ANSYS非线性求解的理论基础

1、ANSYS非线性求解的理论基础 1 ANSYS非线性求解的理论基础非线性求解的理论基础 ANSYS非线性求解的理论基础 2 主要内容主要内容 NROPT, , Option, -, Adptky 非线性方程组的解法 CNVTOL, Lab, VALUE, TOLER, NORM, MINREF 收敛准则 AUTOTS, Key ARCLEN, Key, MAXARC, MINARC 过极值点的方法 ANSYS非线性求解的理论基础 3 非线性方程组的解法概述（非线性方程组的解法概述（1） l按照几何、材料、状态非线性理论建立的最后 方程都是非线性的。 l在非线性分析中很难找到一种适合种类型非线

2、性及各种非线性程度的解法。 l各种解法均有各自的适用范围，选择不当可能 引起收敛困难甚至发散。 l因此一般通用的非线性有限元程序都提供几种 解法以备用户选用。 ANSYS非线性求解的理论基础 4 非线性方程组的解法概述（非线性方程组的解法概述（2） 求解一个结构的平衡问题通常等于求解结构 的总位能的驻值问题。结构总位能 ： 公式（1） 用虚功原理使公式（1）变分为零即得到有 限元的平衡方程： 公式（2） 是的函数。 ( ) T U uuF ( )( )0P uFK uuF ( )K u u ANSYS非线性求解的理论基础 5 非线性方程组的解法增量法（非线性方程组的解法增量法（1） 顾名思义，

3、增量法就是将荷载分成一系列的荷 载增量，即ANSYS中的荷载步或荷载子步。 要点：在每一个荷载增量求解完成后，继续进 行下一个荷载增量之前，调整刚度矩阵以反映结构 刚度的变化。 公式（3） 公式（4） 11 11 iii T iii KuF uuu ANSYS非线性求解的理论基础 6 非线性方程组的解法增量法（非线性方程组的解法增量法（2） l增量法的优点：可以追踪结构变形历程，这对 于材料或几何非线性（特别是极限值屈曲分析） 十分有用。 l增量法的缺点：随着荷载步增量的增加而产生 积累误差，导致荷载位移曲线飘移。 l对飘移进行平衡修正，可以大大提高增量法的 精度。现在应用最广的就是在每一级荷

4、载增量 上用Newton-Raphson或其变形的迭代法。 ANSYS非线性求解的理论基础 7 荷载位移曲线飘移示意图荷载位移曲线飘移示意图 F u 真实解 . 误差 . 有限元解 ANSYS非线性求解的理论基础 8 非线性方程组的解法迭代法非线性方程组的解法迭代法 迭代法公式： 公式（5） 割线刚度法：，收敛性差，因此很 少应用。 切线刚度法：，令则得到 Newton-Raphson迭代法。 1 1 () iiiiii uuKKuF 11 ii F KK 11 ii T KK 1 ANSYS非线性求解的理论基础 9 Full Newton-Raphson（F.N.R） F u 在一个荷载步或

5、子步内每次迭代 后重新形成一次 i T K 缺点：消耗机时！ 优点：适用于高度非线性问题。 ANSYS非线性求解的理论基础 10 Modified Newton-Raphson（M.N.R） F u 缺点：收敛性较差。 优点：消耗机时少。 在一个荷载步或子步内仅形成一 次或每隔一定数目的迭代次数重 新形成一次 i T K ANSYS非线性求解的理论基础 11 F u Quasi-Newton-Raphson（Q.N.R） 0 u 1 u 2 u 3 u 0 F 1 F 2 F 3 F 0 G 1 G 2 G iii GuF 优缺点介于前两者之间。 ANSYS非线性求解的理论基础 12 非线性方

6、程组的解法总结非线性方程组的解法总结 计算效率： M.N.R高于Q.N.R 高于 F.N.R 收敛性： F.N.R 高于Q.N.R 高于 M.N.R 因此： 当非线性程度不高（一般为加载初期）时用 M.N.R，当非线性程度较高（一般为加载后期） 时用Q.N.R或F.N.R。 ANSYS非线性求解的理论基础 13 非线性方程组的解法非线性方程组的解法ANSYS中的应用中的应用 Newton-Raphson 选项：选项： Main MenuSolutionAnalysis TypeAnalysis Options ANSYS非线性求解的理论基础 14 非线性方程组的解法非线性方程组的解法ANSYS

7、中的应用中的应用 NROPT，AUTO：程序基于非线性程度选用。 NROPT，FULL：如果自适应下降关闭（Adptky 为OFF），每次迭代均使用切线刚度；如果自适 应下降打开（Adptky为ON），则迭代保持稳定时 使用切线刚度，一旦程序在迭代中探测到发散倾 向，将使用切线刚度和割线刚度的加权组合。 NROPT，MODI：程序在每一个子步中修正切线 刚度。自适应下降不可用。 NROPT，INIT：程序在所有迭代中都使用初始刚 度。自适应下降不可用。 ANSYS非线性求解的理论基础 15 收敛准则位移准则收敛准则位移准则 11iDii uuu D 位移收敛容差，一般取0.0010.005之间

