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1、2. 1积分第一中值定理证明积分第一中值定理：如果函数/(A-)在闭区间S，h上连续，g(x)在(4 b)上不变号，并且g(x)在闭区间4切上是可积的，则在“,切上至少存在一点，使得 fWg(x)dx = /() g(x)dx, (a 0,并且记/在闭区 间,/? Jb的最大值和最小值为M和m ,即加 /(a) M ,我们将不等式两边同 乘以g(x)可以推出，此时对于任意的a- e a, h都会有加g(x) f(x)g(x) Mg(x)成立。对上式在闭区间”b上进行积分，可以得到bbb讥 g(x)dx f(x)g(x)dx M g(x)dx。此时在之间必存在数值,使得 0 o而 函 数/(a)

2、在闭区间a,b上 可积，我们 令m = inf /(a) I x ea, /?, M = sup f(x)x ea,b o假设F(x)是/(x)在闭区间“,切上的一个原函数，即 Fx)= /(x), a-曰“,bo我们就可以得到下面等式bbbmJ g(x)dxsj fx)g(x)dx0,将(221)除以 g(x)dx可得/(x)g(x)dx圧 M ,(2.2.2) gg我们记bf(x)g(x)dx(2. 2.3) g(Qdxiy(x)g(x)dx此时我们乂分两种情形继续进行讨论：(I )如果(2. 2.2)式中的等号不成立，即有加v vM成立，f ggdx则此时一定就存在加v M ,可以使得/

3、n/(x1),f(x2)M,我们不妨假设Xjx2,这其中x9x2ea,b。因为F (x) = f(x) , x ea, b,则会有F ,(x1) = /(x1) 0，此时一定存在区间,方J w (d,b)(其中a 0成立，我们可以将(2.2.3)式进行简化因为=M,则有而且我们已知M-f(x)g(x) 0 ,则0 M - f(x)g(x)dx 0及g(x) 0成立，从而使得M -/(x)g(x) 0。如果M -f(x)g(x)dx = 0 ,由达布定理在a , b 上有M-f(x)g(x) 0 , L1 1这与M7(x)g(x) 0 矛盾。如果M-/(x)g(x)dx0,这与(2.2.5)式矛盾。所以存在

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