空间向量的数乘运算

1、第1页 3.1.2 空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算 第2页 自自 学学 导导 引引(学生用书学生用书P63) 第3页 1.理解向量数乘运算的含义及运算律理解向量数乘运算的含义及运算律,能够进行向量的数乘运能够进行向量的数乘运 算算. 2.掌握向量共线与共面定理掌握向量共线与共面定理,能运用定理证明一些几何问题能运用定理证明一些几何问题. 第4页 课课 前前 热热 身身(学生用书学生用书P63) 第5页 1.与平面向量一样与平面向量一样,实数实数与空间向量与空间向量a的乘积的乘积a仍然是一个仍然是一个 _,称为称为_. 当当0时时,a与与a方向方向_; 当当0时时,a与与a方向方向_; 当

2、当=0时时,a是一个是一个_. a的长度是的长度是a的长度的的长度的_倍倍. 向量向量向量的数乘运算向量的数乘运算 相同相同 相反相反 0 | 第6页 2.数乘运算律数乘运算律: 分配律分配律:_;_. 结合律结合律:(a)=_. 3.空间向量共线的充要条件是空间向量共线的充要条件是:对空间任意两个向量对空间任意两个向量a、 b(b0),ab的充要条件是的充要条件是_. 4.空间任意两个向量都空间任意两个向量都_.平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量 叫做叫做_. (a+b)=a+b(+)a=a+a ()a a=b 共面共面 共面向量共面向量 第7页 名名 师师 讲讲 解解(学生用书学生用

3、书P63) 第8页 1.正确应用共线向量及共线向量定理正确应用共线向量及共线向量定理 (1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样,当我们说当我们说a、 b共线时共线时,表示表示a、b两条有向线段所在直线既可能是同一直两条有向线段所在直线既可能是同一直 线线,也可能是平行直线也可能是平行直线;当我们说当我们说ab时时,也具有同样的意义也具有同样的意义. (2)用共线向量定理证明两直线平行是常用方法用共线向量定理证明两直线平行是常用方法,但是要注意但是要注意, 向量平行与直线平行是有区别的向量平行与直线平行是有区别的,直线平行不包括共线的直线平行不包括共

4、线的 情况情况.如果应用共线向量定理判断如果应用共线向量定理判断a、b所在的直线平行所在的直线平行,还还 需说明需说明a(或或b)上有一点不在上有一点不在b(或或a)上上. 第9页 3, (1) ()ABC, ,. :O,. ABBCABAC OBtOAt OC 用共线向量定理证明三点共线也是常用方法之一 在利用该定理证明 或判断 三点 、 、 共线时 只需 证明存在实数使或即可 同时也可证明 对空间任意点有 第10页 2.共面向量定理的理解共面向量定理的理解 (1)空间一点空间一点P位于平面位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实内的充分必要条件是存在有序实 数对数对(x,y),使使 满足

5、这个关系式的点满足这个关系式的点P都在都在 平面平面MAB内内;反之反之,平面平面MAB内的任一点内的任一点P都满足这个关系式都满足这个关系式. 这个充要条件常用以证明四点共面这个充要条件常用以证明四点共面. ,MPxMAyMB 第11页 (2)共面向量的充要条件给出了平面的向量表示式共面向量的充要条件给出了平面的向量表示式,说明任意说明任意 一个平面可以由两个不共线的平面向量表示出来一个平面可以由两个不共线的平面向量表示出来,它既是判它既是判 断三个向量是否共面的依据断三个向量是否共面的依据,又是已知共面条件的另一种形又是已知共面条件的另一种形 式式,可以借此已知共面条件转化为向量式可以借此

6、已知共面条件转化为向量式,以方便向量运算以方便向量运算.另另 外外,在许多情况下在许多情况下,可以用可以用“若存在有序实数组若存在有序实数组(x,y,z)使得对使得对 于于 空间任意一点空间任意一点O,有有 且且x+y+z=1成立成立, 则则P、A、B、C四点共面作为判定空间上四个点共面的依据四点共面作为判定空间上四个点共面的依据. ,OPxOAyOBzOC 第12页 典典 例例 剖剖 析析(学生用书学生用书P63) 第13页 题型一题型一 空间向量的概念空间向量的概念 例例1:给出以下命题给出以下命题: 用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示

7、两个向量, 则这两个向量一定不共面则这两个向量一定不共面; 已知空间四边形已知空间四边形ABCD,则由四条线段则由四条线段AB、BC、CD、DA 分别确定的四个向量之和为零向量分别确定的四个向量之和为零向量; 若三个向量共面若三个向量共面,则这三个向量的起点和终点一定共面则这三个向量的起点和终点一定共面. xyOPAB;,OPxOAyOB 若存在实数 、 使得则 、 、 、 四点共面 第14页 其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是_. 解析解析:在空间在空间,用有向线段表示的向量仍然是自由向量用有向线段表示的向量仍然是自由向量,而任意而任意 两个向量总是共面向量两个向量总是共面向量,故命题