8、； i u某种范数，一般为二范数，即： 1 2 2 1 1 N iik k uu N 位移收敛准则有时不可靠！ ANSYS非线性求解的理论基础 16 位移收敛准则有时不可靠！位移收敛准则有时不可靠！ F uu F 很小的位移变化引起很大的力的变化！ ANSYS非线性求解的理论基础 17 收敛准则不平衡力准则收敛准则不平衡力准则 iF FF ii FFP 不平衡力 F外荷载矢量 i P第 i 次迭代完成时与内力相平衡的节点力 矢量，即： iii PKu 不平衡力收敛准则有时不可靠！ ANSYS非线性求解的理论基础 18 不平衡力收敛准则有时不可靠！ F u u F 很小的力的变化引起很大的位移变

9、化！ ANSYS非线性求解的理论基础 19 收敛准则能量准则收敛准则能量准则 11 TT iiE uFPuFP 把每次迭代时内能的增量（不平衡力在位移增 量上做的功）与初始的内能比较： 或者把上述内能增量与当前的总能量比较： T iiEi uFPU 111 1 2 T iiiii UUuPP 其中Ui为势能： 需要更多的计算！ ANSYS非线性求解的理论基础 20 收敛准则收敛准则ANSYS中的应用（中的应用（1） Main MenuSolutionLoad Step Opts NonlinearConvergence Crit ANSYS非线性求解的理论基础 21 收敛准则收敛准则ANSYS

10、中的应用（中的应用（2） 缺省的收敛准则： 将不平衡力的范数与VALUETOLER进行比较， 来对力或者力矩进行收敛检查。VALUE的缺省值是 所加荷载（或位移）的范数和MINREF（缺省为1.0） 中的较大值。 如果定义了任何收敛准则，缺省准则将“失 效”！ 一般总要使用力的收敛准则！ ANSYS非线性求解的理论基础 22 收敛准则收敛准则ANSYS中的应用（中的应用（3） 用户收敛准则： CNVTOL, Lab, VALUE, TOLER, NORM, MINREF q使用严格的收敛准则将提高结果的精度，但以更 多的平衡迭代为代价。 q一般情况下VALUE应使用默认值，而通过调整 TOLE

11、R改变收敛准则。 q应当确保MINREF=1.0在分范围内有意义。 ANSYS非线性求解的理论基础 23 过极值点的方法非线性屈曲过极值点的方法非线性屈曲 非线性屈曲的主要难点： 当荷载增至极值（临界）荷载Fcr时，结构的 切线刚度趋于奇异，方程呈病态因而求解困难。因 此，如何求得尽可能接近于真实的临界荷载就成为 非线性屈曲研究的重点。 荷载的两种类别： 比例加载和非比例加载。 ANSYS非线性求解的理论基础 24 比例加载比例加载 对大多数静机械荷载或稳态温度情况，在荷载 施加的过程中它们的分布函数不变，而各点荷载值 是按比例增减。根据这一特点，可以把任一时刻的 平衡状态选为参考状态，结构外

12、荷载矢量为， 其他时刻的荷载可以写为，求解极值荷 载转化为求极值时的比例参数。 下面仅讨论比例加载情况下过极值点（过屈曲） 的方法：当前的主流方法是自动步长法。 r F ttr FF cr F cr ANSYS非线性求解的理论基础 25 自动步长法概述（自动步长法概述（1） 如前所述，非线性方程组的解法主要是增量加 迭代法，即外荷载是逐级施加的，每施加一级荷载 增量后进行平衡迭代直至解的结果满足允许容差。 因此，荷载增量大小的控制对求解有很重要的 意义：增量过大，解难于收敛甚至发散，这一点在 接近极值点时特别明显；增量太小，意味着求解次 数过多，使计算工作量增大。 ANSYS非线性求解的理论基

13、础 26 自动步长法概述（自动步长法概述（2） 在一个问题的求解过程中，没有必要采用等荷 载增量。对于非线性程度不高的阶段（一般是荷载 作用的初始阶段），步长可选得大些；对于非线性 程度较高的阶段（一般是加载后期）步长需选得小 些。 当荷载接近极值点时，很小的荷载增量都会引 起很大位移，此时可不再直接施加荷载，而是改由 控制其他参数使计算可以安全超过极值点，人们仅 给出一些控制参数，步长由算法控制，这类方法就 称为自动步长法。 ANSYS非线性求解的理论基础 27 自动步长法控制位移法（自动步长法控制位移法（1） 控制位移法是将有限元中的荷载作为变量而位 移作为独立量，即给出位移增量，反求荷载

