等腰三角形的证明习题及答案

1、等腰三角形一、选择题1.如图，边长为4的等边 ABC中，DE为中位线，则四边形 BCED的面积为(A) 2 3( B) 3.、3(C) 4.3( D) 6 3(B) 3.、32.如图，ABC和CDE均为等腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上，点M是AE的中点,BCF列结论：tan/AEC=Sabc+Scde仝Sace ;BM丄DM;BM=DM.正确结论的个CD数是()(A) 1 个(B) 2 个 (C) 3 个(D) 4 个3.如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm形的周长是A. 15cm B. 16cm C. 17cm二、填空题1. 边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为 .2.

2、等腰三角形的周长为 14，其一边长为4,那么，它的底边为 .3. 在等腰RtA ABC中，/ C=90 AC = 1，过点C作直线I / AB, F是I上的一点，且 AB= AF,则点F到直线BC的距离为.4. 已知等边厶ABC中，点D,E分别在边AB,BC上，把 BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Bx 处，DBX ,EB /分别交边 AC于点F,5. 如图6,在厶ABC中，AB=AC ,贝卩AD=.和6cm，那么此三角D . 16cm 或 17cmG,若/ ADF=80o，则/ EGC的度数为 / BAC的角平分线交BC边于点D, AB=5 , BC=6,6.如图(四)所示，在 ABC中,A

3、B=AC , / B=50。，则 / A=7.如图，已知 ABC是等边三角形，点 B、C、D、E在同一直线上，且 CG = CD , DF = DE, 则/ E=度.题1图(1)三、解答题1. 如图(1), ABC 与厶EFD 为等腰直角三角形， AC 与 DE重合，AB=AC=EF=9 , / BAC= / DEF=90o，固定 ABC，将 DEF绕点A顺时针旋转，当 DF边与AB边重合时，旋 转中止.现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE , DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G , H点，如图(2)(1) 问：始终与 AGC相似的三角形有 及;(2) 设CG=x, B

4、H=y，求y关于x的函数关系式(只要求根据图(2)的情形说明理由)(3) 问：当x为何值时， AGH是等腰三角形.E 题1图(2)2、如图 AB=AC, CD丄AB于D, BE丄AC于E, BE与CD相交于点 O.(1) 求证 AD=AE;3.如图，已知点D为等腰直角 ABC内一点，/ CAD = Z CBD = 15 E为AD延长线上的一 连接OA, BC,试判断直线 OA, BC的关系并说明理由.点，且 CE= CA.(1) 求证：DE平分/ BDC ;(2) 若点 M在DE上，且 DC=DM ,求证：ME=BD .4.如图，在等腰三角形 ABC中，/ ABC=90 , D为AC边上中点，

5、过 D点作DE丄DF，交 AB 于 E,交 BC 于 F，若 AE=4 , FC=3，求 EF 长.5.数学课上，李老师出示了如下框中的题目.在等边三角形 ABC中，点E在AB上，点D 在CB的延长线上，且 ED=EC ,如图.试确 定线段AE与DB的大小关系，并说明理由.小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答:（1 ）特殊情况？探索结论当点E为AB的中点时，如图1 ,确定线段AE与的DB大小关系.请你直接写出结论：AE_DB （填、”，或“=”.（2 ）特例启发，解答題目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AEDB （填、”，Z ”或“=）.理由如下：如图2,过点E作EF / BC,交AC于点

6、F,（请你完成以下解答过程） （3 ）拓展结论，设计新题在等边三角形 ABC中，点E在直线 AB上，点D在直线BC上，且ED=EC .若 ABC的边长 为1, AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）.等腰三角形答案一、选择题 BDD二、填空题 1、3v32、4 或 63、 4、805、46、807、15三、解答题【答案】 解：(HAB ， HGA。ACGC，即9 x(2)t AGCHAB ,HBABy 9又t BC= ,92929.2 ,0 x9 2 y关于x的函数关系式为81门 y=0x x92。1.1 (2011广东东莞，21 , 9分)81 y=。 X(3) 当/ GAH= 45是等腰