8、错误故命题错误;空间四边形的四条边空间四边形的四条边 确定的四条线段中每条线段都可以确定两个方向相反的向量确定的四条线段中每条线段都可以确定两个方向相反的向量, 当它们不是首尾相接时当它们不是首尾相接时,这四个向量的和就不是零向量这四个向量的和就不是零向量,故命故命 题错误题错误;命题就是空间共面向量定理命题就是空间共面向量定理,所以是正确的所以是正确的;命题命题 也是错误的也是错误的,向量的共面与点的共面是不同的两个概念向量的共面与点的共面是不同的两个概念,若若 其中两个向量是平行向量其中两个向量是平行向量, 第15页 第三个向量与其中一个向量有相同的起点第三个向量与其中一个向量有相同的起点

9、,则这三个向量一则这三个向量一 定是共面向量定是共面向量,但这三个向量的起点与终点却可以不共面但这三个向量的起点与终点却可以不共面. : , . 0ABBCCDDA 误区警示 本例中的判断极易认为 是正确的 其实题目中并没有明确四条线确定的向量 每条线 段可以表示两个相反向量 第16页 变式训练变式训练1:下列说法正确的是下列说法正确的是( ) A.以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体 1 1 , 1 ( B. C.,PAB D.,A 2 B ) CD AB AA AD ABAAAD OPPAPB ABCD 设平行六面体的三条棱是、则这一平行

10、六 面体有一条对角线所对应的向量是 若成立 则 点一定是线段的中点 在空间中 若向量与是共面向量 则 、 、 、 、 四点共面 答案答案:B 第17页 题型二题型二 空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算 1111 11 2:,ABCDA B C D, ,a,b,c 1 ,2, 2 . AMMC ANNDABa ADb AAc MN 例如图所示 在平行六面体中 设 试用表示 第18页 :, a,b,c. MN 分析 先结合向量的加减法将用其他向量表示 再考虑将 所涉及的向量用表示 1 1111 . 11 .,. 23 111 ().2, 333 2 . 3 :,AN,ABCD,MNANAM AC

11、ABADAMMCAMAC AMABADabANND ANADADADAA 解 如图所示 连结则在中 又 又 11 2 ,(). 3 ANADAA 第19页 11111 21212 (). 33333 1211111 (). 3333333 ANAAANAAADAAAAADcb MNANAMcbababc 第20页 11 :, , ., , . a,b,c. MN ANAMANAM MN MNMAAAAN 规律技巧 用已知向量表示未知向量 要结合有关图形 借助向量线性运算的三角形法则、平行四边形法则 将要表示的向量逐步向已知向量靠近在本题中 先将 用和表示 再将和用已知向量来表示 本题也可以先将

12、本题也可以先将表示为 第21页 2:ABCD, MBC,GBCD , (1);(2). ,abc: ABa ACb ADc DMAG 变式训练已知空间四边形中向量 若为的中点为重心 试用 、 、 表示向量 :. 1AM,ADM, , 11 ()(). 22 . DMDAAM AM ABACab DAADc 解 如图所示 连结在中 由线段中点的向量表示知 由相反向量的概念知 第22页 2AG,ADG, 11 ()(2 ). 22 211 (2 )(). 3 , 33 DMDAAMabcabc AGADDGcDMcabcabc 所以 连结得由三角形重心的性质 得 第23页 题型三题型三 共线问题共

13、线问题 3:,ABCDABEF, MNACBF.?CEMN 例如下图所示、都是平行四边形 且不共面 、 分别是、的中点判断与是否共线 第24页 :x ,. ,CEMN CExMNCEMNCEMN 分析 要判断与是否共线由共线向量定理就是是否存在实数 使 若存在 则与共线 否则与不共线 11 . 2 : MNACBF,ABCDA 2 11 , 22 111 22 BEF , 2 MNMAAFFNCAAFFB MNMCCEEBBNCACEAFFB CAAFFBCA 解、 分别是、的中点 而四边形、 都是平行四边形 又 1 . 2 2 . 2(). 2./, CEAFFB CECAAFFBMAAFF

14、N CEMNCE MNCEMN 即与共线 第25页 规律技巧规律技巧:(1)判定两向量共线就是找判定两向量共线就是找x使使a=xb,要充分运用空要充分运用空 间向量运算法则结合空间图形间向量运算法则结合空间图形,化简得出化简得出a=xb,从而得出从而得出ab. (2)要证明空间图形中的两直线平行可以先证明两直线所在的要证明空间图形中的两直线平行可以先证明两直线所在的 向量平行向量平行,然后观察图形找出在一直线上有一点不在另一直然后观察图形找出在一直线上有一点不在另一直 线上线上,则两直线平行则两直线平行. 第26页 变式训练变式训练3:射线射线AB、AC、AD不共面不共面,连接连接BC、CD、

