.880D.880元元 c 例例3 3、 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200200元，元， 每桶水的进价是每桶水的进价是5 5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：元，销售单价与日均销售量的关系如表所示： 销售单价销售单价/ /元元 日均

18、销售量日均销售量/ /桶桶 6 67 78 89 9101011111212 480480440440400400360360320320280280240240 请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？ 解：设在进价基础上增加解：设在进价基础上增加x x元后，日均经营利润为元后，日均经营利润为y y元，则有日均销售量为元，则有日均销售量为 xx40520) 1(40480 （桶）（桶） 而 130, 040520, 0 xxx即且 1490)5 . 6(4020052040200)40520( 22 xxxxxy yx时，当5 .6有最大值有最大值 只需将销售单价定为只需将销售单价定为11.511.5元，就可获得最大的利润。元，就可获得最大的利润。 利润怎样产生的