7、三角形的底角时，如图BC 9 -可知x CG2。2 2当/ GAH= 45。是等腰三角形的顶角时，如图2,1,在厶HGA和厶AGC中/ AGH= / CGA，/ GAH= / C=450,.A HGAAGC。/ AG=AH , x CG AC 9 9当x2或x 9时， AGH是等腰三角形。2【考点】 三角形外角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理， 几何问题列函数关系式，等腰三角形的判定。【分析】(1)在厶AGC和厶HAB中，1A ( D)/ AGC= / B+ / BAG= / B+900/ GAC=135GAC ,/ BAH= / BAC+ / EAF / EAC=90 +45/ GAC

8、， / AGC= / BAH。又/ ACG= / HBA=45 0 , AGC HAB。 在厶AGC和厶HGA中，/ CAG= / EAF Z CAF=45 CAF ,/ H=180-Z ACH Z CAH=180 0 1350Z CAF=45 0 Z CAF ,CAG= Z H。又tZ AGC= Z HGA , AGC HGA。(2) 利用 AGCHAB得对应边的比即可得。(3) 考虑Z GAH是等腰三角形底角和顶角两种情况分别求解即可。2、( 2011山东德州19,8分)(1 )证明：在 ACD与厶ABE中，tZ A= Z A, Z ADC = Z AEB=90 , AB=AC , ACD

9、 ABE.(2)互相垂直在Rt ADO与厶AEO中，/ OA=OA , AD=AE , ADO AEO. Z DAO= Z EAO. 即卩 OA 是Z BAC 的平分线.AD=AE .又t AB=AC,. OA丄 BC .3、( 2011山东日照，23 , 10分) 证明：(1)在等腰直角 ABC中，/ Z CAD= / CBD=15,. / BAD= / ABD=45-15=30o,二 BD=AD，丄 BDCADC , Z DCA= Z DCB=45.由 Z BDM = Z ABD+ Z BAD =30+30=60, Z EDC= Z DAC+ Z DCA=15o+45o=60o, Z BD

10、M = Z EDC , DE 平分 Z BDC;(2)如图，连接 MC, / DC=DM，且Z MDC=60 , MDC是等边三角形，即 CM=CD . 又 Z EMC=180 -Z DMC=180 -60 =120 , Z ADC=180 -Z MDC =180 -60 =120, Z EMC= Z ADC.又 CE=CA , Z DAC = Z CEM=154、(2011湖北鄂州，18, 7分)【解题思路】连结 BD，证 BED CFD和厶AED BFD , 得BF=4 , BE=3，再运用勾股定理求得 EF= BE2 BF25【答案】连结 BD，证 BED CFD和厶AED BFD，求得

11、 EF=5【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，三角形全等的判定和性质和勾股定理。只要抓住等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定，解决起来并不困难。5、(2011?绍兴)考点：全等三角形判定与性质； 三角形内角和定理；等边三角形判定与性质。 专题：计算题；证明题；分类讨论。 分析：(1)根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理 求出Z D= Z DEB=30，推出 DB=BE=AE 即可得到答案；(2) 作EF/ BC,证出等边三角形 AEF，再证 DBE EFC即可得到答案；(3) 分为两种情况：一是如上图在AB边上，在CB的延长线上，求出 CD=3，二是在BC上 求出CD=1，即可得到答案.解答：解:(1)故答案为：=.(2)故答案为：=.证明：在等边 ABC 中，Z ABC= Z ACB= Z BAC=60 , AB=BC=AC ,/ EF / BC,.Z AEF= Z AFE=60 = Z BAC , AE=AF=EF , AB - AE=AC - AF，即 BE=CF , vZ ABC= Z EDB+ Z BE