15、DB,取取 AB、BC、CD、DA的中点的中点E、F、G、H,如图如图,试判断四边形试判断四边形 EFGH的形状的形状,并用向量证明并用向量证明. 第27页 :EFGH.: EFG, EH/FGEHFG.EFGH 111 , 222 111 , 222 . . EHEAAHBAADBD FGFCCG BCCDBD EHFG 解 四边形是平行四边形证明如下 点不在上 且四边形是平行四边形 第28页 题型四题型四 共面问题共面问题 例例4:如右图如右图,两个全等的正两个全等的正 方形方形ABCD、ABEF,在其对角在其对角 线线AE、BD上上(不含端点不含端点)分分 别取点别取点M、N,使使AM=

16、DN.求求 证证:MN平面平面BCE. 分析分析:可将直线与平面的平行转化成向量的共面可将直线与平面的平行转化成向量的共面,然后结合线然后结合线 面平行的判定定理证明面平行的判定定理证明. 第29页 : ,BCBEB,BB , CE. . () ()(1). AMkAEDNkDB MN MAADDNkAEBCkDBk ABBE BCk ABCBk BCkBE MN BC BE 证明 设则由已知可得 、 、 共面 而平面 MNBCE,MNBCE.直线在平面外平面 第30页 规律技巧规律技巧:将要证的直线与平面平行的问题转化成向量共面将要证的直线与平面平行的问题转化成向量共面 的问题的问题,从而使

17、繁琐地几何证明问题巧妙地转化成向量的运从而使繁琐地几何证明问题巧妙地转化成向量的运 算算,体现了向量良好的工具性体现了向量良好的工具性. 第31页 变式训练变式训练4:如右图如右图,ABCD-ABCD中中,点点E是上底面是上底面 ABCD的中心的中心, 求下列各式中的求下列各式中的x、y、z的值的值: (1); (2). BDxADyABzAA AExADyABzAA 第32页 , , 11 : 1 x1,y ( 1 2 1 2 2 ,z. BDBDDDBABCDDABADAA BDxADyABzAA AEAAA EAAACAAA BA D 解 又 ) 1111 , 2222 11 ,1. 2

18、2 x AAA BA DADABAA AExADyABzAAyz 又 第33页 技技 能能 演演 练练(学生用书学生用书P65) 第34页 基础强化基础强化 1.满足下列条件满足下列条件,能说明空间不重合的三点能说明空间不重合的三点A、B、C共线的共线的 是是( ) . .| | A ABBCACB ABABBC C ABBCD ABBC 答案答案:C 第35页 2.下列命题中正确的是下列命题中正确的是( ) A.若若a与与b共线共线,b与与c共线共线,则则a与与c共线共线 B.向量向量a、b、c共面共面,即它们所在的直线共面即它们所在的直线共面 C.零向量没有确定的方向零向量没有确定的方向

19、D.若若ab,则存在唯一的实数则存在唯一的实数,使使a=b 解析解析:当当b=0时时,a与与c不一定共线不一定共线,所以所以A错错.由共面向量的定义由共面向量的定义 知知,B错错.当当a与与b是非零向量时是非零向量时,D正确正确.但命题中没有非零向但命题中没有非零向 量这个条件量这个条件,所以所以D错错. 答案答案:C 第36页 3.下列条件中使点下列条件中使点M与点与点A、B、C一定共面的是一定共面的是( ) .2 111 . 532 .0 .0 AOMOAOBOC BOMOAOBOC C MAMBMC DOMOAOBOC 答案答案:C 第37页 4.下列结论中下列结论中,正确的个数是正确的

20、个数是( ) 若若a、b、c共面共面,则存在实数则存在实数x、y,使使a=xb+yc 若若a、b、c不共面不共面,则不存在实数则不存在实数x、y,使使a=xb+yc 若若a、b、c共面共面,b、c不共线不共线,则存在实数则存在实数x、y,使使a=xb+yc 若若a=xb+yc,则则a、b、c共面共面 A.0 B.1C.2 D.3 解析解析:正确正确,错误错误. 答案答案:D 第38页 5.ab, A.ABDB.ABC C.BCDD.A 2 ,56 ,72 CD ,ABab BCab CDab 已知向量 、且 则一定共线的三点是（ ） 、 、 、 、 、 、 : (7a2b)a2b( 5a6b)

21、33a6b ABD. ADCDCACDACCDABBC AB 解析 、 、 三点共线 答案答案:A 第39页 11111 1111 1 6.ABCDA B C D,EABCD ,xyx _y_. AEA AxAByAD 在长方体中为矩形的对角 线的交点 则中的 、 值应为 ， 1 2 1 2 第40页 111 11 1111 1 2 111 () 222 1111 2222 : AEA AABBCCEA AABBCCA A AABBCCBCDA AABDCBCBC A AABBCA AABA 解析 11 x 11 ,. 22 D y 第41页 7.向量向量a与与b不共线不共线,存在惟一一对非零实数存在惟一一对非零实数m、n,使使 c=ma+nb,则则a、b、c_共面向量共面向量.(填填“是是”或或 “不不 是是”) 是是 第42页 8.O,ABCD, ,2x3y4z _ 234, _. OAx BOy COz DO 已知 是空间任一点、 、 、 四点满足任三点均不共线 但四点共面 且则 : 2x3y4z1, 2x3y4 2342 4 z 3 1. OAx BOy COz