14、增量， 就加载意义而言是一种自动步长法。 下面是具体的推导过程： ( )( ) 1112111( ) 212222 2 jj r j i r iii KKuFR KKuR F 式中右上标为第 j 荷载步，右下标为第 i 次迭代。 ( )( )( )jjj RPF第 j 荷载步初始不平衡力。 （6） ANSYS非线性求解的理论基础 28 自动步长法控制位移法（自动步长法控制位移法（2） 假定位移分量在屈曲时反应明显，将其选 为人为的控制位移分量，令，为给定 值。由式（6）交换变量得： 2 u 22 uu 2 u ( ) ( )( ) 1111112 2 ( )( )( ) 2 21222 j j

15、rj jjrj ii ii uKFRK u R KFK （7） 式（7）展开： ( )( )( ) ( ) 11111122 jjj jr i iiii KuFRKu ( )( )( ) ( ) 21122222 jjj jr i iiii KuFRKu （8） （9） ANSYS非线性求解的理论基础 29 自动步长法控制位移法（自动步长法控制位移法（3） 在一个迭代步中，（8）式为线性的，可以将其解 分为两个部分： ( )III 111 j i i ii uuu （10） 将式（10）代入（8）中，分别得到： ( ) I 1111 j r i i KuF ( )( )( ) II 11111

16、22 jjj iii i KuRKu （11） （12） 由式（11）、（12）分别可以求得、 I 1 i u II 1 i u ANSYS非线性求解的理论基础 30 自动步长法控制位移法（自动步长法控制位移法（4） 将由、表示的代入式（9）， 可以求得荷载增量因子： I 1 i u II 1 i u 1 i u ( )( )( ) 2211222 ( ) ( ) 2211 jjj II iii j i ij rI i i RKuKu FKu （13） ( ) j i 上述方法要求将刚度矩阵分解为、 、等矩阵，在接近极值点处不是很合适。 因此可仿造M.N.R，在一系列迭代步中，一直采用 初始刚

17、度矩阵，将它分解为、 、，在迭代中不再修改。 ( ) j i K ( ) 11 j i K ( ) 12 j i K ( ) 21 j i K ( ) 22 j i K ( ) 1 j K ( ) 11 1 j K ( ) 12 1 j K ( ) 21 1 j K ( ) 22 1 j K ANSYS非线性求解的理论基础 31 自动步长法控制位移法（自动步长法控制位移法（5） 将解分为两部分：i u ( ) 1 j Ir i KuF ( )( ) 1 jj II i i KuR （15） （16） 对其中的控制分量有： ( )III 2222 j i i ii uuuu （17） 由式（6）

18、可得： ( ) jIII i i ii uuu （14） ANSYS非线性求解的理论基础 32 自动步长法控制位移法（自动步长法控制位移法（6） 22 ( ) 1 1 2 1 II j I uu u （18） 从第二步迭代开始，因为为定值，故， 荷载增量因子为： 2 u 2 0u 2 ( ) 2 2,3, II j i i I i u i u （19） 第一次迭代可定出荷载增量因子： ANSYS非线性求解的理论基础 33 自动步长法控制位移法（自动步长法控制位移法（7） 控制位移法的算法步骤： 求解式（15）得到，挑出指定位移分量。 求解不平衡力及式（16）得到，挑出指定位移 分量。 如果是第

19、一次迭代由式（18）求，如果是第二次以 后的迭代，由式（19）求。 由式（14）求。 用迭代收敛准则检验是否得到收敛解，如果未得到， i=i+1，重复2到5步骤；如果收敛，j=j+1，转入下一位移 增量步。 I i u 2 I i u ( ) j i R II i u 2 II i u ( ) 1 j ( ) j i iu ANSYS非线性求解的理论基础 34 自动步长法弧长法（自动步长法弧长法（1） 每施加一个荷载步时直接控制走多长一段荷载 位移曲线（多维情况为空间超曲线）。 为此，需要对荷载增量比例参数加一个约束方 程。对由 j 至 j+1 荷载步的第一次迭代，施加如下 约束： 2 2 1

20、 11 T uuds （20） 式中称为广义“弧长”，是由用户控制的值。 ds ANSYS非线性求解的理论基础 35 自动步长法弧长法（自动步长法弧长法（2） 为保证迭代最近地走向收敛，迭代路径应沿 j 点切线的垂直面上，也即切线与该面上矢量 的标量积为零： t u 0tu （21） 式中 1 1 j T i etue （22） j T ii i euue （23） 用矩阵表示式（21）为： 1 1 02,3, T i i uui （24） ANSYS非线性求解的理论基础 36 自动步长法弧长法（自动步长法弧长法（3） 与控制位移法一样，将未知矢量分解为 两个部分： III i i ii uuu （25） 式中及分别由式（15）