第三章知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组

1、学习好资料欢迎下载第三章矩阵的初等变换与线性方程组第一节矩阵的初等变换初等行变换1对调两行，记作（r rj）。2以数k=0乘以某一行的所有元素，记作（n k）。3把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去，记作（n krj）。初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换， 所用记号是把“ r”换成“ c”。扩展矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换且类型相同。矩阵等价如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵 B,就称矩阵A与B等价。等价关系的性质（1）反身性 AA（2）对称性若A B，则B A;（3）传递性 若 AB,BC,则 AC。（课本P59）行阶梯

2、形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零， 每个台阶只有一行， 台阶数即是非零 行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行 的第一个非零元。行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0.E O）标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如F = r的矩阵，称I。丿m漏为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A等价的矩阵中形状最简单的矩阵。初等变换的性质设A与B为m x n矩阵，那么r(1) ALB=存在m阶可逆矩阵P,使PA = B;c(2) AB：=存在n阶可逆矩阵Q,使AQ二B;(3) ALB=存在m阶可逆

3、矩阵P,及n阶可逆矩阵Q,使PAQ = B;初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。初等矩阵的性质设A是一个mxn矩阵，则(1) 对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的 m阶初等矩阵;r 即AB= 存在m阶可逆矩阵P,使PA = B;(2) 对 A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的 n阶初等矩阵；c 即AB= 存在n阶可逆矩阵Q,使AQ二B；(3) AB=存在m阶可逆矩阵P,及n阶可逆矩阵Q,使PAQ二B;(4) 方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵R, P2,川，P,使A = RP2H| P亠(5) A可逆的充分必要条件是A Eo (课本P

4、?)初等变换的应用(1)求逆矩阵:(A|E)初等行变换,e|A4或IE丿初等列变换(2)求 A-1b : A(代B)(E,P),即(A| B)行一；：.E | AB ,则 P=A-1b。或初等列变换t第二节矩阵的秩矩阵的秩 任何矩阵Amn，总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的。(非零行的行数即为矩阵的秩)矩阵的秩 在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D,且所有r + 1阶子式(如果存在的话) 全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式。 数r称为矩阵A的秩，记作R(A)规 定零矩阵的秩，R(0)=0.说明1. 矩阵 Amxn,则 R(A) w min,

5、n;2. R(A) = R(AT);3. R(A) 的充分必要条件是至少有一个r阶子式不为零；4. R(A) W的充分必要条件是所有r + 1阶子式都为零.满秩和满秩矩阵矩阵人=佝)咖，若R(A)=m，称A为行满秩矩阵；若R(A) = n ,称A为列满秩矩阵；若A为n阶方阵,且R(A)二n,则称A为满秩矩阵。若n阶方阵A满秩，即R(A)二n=A = 0；A，必存在；=A为非奇异阵；=A必能化为单位阵En,即A En.矩阵秩的求法定理1 矩阵A经过有限次行(列)初等变换后其秩不变。即若AB,则R(A)=R(B)。矩阵Am x n,经过有限次初等行变换可变为行阶梯形，则非零行的行数就是A的秩。(证

6、明课本P?) 推论 若P、Q可逆，则R(PAQ)=R(A)(课本P?)矩阵秩的性质总结(1) 0R(Amn)Emi nm, n (2) R A 刁 RA (3)若 A B,则 RA=RB 若P、Q可逆，则R(PAQ)二R(A)(5) maxR(A), R(B) R(A, B)岂 R(A) R(B)特别当B二b为非零列向量时，有 R(A)乞R(A,b) R(A) 1.(6) R(A B)乞 R(A) R(B)(7) R(AB)乞 min R(A), R(B).(8) 若AmnBni=O,则 R(A) R(B)岂 n.(9) 设AB=O，若A为列满秩矩阵，则B=O (矩阵乘法的消去率)。(课本P7

7、1)第三节线性方程组的解a11x1 + a12x2 11 +a1nx bl线性方程组吐必+a22X2 +川+釘人电如果有解，则称其为相容的，否则称为不相容mill min ihhi minamM +am2X2 +川 +amnx =bm定理2 n元齐次线性方程组 Ax=0(1) R(A) = n 二 Ax=0 有唯一解，零解(2) R(A) n 二 Ax=0 有非零解.定理3 n元非齐次线性方程组 Ax = b(1) 无解的充分必要条件是R(A) :：: R(A, b)(2) 有唯一解的充分必要条件是R(A) =R( Rb) =n(3) 有无限多接的充分必要条件是R(A) =R(代b) n (证

8、明课本P71)基础解系齐次线性方程组 Ax = 0的通解具有形式x = c, 1 c2 2(c1, C2为任意常数)，称通解式x二c, 1 C22 G,C2为任意常数 中向量 仆；构成该齐次线性方程组的基础解系。 线性方程组的解法齐次线性方程组：将系数矩阵A化成行阶梯形矩阵，判断是否有非零解 .若有非零解，化成 行最简形矩阵，写出其解；齐次线性方程组的基础解系含有的向量个数为n-R(A),齐次线性方程组的通解可以表成基础解系的线性组合”。非齐次线性方程组：将增广矩阵B=(A,b)化成行阶梯形矩阵，判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，写出其解；在求解过程中，一般取行最简形矩阵中非零行的第一个非零元 对应的未知量为非自由的。非齐次线性方程组解的通解具有形式1 c2*